Logaritmický průměr - Logarithmic mean

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Logaritmický průměr“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Trojrozměrný graf zobrazující hodnoty logaritmického průměru.

v matematika, logaritmický průměr je funkce ze dvou nezáporných čísla což se rovná jejich rozdíl děleno logaritmus Jejich kvocient. Tento výpočet je použitelný v inženýrství problémy zahrnující teplo a hromadný přenos.

Definice

Logaritmický průměr je definován jako:

${displaystyle {egin {aligned} M_ {ext {lm}} (x, y) & = lim _ {(xi, eta) o (x, y)} {frac {eta -xi} {ln (eta) -ln (xi)}} [6pt] & = {egin {cases} x & {ext {if}} x = y, {frac {yx} {ln (y) -ln (x)}} & {ext {jinak ,}} end {cases}} end {aligned}}}$

pro kladná čísla ${displaystyle x, y}$.

Nerovnosti

Logaritmický průměr dvou čísel je menší než aritmetický průměr a zobecněný průměr s exponentem jedna třetina, ale větší než geometrický průměr, pokud nejsou čísla stejná, v takovém případě jsou všechny tři prostředky rovny číslům.

${displaystyle {sqrt {xy}} leq M_ {ext {lm}} (x, y) leq left ({frac {x ^ {1/3} + y ^ {1/3}} {2}} vpravo) ^ {3} leq {frac {x + y} {2}} qquad {ext {pro všechny}} x> 0 {ext {and}} y> 0.}$^[1][2][3]

Derivace

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Z věta o střední hodnotě, tady existuje hodnota ${displaystyle xi}$ v interval mezi X a y kde derivát ${displaystyle f '}$ se rovná sklonu sekanční čára:

${displaystyle existuje xi in (x, y): f '(xi) = {frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}$

Logaritmický průměr se získá jako hodnota ${displaystyle xi}$ nahrazením ${displaystyle ln}$ pro ${displaystyle f}$ a podobně za odpovídající derivát:

${displaystyle {frac {1} {xi}} = {frac {ln (x) -ln (y)} {x-y}}}$

a řešení pro ${displaystyle xi}$:

${displaystyle xi = {frac {x-y} {ln (x) -ln (y)}}}$

Integrace

Logaritmický průměr lze také interpretovat jako plocha pod exponenciální křivka.

${displaystyle {egin {aligned} L (x, y) = {} & int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} mathrm {d} t = {} int _ {0} ^ {1} vlevo ({frac {y} {x}} vpravo) ^ {t} x mathrm {d} t = {} xint _ {0} ^ {1} vlevo ({frac {y} {x}} ight) ^ {t} mathrm {d} t [3pt] = {} & vlevo. {frac {x} {ln vlevo ({frac {y} {x}} ight)}} vlevo ({frac {y} { x}} ight) ^ {t} ight | _ {t = 0} ^ {1} = {} {frac {x} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} left ({frac {y} {x}} - 1ight) = {} {frac {yx} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} [3pt] = {} & {frac {yx} {ln left (yight) -ln left (xight)}} end {aligned}}}$

Plošná interpretace umožňuje snadné odvození některých základních vlastností logaritmického průměru. Protože exponenciální funkce je monotóní, integrál v intervalu délky 1 je ohraničen ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$. The stejnorodost integrálního operátoru se převede na střední operátor, tj ${displaystyle L (cx, cy) = cL (x, y)}$.

Dvě další užitečné integrální reprezentace jsou

$${displaystyle {1 over L (x, y)} = int _ {0} ^ {1} {operatorname {d}! t over tx + (1-t) y}}$$

$${displaystyle {1 over L (x, y)} = int _ {0} ^ {infty} {operatorname {d}! t over (t + x), (t + y)}.}$$

Zobecnění

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Lze zobecnit průměr na ${displaystyle n + 1}$ proměnné zvážením věta o střední hodnotě pro dělené rozdíly pro ${displaystyle n}$th derivát logaritmu.

Získáváme

${displaystyle L_ {ext {MV}} (x_ {0} ,, tečky ,, x_ {n}) = {sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1)} nln vlevo (vlevo [x_ {0} ,, tečky ,, x_ {n} ight] ight)}}}$

kde ${displaystyle ln left (left [x_ {0} ,, dots ,, x_ {n} ight] ight)}$ označuje a dělený rozdíl logaritmu.

Pro ${displaystyle n = 2}$ tohle vede k

${displaystyle L_ {ext {MV}} (x, y, z) = {sqrt {frac {(xy) left (y-zight) left (z-xight)} {2left (left (y-zight) ln left ( xight) + left (z-xight) ln left (yight) + left (x-yight) ln left (zight) ight)}}}}$.

Integrální

Integrální interpretaci lze také zobecnit na více proměnných, ale vede k jinému výsledku. Vzhledem k simplexní ${extstyle S}$ s ${extstyle S = {left (alpha _ {0} ,, dots ,, alpha _ {n} ight): left (alpha _ {0} + dots + alpha _ {n} = 1ight) land left (alpha _ {0 } geq 0ight) land dots land left (alpha _ {n} geq 0ight)}}$ a vhodné opatření ${extstyle mathrm {d} alpha}$ který přiřadí simplexu objem 1, získáme

${displaystyle L_ {ext {I}} vlevo (x_ {0} ,, tečky ,, x_ {n} ight) = int _ {S} x_ {0} ^ {alpha _ {0}} cdot, cdots, cdot x_ {n} ^ {alpha _ {n}} mathrm {d} alfa}$

To lze zjednodušit použitím dělených rozdílů exponenciální funkce na

${displaystyle L_ {ext {I}} left (x_ {0} ,, dots ,, x_ {n} ight) = n! exp left [ln left (x_ {0} ight) ,, dots ,, ln left (x_ {n} ight) ight]}$.

Příklad ${extstyle n = 2}$

${displaystyle L_ {ext {I}} (x, y, z) = - 2 {frac {xleft (ln left (yight) -ln left (zight) ight) + yleft (ln left (zight) -ln left (xight) ) ight) + zleft (ln left (xight) -ln left (yight) ight)} {left (ln left (xight) -ln left (yight) ight) left (ln left (yight) -ln left (zight) ight ) doleva (ln doleva (zight) -ln doleva (xight) ight)}}}$.

Připojení k jiným prostředkům

• Aritmetický průměr: ${displaystyle {frac {Lleft (x ^ {2}, y ^ {2} ight)} {L (x, y)}} = {frac {x + y} {2}}}$

• Geometrický průměr: ${displaystyle {sqrt {frac {Lleft (x, yight)} {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)}}} = {sqrt {xy}}}$

• Harmonický průměr: ${displaystyle {frac {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)} {Lleft ({frac {1} {x ^ {2}}}, {frac {1 } {y ^ {2}}} ight)}} = {frac {2} {{frac {1} {x}} + {frac {1} {y}}}}}$

Viz také

• Jiný průměr, který souvisí s logaritmy, je geometrický průměr.
• Logaritmický průměr je zvláštním případem Stolarsky průměr.
• Logaritmický průměrný teplotní rozdíl
• Semiring protokolu

Reference

Citace

Bibliografie

• Slovník ropných polí: Termín „logaritmický průměr“
• Weisstein, Eric W. „Aritmeticko-logaritmická-geometrická-střední nerovnost“. MathWorld.
• Stolarsky, Kenneth B .: Zevšeobecnění logaritmického průměru, Mathematics Magazine, Vol. 48, č. 2, březen 1975, str. 87–92