Lineární systém kuželoseček - Linear system of conics - Wikipedia

Externí video
	Typ I. lineární systém, (Coffman ).

v algebraická geometrie, kuželovité úseky v projektivní rovině tvoří a lineární systém dimenze pět, jak jeden vidí, počítáním konstant ve stupni dva rovnice. Podmínka projít daným bodem P ukládá jedinou lineární podmínku, takže kuželosečky C přes P tvoří lineární systém kóty 4. Mezi další typy podmínek, které nás zajímají, patří tečnost k dané přímceL.

V nejelementárnějších úpravách se lineární systém objevuje ve formě rovnic

{ displaystyle lambda C + mu C '= 0 }

s neznámými skaláry λ a μ, ne oběma nulami. Tady C a C' jsou uvedeny kuželosečky. Abstraktně můžeme říci, že se jedná o projektivní linie v prostoru všech kuželoseček, které bereme

{ displaystyle [ lambda: mu] }

tak jako homogenní souřadnice. Geometricky si toho všimneme Q společné pro C a C' je také na každém z kuželoseček lineárního systému. Podle Bézoutova věta C a C' protínají se ve čtyřech bodech (pokud se počítají správně). Za předpokladu, že jsou v obecná pozice, tj. čtyři odlišné průniky, získáme další interpretaci lineárního systému jako kuželosečky procházející čtyřmi danými body (všimněte si, že kodimenzionální čtyři zde odpovídají dimenzi, jedna v pětidimenzionálním prostoru kuželoseček). Všimněte si, že z těchto kuželoseček jsou přesně tři degenerovat, z nichž každá se skládá z dvojice řádků, odpovídajících ${ displaystyle textstyle {{ binom {4} {2,2}} / 2 = 3}}$ způsoby výběru 2 párů bodů ze 4 bodů (počítáno přes multinomický koeficient a účtování přepočtu dvojnásobně ${ displaystyle textstyle { binom {4} {2}}}$ dělá, když má zájem o počítání páry párů spíše než jen výběr velikosti 2).

Aplikace

Výrazné uplatnění takové rodiny je v (Faucette 1996 ) který dává a geometrické řešení kvartické rovnice uvažováním tužky kuželoseček přes čtyři kořeny kvartiky a identifikací tří zdegenerovaných kuželoseček se třemi kořeny resolvent kubický.

Příklad

Například vzhledem ke čtyřem bodům ${ displaystyle ( pm 1, pm 1),}$ tužka kuželoseček skrze ně může být parametrizována jako ${ displaystyle ax ^ {2} + (1-a) y ^ {2} = 1,}$ které jsou afinní kombinace rovnic ${ displaystyle x ^ {2} = 1}$ a ${ displaystyle y ^ {2} = 1,}$ odpovídající rovnoběžným svislým čarám a vodorovným čarám; toto poskytuje degenerované kuželosečky ve standardních bodech ${ displaystyle 0,1, infty.}$ Méně elegantní, ale symetrickější parametrizace je dána ${ displaystyle (1 + a) x ^ {2} + (1-a) y ^ {2} = 2,}$ v takovém případě invertování A ( ${ displaystyle a mapsto -a}$ ) výměny X a y, čímž se získá následující tužka; ve všech případech je středisko na počátku:

${ displaystyle a> 1:}$ hyperboly otevírající se vlevo a vpravo;
${ displaystyle a = 1:}$ rovnoběžné svislé čáry ${ displaystyle x = -1, x = 1;}$

(průsečík v [1: 0: 0])

${ displaystyle 0$ elipsy se svislou hlavní osou;
${ displaystyle a = 0:}$ kruh (s poloměrem ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ );
${ displaystyle -1$ elipsy s vodorovnou hlavní osou;
${ displaystyle a = -1:}$ rovnoběžné vodorovné čáry ${ displaystyle y = -1, y = 1;}$

(průsečík v [0: 1: 0])

${ displaystyle a <-1:}$ hyperboly otevírající se nahoru a dolů,
${ displaystyle a = infty:}$ diagonální čáry ${ displaystyle y = x, y = -x;}$

(děleno

{ displaystyle a}

a brát limit jako

{ displaystyle a to infty}

výnosy

{ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 0}

)

(průsečík v [0: 0: 1])

To se pak otočí kolem ${ displaystyle a> 1,}$ protože tužky jsou projektivní čára.

V terminologii (Levy 1964 ), jedná se o lineární systém kuželoseček typu I a je animován v propojeném videu.

Klasifikace

Existuje 8 typů lineárních systémů kuželoseček nad komplexními čísly, v závislosti na multiplicitě průsečíků v základních bodech, které se dělí na 13 typů nad reálnými čísly, v závislosti na tom, zda jsou základní body skutečné nebo imaginární; o tom pojednává (Levy 1964 ) a ilustrováno v (Coffman ).

Reference

Coffman, Adam, Lineární systémy kuželoseček, vyvoláno 2020-08-08
Faucette, William Mark (leden 1996), „Geometrická interpretace řešení obecného kvartického polynomu“, Americký matematický měsíčník, 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574, JSTOR 2975214
Levy, Harry (1964), Projektivní a související geometrie, New York: The Macmillan Co., str. X + 405