Erdőova domněnka o aritmetických postupech - Erdős conjecture on arithmetic progressions

Erdősova domněnka o aritmetických postupech, často označované jako Erdős – Turán dohad, je dohad v aritmetická kombinatorika (nezaměňovat s Erdős – Turán dohad o aditivních základech ). Uvádí, že pokud je součet převrácených členů množiny A pozitivních celých čísel se tedy rozchází A obsahuje libovolně dlouhý aritmetické průběhy.

Formálně domněnka uvádí, že pokud A je velká sada V tom smyslu, že

pak A obsahuje aritmetické průběhy libovolné dané délky, což znamená podmnožiny formuláře pro libovolně velké k.

Dějiny

V roce 1936 provedli Erdős a Turán slabší domněnku, že každá sada celých čísel je kladná přirozená hustota obsahuje nekonečně mnoho aritmetických postupů se 3 termíny.[1] To bylo prokázáno Klaus Roth v roce 1952, a zobecněn na libovolně dlouhé aritmetické postupy do Szemerédi v roce 1975 v současné době známé jako Szemerédiho věta.

V rozhovoru z roku 1976 s názvem „Na památku mého celoživotního přítele a spolupracovníka Paula Turána“ Paul Erdős nabídl cenu 3000 USD za důkaz této domněnky.[2] Od roku 2008 má problém hodnotu 5 000 USD.[3]

Pokrok a související výsledky

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Obsahuje každá velká sada přirozených čísel libovolně dlouhé aritmetické postupy?
(více nevyřešených úloh z matematiky)

Erdősovu domněnku o aritmetických postupech lze považovat za silnější verzi Szemerédiho věty. Protože se součet převrácených hodnot prvočísel liší, Věta o Green-Tao o aritmetických postupech je zvláštní případ domněnky.

The slabší tvrzení že A musí obsahovat nekonečně mnoho aritmetických postupů délky 3 je důsledkem vylepšené vazby v Rothově teorému, která se jeví jako hlavní výsledek předtisku 2020 od Bloom a Sisask.[4] Bývalá nejsilnější vazba v Rothově teorému je způsobena Bloomem.[5]

Viz také

Reference

  1. ^ Erdős, Paul; Turán, Paul (1936), „Na některé sekvence celých čísel“ (PDF), Journal of the London Mathematical Society, 11 (4): 261–264, doi:10.1112 / jlms / s1-11.4.261.
  2. ^ Problémy v teorii čísel a kombinatorice, Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Kongres. Číslo. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
  3. ^ p. 354, Soifer, Alexander (2008); Matematická omalovánka: Matematika zbarvení a barevný život jeho tvůrců; New York: Springer. ISBN  978-0-387-74640-1
  4. ^ Bloom, Thomas F .; Sisask, Olof (2020). „Prolomení logaritmické bariéry v Rothově teorému o aritmetických postupech“. arXiv:2007.03528. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
  5. ^ Bloom, Thomas F. (2016). „Kvantitativní vylepšení Rothovy věty o aritmetických postupech“. Journal of the London Mathematical Society. Druhá série. 93 (3): 643–663. arXiv:1405.5800. doi:10.1112 / jlms / jdw010. PAN  3509957.
  • P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. Č. 24, s. 7,
  • P. Erdős a P. Turán, O některých sekvencích celých čísel, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
  • P. Erdős: Problémy v teorii čísel a kombinatorice, Proc. Šestá Manitoba Conf. na Num. Matematika., Kongresové číslo. XVIII(1977), 35–58.
  • P. Erdős: O kombinačních problémech, které bych nejraději viděl vyřešit, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007 / BF02579174

externí odkazy