Křižovatka (euklidovská geometrie) - Intersection (Euclidean geometry)

Tento článek by měl být shrnut v Průnik (matematika) a odkaz poskytnutý odtud sem pomocí {{Hlavní}} }} šablona. Viz pokyny v Wikipedia: Souhrnný styl. (Listopad 2020)

v geometrie, an průsečík je bod, čára nebo křivka společná pro dva nebo více objektů (například čáry, křivky, roviny a povrchy). Nejjednodušší případ v Euklidovská geometrie je průnik dvou odlišných řádky, který je jeden směřovat nebo neexistuje, pokud jsou řádky paralelní.

Červená tečka představuje bod, ve kterém se tyto dvě čáry protínají.

Určení průsečíku byty - lineární geometrické objekty vložené do vyšší-dimenzionální vesmír - je jednoduchý úkol lineární algebra, konkrétně řešení a soustava lineárních rovnic. Obecně určení křižovatky vede k nelineární rovnice, který může být řešeno numericky, například pomocí Newtonova iterace. Křižovatkové problémy mezi přímkou ​​a a kuželovitý řez (kruh, elipsa, parabola atd.) nebo a kvadrický (koule, válec, hyperboloid atd.) vedou k kvadratické rovnice které lze snadno vyřešit. Křižovatky mezi kvadrics vedou k kvartické rovnice to lze vyřešit algebraicky.

V letadle

Dva řádky

Pro určení průsečíku dvou neparalelních linií

${ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}, a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}}$

jeden dostane od Cramerovo pravidlo nebo dosazením proměnné souřadnice průsečíku ${ displaystyle (x_ {s}, y_ {s})}$ :

${ displaystyle x_ {s} = { frac {c_ {1} b_ {2} -c_ {2} b_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} , quad y_ {s} = { frac {a_ {1} c_ {2} -a_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} . }$

(Li ${ displaystyle a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} = 0}$ řádky jsou rovnoběžné a tyto vzorce nelze použít, protože zahrnují dělení 0.)

Dva úsečkové segmenty

Bylo navrženo, aby tato část byla rozdělit do dalšího článku s názvem Průsečík úsečky. (Diskutujte) (Listopad 2020)

Průsečík dvou úseček

Pro dva neparalelní úsečky ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ a ${ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})}$ není nutně průsečík (viz diagram), protože průsečík ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ odpovídajících čar nemusí být obsaženy v úsečkách. Abychom zkontrolovali situaci, použijeme parametrické znázornění čar:

${ displaystyle (x (s), y (s)) = (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}), y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1} )),}$

${ displaystyle (x (t), y (t)) = (x_ {3} + t (x_ {4} -x_ {3}), y_ {3} + t (y_ {4} -y_ {3} )).}$

Úsečky se protínají pouze ve společném bodě ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ odpovídajících řádků, pokud jsou odpovídající parametry ${ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ splnit podmínku ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$. Parametry ${ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ jsou řešením lineárního systému

${ displaystyle s (x_ {2} -x_ {1}) - t (x_ {4} -x_ {3}) = x_ {3} -x_ {1},}$

${ displaystyle s (y_ {2} -y_ {1}) - t (y_ {4} -y_ {3}) = y_ {3} -y_ {1} .}$

To lze vyřešit pro s a t pomocí Cramerova pravidla (viz výše ). Pokud je podmínka ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$ je splněna jedna vložka ${ displaystyle s_ {0}}$ nebo ${ displaystyle t_ {0}}$ do odpovídající parametrické reprezentace a získá průsečík ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$.

Příklad: Pro úsečky ${ displaystyle (1,1), (3,2)}$ a ${ displaystyle (1,4), (2, -1)}$ jeden dostane lineární systém

${ displaystyle 2s-t = 0}$

${ displaystyle s + 5t = 3}$

a ${ displaystyle s_ {0} = { tfrac {3} {11}}, t_ {0} = { tfrac {6} {11}}}$. To znamená: čáry se v bodě protínají ${ displaystyle ({ tfrac {17} {11}}, { tfrac {14} {11}})}$.

Poznámka: Vzhledem k přímkám namísto segmentů určených dvojicemi bodů, každá podmínka ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$ lze zrušit a metoda získá průsečík čar (viz výše ).

Průsečík čára-kruh

Čára a kruh

Na křižovatku

• čára ${ displaystyle ax + by = c}$ a kruh ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$

jeden řeší rovnici pro X nebo y a náhražky to do rovnice kružnice a dostane pro řešení (pomocí vzorce kvadratické rovnice) ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ s

${ displaystyle x_ {1/2} = { frac {ac pm b { sqrt {r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}} { a ^ {2} + b ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle y_ {1/2} = { frac {bc mp a { sqrt {r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}} { a ^ {2} + b ^ {2}}} ,}$

-li ${ displaystyle r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2} geq 0 .}$ Pokud tato podmínka platí s přísnou nerovností, existují dva průsečíky; v tomto případě se linka nazývá a sekanční čára kruhu a úsečka spojující průsečíky se nazývá a akord kruhu.

Li ${ displaystyle r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2} = 0}$ drží, existuje pouze jeden průsečík a čára je tečná ke kruhu. Pokud slabá nerovnost neplatí, čára neprotíná kruh.

Pokud střed kruhu není počátek, viz.^[1] Průsečík čáry a paraboly nebo hyperboly lze zpracovat analogicky.

Dva kruhy

Určení průsečíků dvou kružnic

• ${ displaystyle (x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} = r_ {1} ^ {2}, quad (x-x_ {2}) ^ {2} + (y-y_ {2}) ^ {2} = r_ {2} ^ {2}}$

lze redukovat na předchozí případ protnutí úsečky a kružnice. Odečtením dvou daných rovnic dostaneme rovnici přímky:

${ displaystyle 2 (x_ {2} -x_ {1}) x + 2 (y_ {2} -y_ {1}) y = r_ {1} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}.}$

Tato speciální řada je radikální linie ze dvou kruhů.

Průnik dvou kruhů se středy na ose x, jejich radikální linie je tmavě červená

Speciální případ ${ displaystyle ; x_ {1} = y_ {1} = y_ {2} = 0}$ :
V tomto případě je počátek středem první kružnice a druhý střed leží na ose x (s. Diagram). Rovnice radikální přímky se zjednodušuje na ${ displaystyle ; 2x_ {2} x = r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} ;}$ a průsečíky lze zapsat jako ${ displaystyle (x_ {0}, pm y_ {0})}$ s

${ displaystyle x_ {0} = { frac {r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}} {2x_ {2}}}, quad y_ {0} = { sqrt {r_ {1} ^ {2} -x_ {0} ^ {2}}} .}$

V případě ${ displaystyle r_ {1} ^ {2}$ kruhy nemají žádné společné body.
V případě ${ displaystyle r_ {1} ^ {2} = x_ {0} ^ {2}}$ kruhy mají jeden společný bod a radikální přímka je společná tečna.

Jakýkoli obecný případ, jak je uvedeno výše, lze transformovat posunem a rotací na speciální případ.

Křižovatka dvou disky (interiéry dvou kruhů) tvoří tvar zvaný a objektiv.

průsečík kruh – elipsa

Dvě kuželovité sekce

Problém průniku elipsy / hyperboly / paraboly s jinou kuželovitý řez vede k a soustava kvadratických rovnic, které lze ve zvláštních případech snadno vyřešit odstraněním jedné souřadnice. Pro získání a. Lze použít speciální vlastnosti kuželovitých řezů řešení. Obecně lze průsečíky určit řešením rovnice Newtonovou iterací. Pokud a) jsou oba kuželosečky dány implicitně (pomocí rovnice) 2-dimenzionální Newtonova iterace b) jedna implicitně a druhá parametricky dána 1-rozměrná Newtonova iterace je nutná. Viz další část.

Dvě hladké křivky

Příčný průsečík dvou křivek

dotýká se křižovatky (vlevo), dotýká se (vpravo)

Dvě křivky dovnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ (dvourozměrný prostor), které jsou spojitě diferencovatelné (tj. neexistuje ostrý ohyb), mají průsečík, pokud mají společný bod roviny a mají v tomto bodě

a: různé tečny (příčný průsečík), nebo

b: tečna společná a protínají se navzájem (dotýká se křižovatky, viz schéma).

Pokud mají obě křivky bod S a tečna tam jsou společné, ale nepřekračují se, jsou spravedlivé dojemný v bodě S.

Protože se dotýkající se křižovatky objevují zřídka a je obtížné je vyřešit, následující úvahy tento případ vynechávají. V každém případě níže jsou předpokládány všechny nezbytné diferenciální podmínky. Určení průsečíků vždy vede k jedné nebo dvěma nelineárním rovnicím, které lze vyřešit Newtonovou iterací. Následuje seznam objevujících se případů:

průsečík parametrické křivky a implicitní křivky

průnik dvou implicitních křivek

• Li obě křivky jsou výslovně dané: ${ displaystyle y = f_ {1} (x), y = f_ {2} (x)}$jejich přirovnáním se získá rovnice

${ displaystyle f_ {1} (x) = f_ {2} (x) .}$

• Li obě křivky jsou parametricky dané: ${ displaystyle C_ {1} :( x_ {1} (t), y_ {1} (t)), C_ {2} :( x_ {2} (s), y_ {2} (s)). }$

Jejich přirovnáním se získá dvě rovnice ve dvou proměnných:

${ displaystyle x_ {1} (t) = x_ {2} (s), y_ {1} (t) = y_ {2} (s) .}$

• Li jedna křivka je parametricky a druhá implicitně dané: ${ displaystyle C_ {1} :( x_ {1} (t), y_ {1} (t)), C_ {2}: f (x, y) = 0.}$

Toto je nejjednodušší případ kromě výslovného případu. Je třeba vložit parametrické vyjádření ${ displaystyle C_ {1}}$ do rovnice ${ displaystyle f (x, y) = 0}$ křivky ${ displaystyle C_ {2}}$ a jeden dostane rovnici:

${ displaystyle f (x_ {1} (t), y_ {2} (t)) = 0 .}$

• Li obě křivky jsou implicitně dané: ${ displaystyle C_ {1}: f_ {1} (x, y) = 0, C_ {2}: f_ {2} (x, y) = 0.}$

Zde je průsečík řešením systému

${ displaystyle f_ {1} (x, y) = 0, f_ {2} (x, y) = 0 .}$

Jakákoli Newtonova iterace vyžaduje pohodlné počáteční hodnoty, které lze odvodit vizualizací obou křivek. Parametricky nebo explicitně danou křivku lze snadno vizualizovat, protože na jakýkoli parametr t nebo X respektive je snadné vypočítat odpovídající bod. Pro implicitně dané křivky není tento úkol tak snadný. V tomto případě je třeba určit bod křivky pomocí počátečních hodnot a iterace. Vidět.^[2]

Příklady:

1: ${ displaystyle C_ {1} :( t, t ^ {3})}$ a kruh ${ displaystyle C_ {2} :( x-1) ^ {2} + (y-1) ^ {2} -10 = 0}$ (viz schéma).

Newtonova iterace ${ displaystyle t_ {n + 1}: = t_ {n} - { frac {f (t_ {n})} {f '(t_ {n})}}}$ pro funkci

${ displaystyle f (t) = (t-1) ^ {2} + (t ^ {3} -1) ^ {2} -10}$ je třeba udělat. Jako počáteční hodnoty lze zvolit −1 a 1,5.

Průsečíky jsou: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046)

2:${ displaystyle C_ {1}: f_ {1} (x, y) = x ^ {4} + y ^ {4} -1 = 0,}$

${ displaystyle C_ {2}: f_ {2} (x, y) = (x-0,5) ^ {2} + (y-0,5) ^ {2} -1 = 0}$ (viz schéma).

Newtonova iterace

${ displaystyle {x_ {n + 1} zvolit y_ {n + 1}} = {x_ {n} + delta _ {x} zvolit y_ {n} + delta _ {y}}}$ musí být provedeno, kde ${ displaystyle { delta _ {x} zvolit delta _ {y}}}$ je řešení lineárního systému

${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac { částečné f_ {1}} { částečné x}} & { frac { částečné f_ {1}} { částečné y}} { frac { částečné f_ {2}} { částečné x}} a { frac { částečné f_ {2}} { částečné y}} konec {pmatrix}} { delta _ {x} zvolit delta _ { y}} = {- f_ {1} zvolit -f_ {2}}}$ v bodě ${ displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$. Jako počáteční hodnoty lze zvolit (-0,5, 1) a (1, -0,5).

Lineární systém lze vyřešit Cramerovým pravidlem.

Průsečíky jsou (-0,3686, 0,9953) a (0,9953, -0,3686).

Dva polygony

průsečík dvou polygonů: test okna

Pokud někdo chce určit průsečíky dvou mnohoúhelníky, lze zkontrolovat průnik libovolného páru úseček polygonů (viz výše ). U polygonů s mnoha segmenty je tato metoda časově náročná. V praxi lze urychlit algoritmus průniku pomocí okenní testy. V tomto případě jeden rozdělí mnohoúhelníky na malé dílčí mnohoúhelníky a určí nejmenší okno (obdélník se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic) pro jakýkoli dílčí mnohoúhelník. Před zahájením časově náročného stanovení průsečíku dvou úseček je každá dvojice oken testována na společné body. Vidět.^[3]

Ve vesmíru (tři rozměry)

V trojrozměrném prostoru jsou průsečíky (společné body) mezi křivkami a povrchy. V následujících částech uvažujeme příčný průsečík pouze.

Čára a letadlo

Průsečík čára-rovina

Průsečík přímky a roviny v obecná pozice ve třech rozměrech je bod.

Běžně je čára v prostoru reprezentována parametricky ${ displaystyle (x (t), y (t), z (t))}$ a rovinu rovnicí ${ displaystyle ax + by + cz = d}$. Vložením reprezentace parametrů do rovnice se získá lineární rovnice

${ displaystyle ax (t) + by (t) + cz (t) = d ,}$

pro parametr ${ displaystyle t_ {0}}$ průsečíku ${ displaystyle (x (t_ {0}), y (t_ {0}), z (t_ {0}))}$.

Pokud lineární rovnice nemá řešení, přímka leží buď v rovině, nebo je s ní rovnoběžná.

Tři letadla

Pokud je čára definována dvěma protínajícími se rovinami ${ displaystyle varepsilon _ {i}: { vec {n}} _ {i} cdot { vec {x}} = d_ {i}, i = 1,2}$ a měla by být protínána třetí rovinou ${ displaystyle varepsilon _ {3}: { vec {n}} _ {3} cdot { vec {x}} = d_ {3}}$, je třeba vyhodnotit společný průsečík tří rovin.

Tři letadla ${ displaystyle varepsilon _ {i}: { vec {n}} _ {i} cdot { vec {x}} = d_ {i}, i = 1,2,3}$ s lineárními nezávislými normálovými vektory ${ displaystyle { vec {n}} _ {1}, { vec {n}} _ {2}, { vec {n}} _ {3}}$ mít průsečík

${ displaystyle { vec {p}} _ {0} = { frac {d_ {1} ({ vec {n}} _ {2} krát { vec {n}} _ {3}) + d_ {2} ({ vec {n}} _ {3} krát { vec {n}} _ {1}) + d_ {3} ({ vec {n}} _ {1} krát { vec {n}} _ {2})} {{ vec {n}} _ {1} cdot ({ vec {n}} _ {2} times { vec {n}} _ {3 })}} .}$

Pro důkaz je třeba stanovit ${ displaystyle { vec {n}} _ {i} cdot { vec {p}} _ {0} = d_ {i}, i = 1,2,3,}$ pomocí pravidel a skalární trojitý produkt. Pokud se skalární trojitý součin rovná 0, pak roviny buď nemají trojitý průsečík, nebo je to přímka (nebo rovina, pokud jsou všechny tři roviny stejné).

Křivka a plocha

průsečík křivky ${ displaystyle (t, t ^ {2}, t ^ {3})}$ s povrchem ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$

Analogicky k rovinnému případu vedou následující případy k nelineárním systémům, které lze vyřešit pomocí 1- nebo 3-rozměrné Newtonovy iterace.^[4]

• parametrická křivka ${ displaystyle C: (x (t), y (t), z (t))}$ a

parametrický povrch ${ displaystyle S: (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) ,}$

• parametrická křivka ${ displaystyle C: (x (t), y (t), z (t))}$ a

implicitní povrch ${ displaystyle S: f (x, y, z) = 0 .}$

Příklad:

parametrická křivka ${ displaystyle C: (t, t ^ {2}, t ^ {3})}$ a

implicitní povrch ${ displaystyle S: x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} -1 = 0}$ (s. obrázek).

Průsečíky jsou: (-0,8587, 0,7374, -0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

A křižovatka čára-koule je jednoduchý speciální případ.

Stejně jako v případě přímky a roviny, průsečík křivky a plochy v obecná pozice sestává z diskrétních bodů, ale křivka může být částečně nebo úplně obsažena v povrchu.

Čára a mnohostěn

Dva povrchy

Dva příčně se protínající povrchy dávají křižovatková křivka. Nejjednodušší případ je průsečík dvou nerovnoběžných rovin.

Viz také

• Výpočetní geometrie
• Rovnice přímky

Reference

Další čtení

• Nicholas M. Patrikalakis a Takashi Maekawa, Tvarový dotaz pro návrh a výrobu podporovanou počítačemSpringer, 2002, ISBN  3540424547, 9783540424543, str. 408. [1]