Průsečík čára-rovina - Line–plane intersection

Tři možné vztahy rovina-čára ve třech rozměrech. (Zobrazena je v každém případě pouze část roviny, která sahá nekonečně daleko.)

V analytice geometrie, křižovatka a čára a a letadlo v trojrozměrný prostor může být prázdná sada, a směřovat nebo řádek. Je to celá čára, pokud je tato čára vložena do roviny, a prázdná množina, pokud je čára rovnoběžná s rovinou, ale mimo ni. Jinak čára prořízne rovinu v jednom bodě.

Rozlišování těchto případů a určování rovnic pro bod a přímku v posledních případech má použití v počítačová grafika, plánování pohybu, a Detekce kolize.

Algebraická forma

v vektorová notace, rovinu lze vyjádřit jako množinu bodů ${ displaystyle mathbf {p}}$ pro který

{ displaystyle ( mathbf {p} - mathbf {p_ {0}}) cdot mathbf {n} = 0}

kde ${ displaystyle mathbf {n}}$ je normální vektor do letadla a ${ displaystyle mathbf {p_ {0}}}$ je bod v rovině. (Zápis ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b}}$ označuje Tečkovaný produkt vektorů ${ displaystyle mathbf {a}}$ a ${ displaystyle mathbf {b}}$ .)

Vektorová rovnice pro přímku je

{ displaystyle mathbf {p} = mathbf {l_ {0}} + mathbf {l} d quad d in mathbb {R}}

kde ${ displaystyle mathbf {l}}$ je vektor ve směru čáry, ${ displaystyle mathbf {l_ {0}}}$ je bod na přímce a ${ displaystyle d}$ je skalární v reálné číslo doména. Dosazení rovnice pro přímku do rovnice pro rovinu dává

{ displaystyle (( mathbf {l_ {0}} + mathbf {l} d) - mathbf {p_ {0}}) cdot mathbf {n} = 0.}

Rozšiřování dává

{ displaystyle ( mathbf {l} cdot mathbf {n}) d + ( mathbf {l_ {0}} - mathbf {p_ {0}}) cdot mathbf {n} = 0.}

A řešení pro ${ displaystyle d}$ dává

{ displaystyle d = {( mathbf {p_ {0}} - mathbf {l_ {0}}) cdot mathbf {n} over mathbf {l} cdot mathbf {n}}.}

Li ${ displaystyle mathbf {l} cdot mathbf {n} = 0}$ pak přímka a rovina jsou rovnoběžné. Budou dva případy: pokud ${ displaystyle ( mathbf {p_ {0}} - mathbf {l_ {0}}) cdot mathbf {n} = 0}$ pak je přímka obsažena v rovině, to znamená, že přímka protíná rovinu v každém bodě přímky. Jinak čára a rovina nemají žádný průnik.

Li ${ displaystyle mathbf {l} cdot mathbf {n} neq 0}$ existuje jediný průsečík. Hodnota ${ displaystyle d}$ lze vypočítat a průsečík je dán vztahem

{ displaystyle mathbf {l_ {0}} + mathbf {l} d}

.

Parametrický formulář

Průsečík přímky a roviny.

Přímka je popsána všemi body, které jsou daným směrem od bodu. Obecný bod na přímce procházející body ${ displaystyle mathbf {l} _ {a} = (x_ {a}, y_ {a}, z_ {a})}$ a ${ displaystyle mathbf {l} _ {b} = (x_ {b}, y_ {b}, z_ {b})}$ lze reprezentovat jako

{ displaystyle mathbf {l} _ {a} + mathbf {l} _ {ab} t, quad t in mathbb {R},}

kde ${ displaystyle mathbf {l} _ {ab} = mathbf {l} _ {b} - mathbf {l} _ {a}}$ je vektor směřující z ${ displaystyle mathbf {l} _ {a}}$ na ${ displaystyle mathbf {l} _ {b}}$ .

Podobně obecný bod v rovině určený trojúhelníkem definovaným body ${ displaystyle mathbf {p} _ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ , ${ displaystyle mathbf {p} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ a ${ displaystyle mathbf {p} _ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ lze reprezentovat jako

{ displaystyle mathbf {p} _ {0} + mathbf {p} _ {01} u + mathbf {p} _ {02} v, quad u, v in mathbb {R},}

kde ${ displaystyle mathbf {p} _ {01} = mathbf {p} _ {1} - mathbf {p} _ {0}}$ je vektor směřující z ${ displaystyle mathbf {p} _ {0}}$ na ${ displaystyle mathbf {p} _ {1}}$ , a ${ displaystyle mathbf {p} _ {02} = mathbf {p} _ {2} - mathbf {p} _ {0}}$ je vektor směřující z ${ displaystyle mathbf {p} _ {0}}$ na ${ displaystyle mathbf {p} _ {2}}$ .

Bod, ve kterém čára protíná rovinu, je proto popsán nastavením bodu na přímce rovného bodu v rovině, čímž se získá parametrická rovnice:

{ displaystyle mathbf {l} _ {a} + mathbf {l} _ {ab} t = mathbf {p} _ {0} + mathbf {p} _ {01} u + mathbf {p} _ {02} v.}

To lze přepsat jako

{ displaystyle mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0} = - mathbf {l} _ {ab} t + mathbf {p} _ {01} u + mathbf {p} _ {02} v,}

které lze vyjádřit v maticové formě jako

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - mathbf {l} _ {ab } & mathbf {p} _ {01} & mathbf {p} _ {02} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} t u v end {bmatrix}},}

kde jsou vektory zapsány jako sloupcové vektory.

Tím vznikne a soustava lineárních rovnic pro které lze vyřešit ${ displaystyle t}$ , ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ . Pokud řešení splňuje podmínku ${ displaystyle t v [0,1],}$ , pak je průsečík na úsečce mezi ${ displaystyle mathbf {l} _ {a}}$ a ${ displaystyle mathbf {l} _ {b}}$ , jinak je to jinde na lince. Stejně tak, pokud řešení vyhovuje ${ displaystyle u, v v [0,1],}$ , pak je průsečík v rovnoběžník tvořený bodem ${ displaystyle mathbf {p} _ {0}}$ a vektory ${ displaystyle mathbf {p} _ {01}}$ a ${ displaystyle mathbf {p} _ {02}}$ . Pokud řešení dodatečně vyhovuje ${ displaystyle (u + v) leq 1}$ , pak průsečík leží v trojúhelníku tvořeném třemi body ${ displaystyle mathbf {p} _ {0}}$ , ${ displaystyle mathbf {p} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {p} _ {2}}$ .

Determinant matice lze vypočítat jako

{ displaystyle det ({ begin {bmatrix} - mathbf {l} _ {ab} & mathbf {p} _ {01} & mathbf {p} _ {02} end {bmatrix}}) = - mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02}).}

Pokud je determinant nula, pak neexistuje žádné jedinečné řešení; přímka je buď v rovině, nebo rovnoběžně s ní.

Pokud existuje jedinečné řešení (determinant není 0), lze jej najít pomocí převrácení matice a přeskupení:

{ displaystyle { begin {bmatrix} t u v end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - mathbf {l} _ {ab} & mathbf {p} _ {01} & mathbf {p} _ {02} end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0} end {bmatrix} },}

který se rozšiřuje na

{ displaystyle { begin {bmatrix} t u v end {bmatrix}} = { frac {1} {- mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ { 01} times mathbf {p} _ {02})}} { begin {bmatrix} {( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})} ^ { mathrm {T}} {( mathbf {p} _ {02} times - mathbf {l} _ {ab})} ^ { mathrm {T}} {(- mathbf {l} _ {ab} times mathbf {p} _ {01})} ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {l} _ {a} - mathbf {p } _ {0} end {bmatrix}}}

a pak do

{ displaystyle { begin {bmatrix} t u v end {bmatrix}} = { frac {1} {- mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ { 01} times mathbf {p} _ {02})}} { begin {bmatrix} {( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0}) {( mathbf {p} _ {02} times - mathbf {l} _ {ab})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0}) {(- mathbf {l} _ {ab} times mathbf {p} _ {01})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf {p} _ {0}) end {bmatrix}},}

což dává řešení:

{ displaystyle t = { frac {{( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf {p } _ {0})} {- mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})}}}

{ displaystyle u = { frac {{( mathbf {p} _ {02} times - mathbf {l} _ {ab})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf { p} _ {0})} {- mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})}}}

{ displaystyle v = { frac {{(- mathbf {l} _ {ab} times mathbf {p} _ {01})} cdot ( mathbf {l} _ {a} - mathbf { p} _ {0})} {- mathbf {l} _ {ab} cdot ( mathbf {p} _ {01} times mathbf {p} _ {02})}}.}

Průsečík se potom rovná

{ displaystyle mathbf {l} _ {a} + mathbf {l} _ {ab} t}

Použití

V sledování paprsku metoda počítačová grafika povrch může být reprezentován jako sada kusů letadel. Průsečík paprsku světla s každou rovinou se používá k vytvoření obrazu povrchu. Na základě vidění 3D rekonstrukce, podpole počítačového vidění, se hloubkové hodnoty běžně měří tzv. triangulační metodou, která zjišťuje průnik mezi světelnou rovinou a paprskem odraženým směrem k fotoaparátu.

Algoritmus lze zobecnit tak, aby pokrýval průsečík s jinými rovinnými útvary, zejména s průsečík mnohostěnu s přímkou.

Viz také

Souřadnice Plückera # Letadlo se setkává výpočet průsečíku, když je čára vyjádřena Plückerovými souřadnicemi.
Průsečík rovina-rovina

externí odkazy

Křižovatky čar, segmentů a rovin (2D a 3D) z GeomAlgorithms.com