Průsečík čára-koule - Line–sphere intersection

Tři možné křižovatky line-sphere:
1. Žádná křižovatka.
2. Průsečík bodů.
3. Průsečík dvou bodů.

v analytická geometrie, a čára a a koule umět protínají třemi způsoby:

1. Žádná křižovatka
2. Křižovatka přesně v jednom bodě
3. Křižovatka ve dvou bodech.

Metody pro rozlišení těchto případů a stanovení souřadnice pro body v posledních případech jsou užitečné za řady okolností. Například je běžné provádět výpočet během sledování paprsku ^[1].

Výpočet pomocí vektorů ve 3D

v vektorová notace, rovnice jsou následující:

Rovnice pro a koule

${displaystyle leftVert mathbf {x} -mathbf {c} ightVert ^ {2} = r ^ {2}}$

• ${displaystyle mathbf {c}}$ - centrální bod
• ${displaystyle r}$ - poloměr
• ${displaystyle mathbf {x}}$ - body na kouli

Rovnice pro řádek začínající na ${displaystyle mathbf {o}}$

${displaystyle mathbf {x} = mathbf {o} + dmathbf {u}}$

• ${displaystyle d}$ - vzdálenost podél čáry od výchozího bodu
• ${displaystyle mathbf {u}}$ - směr vedení (a jednotkový vektor )
• ${displaystyle mathbf {o}}$ - původ řádku
• ${displaystyle mathbf {x}}$ - body na řádku

Hledání bodů, které jsou na přímce a na kouli, znamená kombinaci rovnic a řešení pro ${displaystyle d}$zahrnující Tečkovaný produkt vektorů:

Rovnice dohromady

${displaystyle leftVert mathbf {o} + dmathbf {u} -mathbf {c} ightVert ^ {2} = r ^ {2} Leftrightarrow (mathbf {o} + dmathbf {u} -mathbf {c}) cdot (mathbf {o } + dmathbf {u} -mathbf {c}) = r ^ {2}}$

Rozšířený

${displaystyle d ^ {2} (mathbf {u} cdot mathbf {u}) + 2d (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) + (mathbf {o} -mathbf {c}) cdot (mathbf {o} -mathbf {c}) = r ^ {2}}$

Přeskupeno

${displaystyle d ^ {2} (mathbf {u} cdot mathbf {u}) + 2d (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) + (mathbf {o} -mathbf {c}) cdot (mathbf {o} -mathbf {c}) -r ^ {2} = 0}$

Forma a kvadratický vzorec je nyní pozorovatelný. (Tato kvadratická rovnice je instancí Joachimsthalovy rovnice.^[2])

${displaystyle ad ^ {2} + bd + c = 0}$

kde

• ${displaystyle a = mathbf {u} cdot mathbf {u} = leftVert mathbf {u} ightVert ^ {2}}$
• ${displaystyle b = 2 (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c}))}$
• ${displaystyle c = (mathbf {o} -mathbf {c}) cdot (mathbf {o} -mathbf {c}) -r ^ {2} = leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^ {2} - r ^ {2}}$

Zjednodušený

${displaystyle d = {frac {-2 (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) pm {sqrt {(2 (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) )) ^ {2} -4leftVert mathbf {u} ightVert ^ {2} (leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^ {2} -r ^ {2})}}} {2leftVert mathbf {u} ightVert ^ {2}}}}$

Všimněte si, že ${displaystyle mathbf {u}}$ je jednotkový vektor, a tedy ${displaystyle leftVert mathbf {u} ightVert ^ {2} = 1}$. Můžeme to tedy dále zjednodušit na

${displaystyle d = - (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) pm {sqrt {abla}}}$

${displaystyle abla = (mathbf {u} cdot (mathbf {o} -mathbf {c})) ^ {2} - (leftVert mathbf {o} -mathbf {c} ightVert ^ {2} -r ^ {2}) }$

• Li ${displaystyle abla <0}$, pak je jasné, že neexistují žádná řešení, tj. přímka neprotíná sféru (případ 1).
• Li ${displaystyle abla = 0}$, pak existuje právě jedno řešení, tj. přímka se dotkne koule v jednom bodě (případ 2).
• Li ${displaystyle abla> 0}$existují dvě řešení, a tak se čára dotýká koule ve dvou bodech (případ 3).

Viz také

• Analytická geometrie
• Průsečík čára-rovina
• Průsečík rovina-rovina

Reference