Ideální teorie - Ideal theory

v matematika, ideální teorie je teorie ideály v komutativní prsteny; a je předchůdcem současného předmětu komutativní algebra. Název vyrostl z ústředních úvah, jako například Lasker-Noetherova věta v algebraická geometrie a ideální třídní skupina v algebraická teorie čísel komutativní algebry první čtvrtiny dvacátého století. To bylo používáno ve vlivném van der Waerden text na abstraktní algebra z doby kolem roku 1930.

Dotyčná ideální teorie byla založena na teorie eliminace, ale v souladu s David Hilbert chuť se vzdálila od algoritmické metody. Gröbnerův základ Teorie nyní obrátila trend, protože počítačová algebra.

Důležitost myšlenky a modul, obecnější než ideál, pravděpodobně vedlo k vnímání, že ideální teorie byl příliš úzký popis. Teorie ocenění bylo také důležitým technickým rozšířením a bylo používáno Helmut Hasse a Oscar Zariski. Bourbaki použitý komutativní algebra; někdy místní algebra se aplikuje na teorii místní prsteny. Douglas Northcott rok 1953 Cambridge Tract Ideální teorie (znovu vydán v roce 2004 pod stejným názvem) byl jedním z konečných vystoupení jména.

Topologie určená ideálem

Nechat R být prsten a M an R-modul. Pak každý ideální ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ z R určuje topologii na M volal ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-adická topologie taková, že podmnožina U z M je otevřeno jen a jen pokud pro každého X v U existuje kladné celé číslo n takhle

${ displaystyle x + { mathfrak {a}} ^ {n} M podmnožina U.}$

S ohledem na to ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-adická topologie, ${ displaystyle {x + { mathfrak {a}} ^ {n} M } _ {n}}$ je základem čtvrtí ${ displaystyle x}$ a zajišťuje nepřetržitý provoz modulu; zejména, ${ displaystyle M}$ je možná non-Hausdorff topologická skupina. Taky, M je Hausdorffův topologický prostor kdyby a jen kdyby ${ textstyle bigcap _ {n> 0} { mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}$ Navíc, když ${ displaystyle M}$ je Hausdorff, topologie je stejná jako metrický prostor topologie daná definováním funkce vzdálenosti: ${ displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}$ pro ${ displaystyle x neq y}$, kde ${ displaystyle n}$ je celé číslo takové, že ${ displaystyle x-y in { mathfrak {a}} ^ {n} M - { mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$.

Vzhledem k tomu, submodul N z M, ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$- uzavření N v M je rovný ${ textstyle bigcap _ {n> 0} (N + { mathfrak {a}} ^ {n} M)}$, jak je snadno ukázáno.

Nyní, a priori, na submodulu N z M, existují dva přírodní ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-topologie: topologie podprostoru vyvolaná ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-adická topologie zapnuta M a ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-adická topologie zapnuta N. Kdy však ${ displaystyle R}$ je Noetherian a ${ displaystyle M}$ je konečný, tyto dvě topologie se shodují v důsledku Artin – Reesovo lemma.

Když ${ displaystyle M}$ je Hausdorff, ${ displaystyle M}$ může být dokončeno jako metrický prostor; výsledný prostor je označen ${ displaystyle { widehat {M}}}$ a má modulovou strukturu získanou rozšířením operací modulu o kontinuitu. Je také stejný jako (nebo kanonicky izomorfní):

${ displaystyle { widehat {M}} = varprojlim M / { mathfrak {a}} ^ {n} M}$

kde je pravá strana dokončení modulu ${ displaystyle M}$ s ohledem na ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$.

Příklad: Nechte ${ displaystyle R = k [x_ {1}, tečky, x_ {n}]}$ být polynomiálním prstencem nad polem a ${ displaystyle { mathfrak {a}} = (x_ {1}, tečky, x_ {n})}$ maximální ideál. Pak ${ displaystyle { widehat {R}} = k [! [x_ {1}, dots, x_ {n}] !]}$ je formální kruh mocninných řad.

R se nazývá a Zariski prsten s ohledem na ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ pokud každý ideální v R je ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$-Zavřeno. Existuje charakteristika:

R je Zariski prsten s ohledem na ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ je obsažen v Jacobson radikální z R.

Zejména Noetherian místní prsten je Zariski prsten s ohledem na maximální ideálu.

Systém parametrů

A soustava parametrů pro místní Noetherian ring z Dimenze Krull d s maximální ideál m je sada prvků X₁, ..., X_d který splňuje kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:

1. m je minimální prime přes (X₁, ..., X_d).
2. The radikální z (X₁, ..., X_d) je m.
3. Nějaká síla m je obsažen v (X₁, ..., X_d).
4. (X₁, ..., X_d) je m-hlavní.

Každý místní noetherianský prsten připouští systém parametrů.

Není možné za méně než d prvky k vytvoření ideálu, jehož radikál je m protože pak rozměr R bude menší než d.

Li M je k-rozměrný modul přes místní kruh, pak X₁, ..., X_k je soustava parametrů pro M pokud délka z M / (X₁, ..., X_k)M je konečný.

Teorie redukce

Teorie redukce sahá až k vlivnému článku Northcott a Rees z roku 1954, který představil základní pojmy. V algebraické geometrii patří teorie mezi základní nástroje pro získání podrobných informací o chování vybuchující.

Vzhledem k ideálům J ⊂ Já v kruhu R, ideál J se říká, že je snížení z Já pokud existuje nějaké celé číslo m > 0 takových ${ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m + 1}}$.^[1] U takových ideálů platí bezprostředně z definice toto:

• Pro všechny k, ${ displaystyle J ^ {k} I ^ {m} = J ^ {k-1} I ^ {m + 1} = cdots = I ^ {m + k}}$.
• J a Já mít nad nimi stejný radikál a stejnou sadu minimálních ideálů^[2] (konverzace je nepravdivá).

Li R je tedy noetherovský prsten J je snížení o Já jen a jen pokud Reesova algebra R[To] je konečný přes R[Jt].^[3] (To je důvod vztahu k odpálení.)

Úzce související pojem je analytické rozpětí. Podle definice je prsten z kuželového vlákna noetherianského místního kruhu (R, ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$) podél ideálu Já je

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R) = R [It] otimes _ {R} kappa ({ mathfrak {m}}) simeq bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / { mathfrak {m}} I ^ {n}}$.

The Dimenze Krull z ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R)}$ se nazývá analytické rozpětí z Já. Vzhledem ke snížení ${ displaystyle J podmnožina I}$, minimální počet generátorů J je alespoň analytické rozšíření Já.^[4] Částečná konverzace platí také pro nekonečná pole: pokud ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$ je nekonečný a pokud je celé číslo ${ displaystyle ell}$ je analytické šíření Já, pak každé snížení o Já obsahuje redukci generovanou ${ displaystyle ell}$ elementy.^[5]

Místní kohomologie v ideální teorii

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2019)

K získání informací o ideálu lze někdy použít místní kohomologii. Tato část předpokládá určitou znalost teorie svazků a teorie schémat.

Nechat ${ displaystyle M}$ být modulem přes prsten ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle I}$ ideál. Pak ${ displaystyle M}$ určuje svazek ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ na ${ displaystyle Y = operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ (omezení na Y snopu spojeného s M). Odvíjení definice znamená:

${ displaystyle Gamma _ {I} (M): = Gamma (Y, { widetilde {M}}) = varinjlim operatorname {Hom} (I ^ {n}, M)}$.

Tady, ${ displaystyle Gamma _ {I} (M)}$ se nazývá ideální transformace z ${ displaystyle M}$ s ohledem na ${ displaystyle I}$.^[6]

Reference

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integrální uzavření ideálů, prstenů a modulů, Série přednášek London Mathematical Society, 336, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-68860-4, PAN  2266432