Hypercovering - Hypercovering
v matematika, a zejména teorie homotopy, a hyperkrytí (nebo hypercover) je a zjednodušený objekt který zobecňuje Čech nerv přikrývky. Pro Čechův nerv otevřeného krytu , jeden může ukázat, že pokud prostor je kompaktní a pokud je každá křižovatka otevřených množin v obálce smrštitelná, pak je možné tyto množiny zkrátit a získat zjednodušenou množinu, která je slabě ekvivalentní přirozeným způsobem. U topologie étale a dalších webů tyto podmínky selhávají. Myšlenkou hypercoveru je pouze pracovat s -násobné průniky množin daného otevřeného krytu , umožňující párové průniky setů zakrýt otevřeným krytem , a nechat trojité průsečíky tohoto krytu zakrýt ještě dalším otevřeným krytem iterativně atd. Hypercoverings mají ústřední roli v étale homotopy a dalších oblastech, kde je aplikována teorie homotopy algebraická geometrie, jako teorie motivické homotopy.
Formální definice
Původní definice uvedená pro etomle cohomology podle Jean-Louis Verdier v SGA4, Vystavte V, Sec. 7, Thm. 7.4.1, vypočítat svazek cohomologie v libovolných Grothendieckových topologiích. Pro web étale je definice následující:
Nechat být systém a zvážit kategorii schémat étale přes . A hypercover je zjednodušený objekt této kategorie takové je obal étale a tak dále je étale obal pro každého .
Vlastnosti
Verdierova věta o hyperkrytí uvádí, že abelianská svazková cohomologie snopového snopu může být počítána jako kolimita cochainových cohomologií ve všech hyperovers.
Pro lokálně Noetherian schéma kategorie hypercoverings modulo simplicial homotopy je cofiltering, a tak dává pro-objekt v kategorii homotopy simplefic sad. Geometrické realizace tohoto je Homotopy typu Artin-Mazur. Zevšeobecnění E. Friedlandera pomocí bisimpliciálních hyperkrytí jednoduchých schémat se nazývá étaleový topologický typ.
Reference
- Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Springer.
- Friedlander, Eric (1982). Étale homotopy zjednodušených schémat. Annals of Mathematics Studies, PUP.
- Poznámky k přednášce G. Quicka "Přednáška Étale homotopy 2."
- Hypercover v nLab