Nerv krycí vrstvy - Nerve of a covering

Konstrukce nervu z otevřeného dobrého krytu obsahujícího 3 sady v rovině.

v topologie, nerv otevřeného obalu je výstavba abstraktní zjednodušený komplex z otevřená krytina a topologický prostor X který zachycuje mnoho zajímavých topologických vlastností algoritmickým nebo kombinatorickým způsobem. To bylo představeno Pavel Alexandrov^[1] a nyní má mnoho variant a zobecnění, mezi nimi i Čech nerv krytu, který je zobecněn pomocí hyperkrytí.^[2]

Alexandrovova definice

Nechat X být topologickým prostorem. Nechat ${ displaystyle I}$ být sada indexů. Nechat ${ displaystyle C}$ být rodinou indexovanou podle ${ displaystyle I}$ z otevřené podmnožiny z X: ${ displaystyle C = lbrace U_ {i}: i in I rbrace}$ . The nerv z ${ displaystyle C}$ je sada konečných podmnožin sady indexů ${ displaystyle I}$ . Obsahuje všechny konečné podmnožiny ${ displaystyle J subseteq I}$ tak, že křižovatka U_i jejichž podindexy jsou v J není prázdný:

N (C) :=

{ displaystyle { bigg {} U_ {j}: J subseteq I ~~~~ a ~~~~ bigcap _ {j v J} U_ {j} neq varnothing { bigg }} }

N (C) může obsahovat singletony (prvky i v ${ displaystyle I}$ takhle U_i není prázdné), páry (páry prvků i, j v ${ displaystyle I}$ takhle U_i protíná se U_j), trojčata atd. Li J patří N(C), pak je jakákoli z jejích podmnožin také v N (C). Proto N (C) je abstraktní zjednodušený komplex a často se tomu říká nervový komplex z C.

Příklady

1. Nechte X být kruh S.¹ a C = {U₁, U₂}, kde U₁ je oblouk pokrývající horní polovinu S.¹ a U₂ je oblouk pokrývající jeho spodní polovinu, s určitým překrytím na obou stranách (musí se překrývat na obou stranách, aby pokryly všechny S¹). Pak N(C) = {{1}, {2}, {1,2}}, což je abstraktní 1-simplex.

2. Nechte X být kruh S.¹ a C = {U₁, U₂, U₃}, kde každý U_i je oblouk pokrývající jednu třetinu S¹, s určitým překrytím se sousedním U_i. Pak N(C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Všimněte si, že {1,2,3} není v N (C), protože společný průnik všech tří množin je prázdný.

Čechův nerv

Vzhledem k otevřete kryt ${ displaystyle C = {U_ {i}: i v I }}$ topologického prostoru ${ displaystyle X}$ , nebo obecněji krytí webu, můžeme uvažovat o dvojici výrobky z vláken ${ displaystyle U_ {ij} = U_ {i} krát _ {X} U_ {j}}$ , což jsou v případě topologického prostoru právě křižovatky ${ displaystyle U_ {i} čepice U_ {j}}$ . Soubor všech těchto křižovatek lze označit jako ${ displaystyle C krát _ {X} C}$ a trojité křižovatky jako ${ displaystyle C krát _ {X} C krát _ {X} C}$ .

Uvažováním o přírodních mapách ${ displaystyle U_ {ij} až U_ {i}}$ a ${ displaystyle U_ {i} až U_ {ii}}$ , můžeme sestrojit a zjednodušený objekt ${ displaystyle S (C) _ { odrážka}}$ definován ${ displaystyle S (C) _ {n} = C krát _ {X} cdots krát _ {X} C}$ , n-násobný produkt z vláken. To je Čech nerv. ^[3]

Vezmeme-li připojené komponenty, získáme a zjednodušená sada, což si můžeme topologicky uvědomit: ${ displaystyle | S ( pi _ {0} (C)) |}$ .

Nervové věty

Obecně platí, že komplex N (C) nemusí odrážet topologii systému X přesně. Můžeme například pokrýt všechny n-koule se dvěma stahovatelnými sadami U₁ a U₂ které mají neprázdnou křižovatku, jako v příkladu 1 výše. V tomto případě, N(C) je abstraktní 1-simplex, který je podobný přímce, ale ne kouli.

V některých případech však N (C) neodráží topologii X. Pokud je například kruh zakryt třemi otevřenými oblouky protínajícími se ve dvojicích jako v příkladu 2 výše, pak N (C) je 2-simplex (bez vnitřku) a je ekvivalent homotopy do původního kruhu.

^[4]

A nervová věta (nebo nervové lemma) je věta, která poskytuje dostatečné podmínky pro C zaručující, že N (C) odráží v určitém smyslu topologii X.

Základní nervová věta o Leray říká říká, že pokud dojde k průniku sad N (C) je smluvní (ekvivalentně: pro každou konečnou ${ displaystyle J podmnožina I}$ sada ${ displaystyle bigcap _ {i in J} U_ {i}}$ je prázdný nebo smluvní; ekvivalentně: C je dobře otevřený kryt ), pak N (C) je ekvivalent homotopy na X.^[5]

Další nervová věta souvisí s Čechovým nervem výše: if ${ displaystyle X}$ je kompaktní a všechny průniky sad v C jsou stahovatelné nebo prázdné, pak prostor ${ displaystyle | S ( pi _ {0} (C)) |}$ je ekvivalent homotopy na ${ displaystyle X}$ .^[6]

Homologická nervová věta

Následující nervová věta používá homologické skupiny průniků množin v obálce.^[7] Pro každou konečnou ${ displaystyle J podmnožina I}$ , označit ${ displaystyle H_ {J, j}: = { tilde {H}} _ {j} ( bigcap _ {i in J} U_ {i}) =}$ the j-th snížená homologie skupina ${ displaystyle bigcap _ {i in J} U_ {i}}$ .

Li H_{J, j} je triviální skupina pro všechny J v k-skelet N (C) a pro všechny j za {0, ..., k-ztlumit(J)}, pak N (C) je „ekvivalent homologie“ X v následujícím smyslu:

${ displaystyle { tilde {H}} _ {j} (N (C)) cong { tilde {H}} _ {j} (X)}$ pro všechny j za {0, ..., k};
-li ${ displaystyle { tilde {H}} _ {k + 1} (N (C)) not cong 0}$ pak ${ displaystyle { tilde {H}} _ {k + 1} (X) not cong 0}$ .

Viz také

Hypercovering

Reference

^ Aleksandroff, P. S. (1928). „Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung“. Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007 / BF01451612. S2CID 119590045.
^ Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (31.12.1952). Základy algebraické topologie. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
^ „Čech nerv v nLab“. ncatlab.org. Citováno 2020-08-07.
^ Artin, M .; Mazur, B. (1969). „Etale Homotopy“. Přednášky z matematiky. 100. doi:10.1007 / bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.
^ 1969-, Ghrist, Robert W. (2014). Elementární aplikovaná topologie (Vydání 1.0 ed.). [Spojené státy]. ISBN 9781502880857. OCLC 899283974.CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
^ Nervová věta v nLab
^ Meshulam, Roy (01.01.2001). "The Clique Complex and Hypergraph Matching". Combinatorica. 21 (1): 89–94. doi:10,1007 / s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

[1] Aleksandroff, P. S. (1928). „Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung“. Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007 / BF01451612. S2CID 119590045.

[2] Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (31.12.1952). Základy algebraické topologie. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.

[3] „Čech nerv v nLab“. ncatlab.org. Citováno 2020-08-07.

[4] Artin, M .; Mazur, B. (1969). „Etale Homotopy“. Přednášky z matematiky. 100. doi:10.1007 / bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.

[5] 1969-, Ghrist, Robert W. (2014). Elementární aplikovaná topologie (Vydání 1.0 ed.). [Spojené státy]. ISBN 9781502880857. OCLC 899283974.CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

[6] Nervová věta v nLab

[:3-7] Meshulam, Roy (01.01.2001). "The Clique Complex and Hypergraph Matching". Combinatorica. 21 (1): 89–94. doi:10,1007 / s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]