Margulisovo lemma - Margulis lemma

V diferenciální geometrii je podpole matematika, Margulisovo lemma (pojmenoval podle Grigory Margulis ) je výsledek o diskrétní podskupiny izometrií a není pozitivně zakřivený Riemannovy rozdělovače (např hyperbolický n-prostor ). Zhruba uvádí, že v pevném poloměru, obvykle nazývaném Margulisova konstanta, struktura oběžných drah takové skupiny nemůže být příliš komplikovaná. Přesněji řečeno, v tomto poloměru kolem bodu jsou všechny body na jeho oběžné dráze ve skutečnosti na oběžné dráze a nilpotentní podskupina (ve skutečnosti omezený konečný počet takových).

Margulisovo lema pro různá potrubí pozitivního zakřivení

Formální prohlášení

Lemgum Margulis lze formulovat následovně.^[1]

Nechat ${displaystyle X}$ být jednoduše připojeno potrubí neomezeně ohraničeného zakřivení. Existují konstanty ${displaystyle C, varepsilon> 0}$ s následující vlastností. Pro každou samostatnou podskupinu ${displaystyle Gamma}$ skupiny izometrií ${displaystyle X}$ a jakékoli ${displaystyle xin X}$, pokud ${displaystyle F_ {x}}$ je sada:

${displaystyle F_ {x} = {gin Gamma: d (x, gx)$

pak podskupina vygenerovaná ${displaystyle F_ {x}}$ obsahuje nilpotentní podskupinu indexu menší než ${displaystyle C}$. Tady ${displaystyle d}$ je vzdálenost indukované Riemannovou metrikou.

Okamžitě ekvivalentní prohlášení lze uvést následovně: pro libovolnou podmnožinu ${displaystyle F}$ izometrické skupiny, pokud splňuje, že:

• existuje a ${displaystyle xin X}$ takhle ${displaystyle forall gin F: d (x, gx)$;
• skupina ${displaystyle langle Fangle}$ generováno uživatelem ${displaystyle F}$ je diskrétní

pak ${displaystyle langle Fangle}$ obsahuje nilpotentní podskupinu indexu ${displaystyle leq C}$.

Margulisovy konstanty

Optimální konstanta ${displaystyle varepsilon}$ ve výroku lze učinit závislost pouze na dimenzi a spodní hranici na zakřivení; obvykle se normalizuje tak, že zakřivení je mezi -1 a 0. Obvykle se nazývá Margulisova konstanta dimenze.

Lze také zvážit konstanty margulis pro konkrétní prostory. Například bylo vyvinuto důležité úsilí určit Margulisovu konstantu hyperbolických prostorů (konstantní zakřivení -1). Například:

• optimální konstanta pro hyperbolická rovina je rovný ${displaystyle 2mathrm {arcsinh} vlevo ({sqrt {frac {2cos (2pi / 7) -1} {8cos (pi / 7) +7}}} v pořádku) simeq 0,2629}$;^[2]
• Obecně Margulisova konstanta ${displaystyle varepsilon _ {n}}$ pro hyperbolické ${displaystyle n}$-prostor je známo, že uspokojuje hranice:

${displaystyle c ^ {- n ^ {2}}$

pro některé ${displaystyle 0 0}$.^[3]

Sousedství Zassenhaus

Obzvláště studovanou skupinu příkladů negativně zakřivených variet dává daná symetrické prostory spojené s napůl jednoduché Lie skupiny. V tomto případě lze Margulisovu lematu dát následující, algebraičtější formulaci, která sahá až k Hans Zassenhaus. ^[4]

Li ${displaystyle G}$ je napůl jednoduchá Lieova skupina, existuje sousedství ${displaystyle Omega}$ identity v ${displaystyle G}$ a a ${displaystyle C> 0}$ takové, že každá samostatná podskupina ${displaystyle Gamma}$ který je generován ${displaystyle Gamma cap Omega}$ obsahuje nilpotentní podskupinu indexu ${displaystyle leq C}$.

Takové čtvrti se říká a Sousedství Zassenhaus.

Tlustý tenký rozklad

Nechat ${displaystyle M}$ být Riemannovo potrubí a ${displaystyle varepsilon> 0}$. The tenká část z ${displaystyle M}$ je podmnožina bodů ${displaystyle xin M}$ Kde poloměr vstřikování z ${displaystyle M}$ na ${displaystyle x}$ je méně než ${displaystyle varepsilon}$, obvykle označeno ${displaystyle M _ {$a tlustá část jeho doplněk, obvykle označovaný ${displaystyle M_ {geq varepsilon}}$. Existuje tautologický rozklad na disjunktní unii ${displaystyle M = M _ {$.

Když ${displaystyle M}$ je záporné zakřivení a ${displaystyle varepsilon}$ je menší než Margulisova konstanta pro ${displaystyle {widetilde {M}}}$ struktura složek tenké části je velmi jednoduchá. Omezme se na případ hyperbolických potrubí konečného objemu. Předpokládejme to ${displaystyle varepsilon}$ je menší než Margulisova konstanta pro ${displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ a nechte ${displaystyle M}$ být hyperbolický ${displaystyle n}$- potrubí konečného objemu. Pak má jeho tenká část dva druhy komponent:^[5]

• Hrbolky: jedná se o neomezené komponenty, jsou difeomorfní vůči a byt ${displaystyle (n-1)}$- potrubí krát řádek;
• Margulisovy trubky: to jsou sousedství uzavřená geodetika délky ${displaystyle$ na ${displaystyle M}$. Jsou ohraničené a difeomorfní na časy kruhu a ${displaystyle (n-1)}$-disk.

Zejména úplné hyperbolické potrubí konečných objemů je vždy difeomorfní vůči vnitřku kompaktního potrubí (možná s prázdnou hranicí).

Další aplikace

Margulisovo lema je důležitým nástrojem při studiu variet negativního zakřivení. Kromě tlustého a tenkého rozkladu jsou některé další aplikace:

• The límec límce: toto je přesnější verze popisu kompaktních součástí tenkých částí. Uvádí, že každá uzavřená geodetická délka ${displaystyle ell$ na hyperbolickém povrchu je obsažen ve vloženém válci o průměru řádu ${displaystyle ell ^ {- 1}}$.
• Margulisovo lema poskytuje okamžité kvalitativní řešení problému minimálního množství v hyperbolických varietách: protože objem Margulisovy trubice lze vidět, že je omezen konstantou závislou pouze na dimenzi, vyplývá z toho, že existuje pozitivní infimum objemy hyperbolických n- rozdělovače pro všechny n.^[6]
• Existence čtvrtí Zassenhaus je klíčovou složkou důkazu o Kazhdan – Margulisova věta.
• Jeden může obnovit Jordan – Schurova věta jako důsledek existence čtvrtí Zassenhaus.

Poznámky

Reference

• Ballmann, Werner; Gromov, Michail; Schroeder, Viktor (1985). Rozdělovače nepozitivního zakřivení. Birkhâuser.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Raghunathan, M. S. (1972). Diskrétní podskupiny Lieových skupin. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. PAN  0507234.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Ratcliffe, John (2006). Základy hyperbolických potrubí, druhé vydání. Springer. str. xii + 779. ISBN  978-0387-33197-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Thurston, William (1997). Trojrozměrná geometrie a topologie. Sv. 1. Princeton University Press.CS1 maint: ref = harv (odkaz)