Normálně hyperbolický invariantní potrubí - Normally hyperbolic invariant manifold

A normálně hyperbolický invariantní potrubí (NHIM) je přirozené zobecnění a hyperbolický pevný bod a a hyperbolická sada. Rozdíl lze heuristicky popsat takto: Pro potrubí ${ displaystyle Lambda}$ být normálně hyperbolický můžeme dovolit předpokládat, že dynamika ${ displaystyle Lambda}$ sám je neutrální ve srovnání s dynamikou v okolí, což není povoleno pro hyperbolickou množinu. NHIM byly zavedeny Neil Fenichel v roce 1972.^[1] V tomto a následujících příspěvcích^[2][3] Fenichel dokazuje, že NHIM mají stabilní a nestabilní potrubí a co je důležitější, NHIM a jejich stabilní a nestabilní potrubí přetrvávají i při malých poruchách. V problémech zahrnujících poruchovou teorii tedy existují invariantní varietá s určitými vlastnostmi hyperbolicity, které lze zase použít k získání kvalitativních informací o dynamickém systému.^[4]

Definice

Nechat M být kompaktní hladké potrubí, F: M → M A difeomorfismus, a Df: TM → TM the rozdíl z F. An F-invariantní podmanifold Λ z M se říká, že je obvykle hyperbolický invariantní potrubí pokud omezení na Λ tangenta svazku M připouští rozdělení na součet tří Df-invariantní podskupiny, z nichž jeden je tečným svazkem ${ displaystyle Lambda}$, ostatní jsou stabilní svazek a nestabilní svazek a označil E^s a E^u, resp. S ohledem na některé Riemannova metrika na M, omezení Df na E^s musí být kontrakce a omezení Df na E^u musí být expanzí a musí být relativně neutrální ${ displaystyle T Lambda}$. Existují tedy konstanty ${ displaystyle 0 < lambda < mu ^ {- 1} <1}$ a C > 0 takových

${ displaystyle T _ { Lambda} M = T Lambda oplus E ^ {s} oplus E ^ {u}}$

${ displaystyle (Df) _ {x} E_ {x} ^ {s} = E_ {f (x)} ^ {s} { text {a}} (Df) _ {x} E_ {x} ^ { u} = E_ {f (x)} ^ {u} { text {pro všechny}} x v Lambda,}$

${ displaystyle | Df ^ {n} v | leq c lambda ^ {n} | v | { text {pro všechny}} v v E ^ {s} { text {a}} n> 0,}$

${ displaystyle | Df ^ {- n} v | leq c lambda ^ {n} | v | { text {pro všechny}} v v E ^ {u} { text {a} } n> 0,}$

a

${ displaystyle | Df ^ {n} v | leq c mu ^ {| n |} | v | { text {pro všechny}} v v T Lambda { text {a}} n in mathbb {Z}.}$

Viz také

• Stabilní potrubí
• Středové potrubí
• Hyperbolický pevný bod
• Hyperbolická sada
• Hyperbolický Lagrangeovy koherentní struktury

Reference

• M. W. Hirsch, C. C. Pugh a M. Shub Invariantní rozdělovačeSpringer-Verlag (1977), ISBN  978-3540081487 doi:10.1007 / BFb0092042