Věta o projekci a řezu - Projection-slice theorem

v matematika, věta o projekci a řezu, věta o středním řezu nebo Věta o Fourierově řezu ve dvou dimenzích uvádí, že výsledky následujících dvou výpočtů jsou stejné:
- Vezměte dvojrozměrnou funkci F(r), projekt (např. pomocí Radonová transformace ) na (jednorozměrnou) čáru a proveďte a Fourierova transformace té projekce.
- Vezměte stejnou funkci, ale nejprve proveďte dvourozměrnou Fourierovu transformaci a poté plátek skrze svůj počátek, který je rovnoběžný s promítací čarou.
Z hlediska operátora, pokud
- F1 a F2 jsou 1 a 2-dimenzionální operátory Fourierovy transformace uvedené výše,
- P1 je operátor projekce (který promítá 2-D funkci na 1-D čáru),
- S1 je operátor řezu (který extrahuje 1-D centrální řez z funkce),
pak
Tuto myšlenku lze rozšířit na vyšší dimenze.
Tato věta se používá například při analýze lékařskýchCT skenuje, kde „projekce“ je rentgenový snímek vnitřního orgánu. Fourierovy transformace těchto obrazů se považují za řezy prostřednictvím Fourierovy transformace trojrozměrné hustoty vnitřního orgánu a tyto řezy lze interpolovat, aby se vytvořila úplná Fourierova transformace této hustoty. Inverzní Fourierova transformace se poté použila k obnovení trojrozměrné hustoty objektu. Tuto techniku poprvé odvodil Ronald N. Bracewell v roce 1956 pro problém radioastronomie.[1]
Věta o projekci a řezu N rozměry
v N rozměry, věta o projekci a řezu uvádí, žeFourierova transformace z projekce z N-dimenzionální funkceF(r) na m-dimenzionální lineární dílčí potrubí se rovná m-dimenzionální plátek z N-dimenzionální Fourierova transformace této funkce skládající se z m-rozměrný lineární podmanifold počátkem ve Fourierově prostoru, který je rovnoběžný s projekčním submanifoldem. Z hlediska operátora:
Zobecněná Fourierova věta
Kromě zobecnění na N dimenze, věta o projekčním řezu může být dále zobecněna s libovolnou změnou základu.[2] Pro usnadnění zápisu považujeme změnu základu za reprezentovanou jako B, an N-podle-N invertible matrix working on N-dimenzionální vektory sloupců. Pak zobecněná Fourierova věta lze uvést jako
Důkaz ve dvou rozměrech

Věta o projekčním řezu je snadno prokázána pro případ dvou dimenzí. Bez ztráty obecnosti můžeme promítnutou linii považovat za X- osa. Nedochází ke ztrátě obecnosti, protože pokud použijeme posunutou a otočenou čáru, zákon stále platí. Použití posunuté čáry (v y) poskytuje stejnou projekci a tedy stejné výsledky 1D Fourierovy transformace. Rotovaná funkce je Fourierova dvojice rotované Fourierovy transformace, pro kterou věta opět platí.
Li F(X, y) je dvourozměrná funkce, pak projekce F(X, y) na X osa je str(X) kde
Fourierova transformace je
Plátek je pak
což je jen Fourierova transformace str(X). Důkaz pro vyšší rozměry lze snadno zobecnit z výše uvedeného příkladu.
FHA cyklus
Pokud je dvourozměrná funkce F(r) je kruhově symetrický, může být znázorněn jako F(r), kde r = |r|. V tomto případě bude projekce na jakoukoli projekční linii Ábelova transformace z F(r). Dvojrozměrný Fourierova transformace z F(r) bude kruhově symetrická funkce daná nultým řádem Hankelova transformace z F(r), který bude tedy také představovat jakýkoli řez původem. Věta o projekci-řezu pak uvádí, že Fourierova transformace projekce se rovná řezu nebo
kde A1 představuje operátor Abel-transformace, promítající dvojrozměrnou kruhově symetrickou funkci na jednorozměrnou čáru, F1 představuje 1-D Fourierův transformátor a H představuje Hankelův transformátor s nulovým řádem.
Prodloužení na paprsek ventilátoru nebo kuželový paprsek CT
Věta o projekčním řezu je vhodná pro rekonstrukci CT obrazu s paralelními paprskovými projekcemi. Neplatí přímo pro fanbeam nebo conebeam CT. Věta byla rozšířena na rekonstrukci CT obrazu pomocí paprskového a conebeamového obrazu Shuang-ren Zhao v roce 1995.[3]
Viz také
Reference
- ^ Bracewell, Ronald N. (1956). „Strip integration in radio astronomy“. Australian Journal of Physics. 9 (2): 198–217. Bibcode:1956AuJPh ... 9..198B. doi:10.1071 / PH560198.
- ^ Ng, Ren (2005). „Fourier Slice Photography“ (PDF). Transakce ACM v grafice. 24 (3): 735–744. doi:10.1145/1073204.1073256.
- ^ Zhao S.R. a H. Halling (1995). Nová metoda Fourierovy transformace pro ventilátorovou paprskovou tomografii. Publikováno v roce 1995 Záznam z konference Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conference. 2. s. 1287–1291. doi:10.1109 / NSSMIC.1995.510494. ISBN 978-0-7803-3180-8.
Další čtení
- Bracewell, Ronald N. (1990). "Numerické transformace". Věda. 248 (4956): 697–704. Bibcode:1990Sci ... 248..697B. doi:10.1126 / science.248.4956.697. PMID 17812072.
- Bracewell, Ronald N. (1956). „Strip Integration in Radio Astronomy“. Aust. J. Phys. 9 (2): 198. Bibcode:1956AuJPh ... 9..198B. doi:10.1071 / PH560198.
- Gaskill, Jack D. (2005). Lineární systémy, Fourierovy transformace a optika. John Wiley & Sons, New York. ISBN 978-0-471-29288-3.
- Ng, Ren (2005). „Fourier Slice Photography“ (PDF). Transakce ACM v grafice. 24 (3): 735–744. doi:10.1145/1073204.1073256.
- Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995). "Rekonstrukce projekcí kuželového paprsku s cestou volného zdroje zobecněnou Fourierovou metodou". Sborník z mezinárodního setkání z roku 1995 o plně trojrozměrné rekonstrukci obrazu v radiologii a nukleární medicíně: 323–7.
- Garces, Daissy H .; Rhodes, William T .; Peña, Néstor (2011). "The Projection-Slice Theorem: A Compact Notation". Journal of the Optical Society of America A. 28 (5): 766–769. Bibcode:2011JOSAA..28..766G. doi:10.1364 / JOSAA.28.000766. PMID 21532686.
externí odkazy
- Věta o Fourierově řezu (video). Součást kurzu „Počítačová tomografie a sada nástrojů ASTRA“. University of Antwerp. 10. září 2015.