Ábelova transformace - Abel transform
v matematika, Ábelova transformace,[1] pojmenovaný pro Niels Henrik Abel, je integrální transformace často se používá při analýze sféricky symetrických nebo axiálně symetrických funkcí. Abelova transformace funkce F(r) darováno
Za předpokladu, že F(r) klesne na nulu rychleji než 1 /r, inverzní Abelova transformace je dána vztahem
v analýza obrazu, dopředná Abelova transformace se používá k promítnutí opticky tenké, osově symetrické emisní funkce na rovinu a inverzní Abelova transformace se používá k výpočtu emisní funkce dané projekcí (tj. skenováním nebo fotografií) této emisní funkce.
v absorpční spektroskopie válcových plamenů nebo oblaků je integrována dopředná Abelova transformace absorbance podél paprsku s nejbližší vzdáleností y od středu plamene, zatímco inverzní Ábelova transformace dává místní absorpční koeficient na dálku r od centra. Abelova transformace je omezena na aplikace s osově symetrickými geometriemi. U obecnějších asymetrických případů obecnější rekonstrukční algoritmy, jako je technika algebraické rekonstrukce (ART), měly by být použity algoritmy maximální pravděpodobnosti očekávání (MLEM), filtrované zpětné projekce (FBP).
V posledních letech se inverzní Abelova transformace (a její varianty) stala základním kamenem analýzy dat v fotofragment-iontové zobrazování a fotoelektronové zobrazování. Mezi poslední nejpozoruhodnější rozšíření inverzní Abelovy transformace patří metody „foto peelingu“ a „základního rozšíření“ (BASEX) fotoelektronové a fotoiontové analýzy obrazu.
Geometrická interpretace

Ve dvou dimenzích se Abel transformuje F(y) lze interpretovat jako projekci kruhové symetrické funkce F(r) podél řady rovnoběžných čár na dálku y od původu. Na obrázku vpravo pozorovatel (I) uvidí
kde F(r) je kruhově symetrická funkce představovaná šedou barvou na obrázku. Předpokládá se, že se pozorovatel skutečně nachází X = ∞, takže integrační limity jsou ± ∞ a všechny zorné čáry jsou rovnoběžné s X osa. Uvědomil si, že poloměr r je spojen s X a y tak jako r2 = X2 + y2, z toho vyplývá, že
pro X > 0. Od té doby F(r) je sudá funkce v X, můžeme psát
což vede k Ábelově transformaci F(r).
Abelovu transformaci lze rozšířit na vyšší dimenze. Zvláště zajímavé je rozšíření do tří dimenzí. Pokud máme osově symetrickou funkci F(ρ, z), kde ρ2 = X2 + y2 je válcový poloměr, pak možná budeme chtít znát projekci této funkce na rovinu rovnoběžnou s z osa. Bez ztráty obecnosti můžeme toto letadlo považovat za yz letadlo, takže
což je jen Ábelova transformace F(ρ, z) v ρ a y.
Určitým typem axiální symetrie je sférická symetrie. V tomto případě máme funkci F(r), kde r2 = X2 + y2 + z2Projekce na, řekněme, yz rovina pak bude kruhově symetrická a vyjádřitelná jako F(s), kde s2 = y2 + z2. Provedení integrace máme
což je opět Ábelova transformace F(r) v r a s.
Ověření inverzní Ábelovy transformace
Za předpokladu je neustále diferencovatelné a , pokles na nulu rychleji než , můžeme nastavit a . Integrace po částech pak vede
Diferenciace formálně,
Nyní to nahraďte vzorem inverzní Abelovy transformace:
Podle Fubiniho věta, poslední integrál se rovná
Zevšeobecnění Ábelovy transformace na diskontinuální F(y)
Zvažte případ, kdy je diskontinuální v , kde náhle změní svoji hodnotu o konečnou částku . To znamená, a jsou definovány . S takovou situací se setkávají uvázané polymery (Polymerový kartáč ) vykazující vertikální fázovou separaci, kde znamená profil hustoty polymeru a souvisí s prostorovou distribucí terminálních nevazaných monomerů polymerů.
Abelova transformace funkce F(r) je za těchto okolností opět dán:
Za předpokladu F(r) klesne na nulu rychleji než 1 /r, inverzní Abelova transformace je však dána
kde je Diracova delta funkce a the Funkce Heaviside step. Rozšířená verze Abelovy transformace pro diskontinuální F se osvědčuje při použití Abelovy transformace na posunutou, spojitou , a redukuje se na klasickou Ábelovu transformaci, když . Li má více než jednu diskontinuitu, je třeba zavést posuny, aby kterýkoli z nich přišel s generalizovanou verzí inverzní Ábelovy transformace, která obsahuje n další podmínky, z nichž každý odpovídá jednomu z n nespojitosti.
Vztah k dalším integrálním transformacím
Vztah k Fourierovi a Hankelovi se transformuje
Abelova transformace je jedním z členů FHA cyklus integrálních operátorů. Například ve dvou dimenzích, pokud definujeme A jako operátor transformace Abel, F jako Fourierova transformace provozovatel a H jako nultý řád Hankelova transformace operátor, pak speciální případ věta o projekci a řezu pro kruhově symetrické funkce uvádí, že
Jinými slovy, použití Abelovy transformace na jednorozměrnou funkci a poté použití Fourierovy transformace na tento výsledek je stejné jako použití Hankelovy transformace na tuto funkci. Tento koncept lze rozšířit na vyšší rozměry.
Vztah k radonové transformaci
Abel transformace lze považovat za Radonová transformace izotropní 2D funkce F(r). Tak jako F(r) je izotropní, jeho radonová transformace je stejná v různých úhlech osy pohledu. Abelova transformace je tedy funkcí vzdálenosti pouze podél osy pohledu.
Viz také
Reference
- ^ N. H. Abel, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, s. 153–157 (1826).
- Bracewell, R. (1965). Fourierova transformace a její aplikace. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.