Gravitační vlna - Gravity wave

Gravitační vlna představuje poruchu kolem stacionárního stavu, ve kterém není rychlost. Porucha zavedená do systému je tedy popsána rychlostním polem nekonečně malé amplitudy, ${ displaystyle scriptstyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t))}$ Protože se tekutina považuje za nestlačitelnou, má toto rychlostní pole streamfunction zastoupení

${ displaystyle { textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = ( psi _ {z}, - psi _ {x}) , ,}$

kde značí indexy částečné derivace. V této derivaci stačí pracovat ve dvou dimenzích ${ displaystyle scriptstyle left (x, z right)}$, kde gravitace ukazuje záporně z-směr. Dále v původně stacionární nestlačitelné tekutině není vířivost a tekutina zůstává irrotační, proto ${ displaystyle scriptstyle nabla times { textbf {u}} '= 0. ,}$ V reprezentaci streamfunkce ${ displaystyle scriptstyle nabla ^ {2} psi = 0. ,}$ Dále z důvodu translační invariance systému v X-směr, je možné provést ansatz

${ Displaystyle psi left (x, z, t right) = e ^ {ik left (x-ct right)} Psi left (z right), ,}$

kde k je prostorové vlnové číslo. Problém se tedy redukuje na řešení rovnice

${ displaystyle left (D ^ {2} -k ^ {2} right) Psi = 0, , , , D = { frac {d} {dz}}.}$

Pracujeme v moři nekonečné hloubky, takže okrajová podmínka je na ${ displaystyle scriptstyle z = - infty.}$ Nerušený povrch je na ${ displaystyle scriptstyle z = 0}$a narušený nebo zvlněný povrch je na ${ displaystyle scriptstyle z = eta,}$ kde ${ displaystyle scriptstyle eta}$ má malou velikost. Pokud ze spodní části nesmí vytékat žádná tekutina, musíme mít podmínku

${ displaystyle u = D Psi = 0, , , { text {on}} , z = - infty.}$

Proto, ${ displaystyle scriptstyle Psi = Ae ^ {kz}}$ na ${ displaystyle scriptstyle z in left (- infty, eta right)}$, kde A a rychlost vln C jsou konstanty, které se určují z podmínek na rozhraní.

Stav volného povrchu: Na volném povrchu ${ displaystyle scriptstyle z = eta vlevo (x, t vpravo) ,}$, platí kinematická podmínka:

${ displaystyle { frac { částečné eta} { částečné t}} + u '{ frac { částečné eta} { částečné x}} = w' levé ( eta pravé). , }$

Linearizace, to je prostě

${ displaystyle { frac { částečné eta} { částečné t}} = w ' doleva (0 doprava), ,}$

kde rychlost ${ displaystyle scriptstyle w ' left ( eta right) ,}$ je linearizován na povrch ${ displaystyle scriptstyle z = 0. ,}$ Při použití reprezentací normálního režimu a streamfunkce je tato podmínka ${ displaystyle scriptstyle c eta = Psi ,}$, druhý mezifázový stav.

Vztah tlaku přes rozhraní: Pro případ s povrchové napětí, tlakový rozdíl na rozhraní při ${ displaystyle scriptstyle z = eta}$ je dán Young – Laplace rovnice:

${ Displaystyle p left (z = eta right) = - sigma kappa, ,}$

kde σ je povrchové napětí a κ je zakřivení rozhraní, které v lineární aproximaci je

${ displaystyle kappa = nabla ^ {2} eta = eta _ {xx}. ,}$

Tím pádem,

${ Displaystyle p left (z = eta right) = - sigma eta _ {xx}. ,}$

Tato podmínka se však vztahuje k celkovému tlaku (základ + narušený)

${ displaystyle left [P left ( eta right) + p ' left (0 right) right] = - sigma eta _ {xx}.}$

(Jako obvykle lze narušená množství linearizovat na povrch z = 0.) Použitím hydrostatická rovnováha, ve formě ${ displaystyle scriptstyle P = - rho gz + { text {Const.}},}$

toto se stává

${ displaystyle p = g eta rho - sigma eta _ {xx}, qquad { text {on}} z = 0. ,}$

Narušené tlaky se hodnotí z hlediska proudových funkcí pomocí rovnice horizontální hybnosti linearizované Eulerovy rovnice za poruchy,

${ displaystyle { frac { částečné u '} { částečné t}} = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p'} { částečné x}} ,}$

poddat se ${ displaystyle scriptstyle p '= rho cD Psi.}$

Když dáme dohromady tuto poslední rovnici a podmínku skoku,

${ displaystyle c rho D Psi = g eta rho - sigma eta _ {xx}. ,}$

Nahrazení druhého mezifázového stavu ${ displaystyle scriptstyle c eta = Psi ,}$ a pomocí reprezentace v normálním režimu se tento vztah stane ${ displaystyle scriptstyle c ^ {2} rho D Psi = g Psi rho + sigma k ^ {2} Psi.}$

Použití řešení ${ displaystyle scriptstyle Psi = e ^ {kz}}$, to dává

${ displaystyle c = { sqrt {{ frac {g} {k}} + { frac { sigma k} { rho}}}}}$