Kapilární vlna - Capillary wave

Kapilární vlna (zvlnění) ve vodě

Vlnky na Lifjordu v Øksnes, Norsko

Kapilární vlny produkované kapička dopady na rozhraní mezi vodou a vzduchem.

A kapilární vlna je mávat cestování podél fázová hranice kapaliny, jejíž dynamika a fázová rychlost dominují účinky povrchové napětí.

Kapilární vlny jsou běžné v Příroda, a jsou často označovány jako vlnky. The vlnová délka kapilárních vln na vodě je obvykle menší než několik centimetrů, s a rychlost fáze více než 0,2–0,3 metru za sekundu.

Výsledkem bude delší vlnová délka na rozhraní tekutiny gravitační – kapilární vlny které jsou ovlivňovány jak účinky povrchového napětí, tak i gravitace, stejně jako tekutinou setrvačnost. Obyčejný gravitační vlny mít stále delší vlnovou délku.

Když je generuje slabý vítr v otevřené vodě, je pro ně námořní název kočičí tlapa vlny. Slabý vánek, který vyvolává takové malé vlnky, se také někdy označuje jako kočičí tlapky. Na otevřeném oceánu, mnohem větší povrchové vlny oceánu (moře a bobtná ) může být výsledkem koalescence menších vln způsobených větrem.

Disperzní vztah

The disperzní vztah popisuje vztah mezi vlnová délka a frekvence ve vlnách. Lze rozlišovat mezi čistými kapilárními vlnami - plně jim dominují účinky povrchového napětí - a gravitačními - kapilárními vlnami, které jsou také ovlivňovány gravitací.

Kapilární vlny, správně

Disperzní vztah pro kapilární vlny je

{ displaystyle omega ^ {2} = { frac { sigma} { rho + rho '}} , | k | ^ {3},}

kde ${ displaystyle omega}$ je úhlová frekvence, ${ displaystyle sigma}$ the povrchové napětí, ${ displaystyle rho}$ the hustota těžší tekutiny, ${ displaystyle rho '}$ hustota kapaliny zapalovače a ${ displaystyle k}$ the vlnové číslo. The vlnová délka je ${ displaystyle lambda = { frac {2 pi} {k}}.}$ Na hranici mezi kapalinou a vakuem (volný povrch) se disperzní vztah redukuje na

{ displaystyle omega ^ {2} = { frac { sigma} { rho}} , | k | ^ {3}.}

Gravitační - kapilární vlny

Rozptýlení gravitačně – kapilárních vln na povrchu hluboké vody (nulová hmotnostní hustota horní vrstvy,

{ displaystyle rho '= 0}

). Fázová a skupinová rychlost děleno

{ displaystyle scriptstyle { sqrt [{4}] {g sigma / rho}}}

jako funkce inverzní relativní vlnové délky

{ displaystyle scriptstyle { frac {1} { lambda}} { sqrt { sigma / ( rho g)}}}

.
• Modré čáry (A): fázová rychlost, červené čáry (B): skupinová rychlost.
• Tažené čáry: disperzní vztah pro gravitačně-kapilární vlny.
• Přerušované čáry: disperzní vztah pro gravitační vlny hlubin.
• Čárkovaně tečkované čáry: disperzní vztah platný pro hlubinné kapilární vlny.

Obecně jsou vlny ovlivněny také gravitací a potom se jim říká gravitačně-kapilární vlny. Jejich disperzní vztah zní pro vlny na rozhraní mezi dvěma tekutinami nekonečné hloubky:^[1]^[2]

{ displaystyle omega ^ {2} = | k | left ({ frac { rho - rho '} { rho + rho'}} g + { frac { sigma} { rho + rho '}} k ^ {2} vpravo),}

kde ${ displaystyle g}$ je zrychlení kvůli gravitace, ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle rho '}$ jsou hustota hmoty dvou tekutin ${ displaystyle ( rho> rho ')}$ . Faktor ${ displaystyle ( rho - rho ') / ( rho + rho')}$ v prvním semestru je Atwoodovo číslo.

Režim gravitačních vln

Pro velké vlnové délky (malé ${ displaystyle k = 2 pi / lambda}$ ), relevantní je pouze první termín a jeden má gravitační vlny V tomto limitu mají vlny a skupinová rychlost polovina fázová rychlost: po hřebenu jedné vlny ve skupině je vidět, jak se vlna objevuje v zadní části skupiny, roste a nakonec mizí v přední části skupiny.

Režim kapilárních vln

Kratší (velký ${ displaystyle k}$ ) vlny (např. 2 mm pro rozhraní voda – vzduch), což jsou správné kapilární vlny, dělají opak: jednotlivá vlna se objeví v přední části skupiny, roste při pohybu směrem ke středu skupiny a nakonec zmizí v zadní části skupina. Fázová rychlost je dvě třetiny skupinové rychlosti v tomto limitu.

Fázová rychlost minimální

Mezi těmito dvěma limity je bod, ve kterém disperze způsobená gravitací zruší disperzi v důsledku kapilárního efektu. Při určité vlnové délce se skupinová rychlost rovná fázové rychlosti a nedochází k žádnému rozptylu. Přesně na stejné vlnové délce má fázová rychlost gravitačně-kapilárních vln jako funkce vlnové délky (nebo počtu vln) minimum. Vlny s vlnovými délkami mnohem menšími, než je tato kritická vlnová délka ${ displaystyle lambda _ {m}}$ dominuje povrchové napětí a mnohem více gravitace. Hodnota této vlnové délky a související minimální rychlost fáze ${ displaystyle c_ {m}}$ jsou:^[1]

{ displaystyle lambda _ {m} = 2 pi { sqrt { frac { sigma} {( rho - rho ') g}}} quad { text {a}} quad c_ {m } = { sqrt { frac {2 { sqrt {( rho - rho ') g sigma}}} { rho + rho'}}}.}

Pro vzduch –voda rozhraní, ${ displaystyle lambda _ {m}}$ je zjištěno, že je 1,7 cm (0,67 palce), a ${ displaystyle c_ {m}}$ je 0,23 m / s (0,75 ft / s).^[1]

Pokud někdo upustí malý kámen nebo kapičku do kapaliny, vlny se pak šíří mimo rozpínající se kruh kapaliny v klidu; tento kruh je a žíravý což odpovídá minimální skupinové rychlosti.^[3]

Derivace

Tak jako Richard Feynman položit to, "[vodní vlny], které každý snadno uvidí a které se obvykle používají jako příklad vln v základních kurzech [...] jsou nejhorším možným příkladem [...]; mají všechny komplikace, které vlny mohou mít."^[4] Odvození obecného rozptylového vztahu je tedy docela zapojené.^[5]

Existují tři příspěvky k energii, díky gravitaci, k povrchové napětí a do hydrodynamika. První dvě jsou potenciální energie a jsou odpovědné za dva členy uvnitř závorky, jak je zřejmé ze vzhledu ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle sigma}$ . Pro gravitaci se předpokládá, že hustota tekutin je konstantní (tj. Nestlačitelná) a podobně ${ displaystyle g}$ (vlny nejsou dostatečně vysoké, aby se gravitace výrazně změnila). U povrchového napětí se předpokládá, že odchylky od rovinnosti (měřené derivacemi povrchu) jsou malé. Pro běžné vlny jsou obě aproximace dost dobré.

Třetí příspěvek zahrnuje kinetické energie tekutin. Je to nejsložitější a vyžaduje a hydrodynamický rámec. Opět je zahrnuta nestlačitelnost (což je splněno, pokud je rychlost vln mnohem menší než rychlost zvuku v médiu), spolu s tokem irrotační - tok je tedy potenciál. To jsou obvykle také dobré aproximace pro běžné situace.

Výsledná rovnice pro potenciál (což je Laplaceova rovnice ) lze vyřešit správnými okrajovými podmínkami. Na jedné straně musí rychlost zmizet hluboko pod povrchem (v případě „hluboké vody“, což je ten, který považujeme, jinak se získá více zapojený výsledek, viz Povrchové vlny oceánu.) Na druhé straně musí její vertikální složka odpovídat pohybu povrchu. Tento příspěvek nakonec odpovídá za komparz ${ displaystyle k}$ mimo závorku, což způsobuje Všechno režimy, které mají být disperzní, a to jak při nízkých hodnotách, ${ displaystyle k}$ a vysoké (kromě přibližně jedné hodnoty, při které se obě disperze zruší.)

Disperzní vztah pro gravitačně-kapilární vlny na rozhraní mezi dvěma doménami polo-nekonečných tekutin

Zvažte dvě tekuté domény oddělené rozhraním s povrchovým napětím. Střední poloha rozhraní je vodorovná. Odděluje horní a dolní tekutinu, obě mají různou konstantní hmotnostní hustotu,

{ displaystyle rho}

a

{ displaystyle rho '}

pro dolní a horní doménu. Předpokládá se, že tekutina je neviditelný a nestlačitelný a předpokládá se, že tok je irrotační. Pak jsou toky potenciál a rychlost ve spodní a horní vrstvě lze získat z

{ displaystyle nabla phi}

a

{ displaystyle nabla phi '}

, resp. Tady

{ displaystyle phi (x, y, z, t)}

a

{ displaystyle phi '(x, y, z, t)}

jsou rychlostní potenciály.

Jedná se o tři příspěvky k energii: potenciální energie ${ displaystyle V_ {g}}$ kvůli gravitace, potenciální energie ${ displaystyle V_ {st}}$ v důsledku povrchové napětí a Kinetická energie ${ displaystyle T}$ toku. Část ${ displaystyle V_ {g}}$ gravitace je nejjednodušší: integrace hustoty potenciální energie v důsledku gravitace, ${ displaystyle rho gz}$ (nebo ${ displaystyle rho 'gz}$ ) z referenční výšky do polohy povrchu, ${ displaystyle z = eta (x, y, t)}$ :^[6]

{ displaystyle V _ { mathrm {g}} = iint dx , dy ; int _ {0} ^ { eta} dz ; ( rho - rho ') gz = { frac {1} {2}} ( rho - rho ') g iint dx , dy ; eta ^ {2},}

za předpokladu, že střední poloha rozhraní je na ${ displaystyle z = 0}$ .

Zvětšení plochy povrchu způsobí úměrné zvýšení energie v důsledku povrchového napětí:^[7]

{ displaystyle V _ { mathrm {st}} = sigma iint dx , dy ; left [{ sqrt {1+ left ({ frac { částečné eta} { částečné x}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac { částečné eta} { částečné y}} pravé) ^ {2}}} - 1 pravé] přibližně { frac {1} {2} } sigma iint dx , dy ; left [ left ({ frac { částečné eta} { částečné x}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné eta} { částečné y}} pravé) ^ {2} pravé],}

kde první rovnost je oblast v tomto (Monge 's) a druhá platí pro malé hodnoty derivací (povrchy nejsou příliš drsné).

Poslední příspěvek zahrnuje Kinetická energie tekutiny:^[8]

{ displaystyle T = { frac {1} {2}} iint dx , dy ; left [ int _ {- infty} ^ { eta} dz ; rho , left | mathbf { nabla} Phi right | ^ {2} + int _ { eta} ^ {+ infty} dz ; rho ', left | mathbf { nabla} Phi' vpravo | ^ {2} vpravo].}

Využívá se nestlačitelná kapalina a její tok je irrotační (často rozumná aproximace). Ve výsledku oba ${ displaystyle phi (x, y, z, t)}$ a ${ displaystyle phi '(x, y, z, t)}$ musí uspokojit Laplaceova rovnice:^[9]

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi = 0}

a

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi '= 0.}

Tyto rovnice lze vyřešit pomocí vhodných okrajových podmínek: ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle phi '}$ musí zmizet dostatečně daleko od povrchu (v případě „hluboké vody“, což je ten, který považujeme).

Použitím Greenova identita, a za předpokladu, že odchylky výšky povrchu budou malé (takže z–Integrace lze aproximovat integrací až ${ displaystyle z = 0}$ namísto ${ displaystyle z = eta}$ ), kinetickou energii lze zapsat jako:^[8]

{ displaystyle T cca { frac {1} {2}} iint dx , dy ; left [ rho , Phi , { frac { částečný Phi} { částečný z}} ; - ; rho ', Phi' , { frac { částečné Phi '} { částečné z}} doprava] _ {{ text {at}} z = 0}.}

Chcete-li najít disperzní vztah, stačí zvážit a sinusový vlna na rozhraní, šířící se v X-směr:^[7]

{ displaystyle eta = a , cos , (kx- omega t) = a , cos , theta,}

s amplitudou ${ displaystyle a}$ a mávat fáze ${ displaystyle theta = kx- omega t}$ . Kinematická okrajová podmínka na rozhraní, týkající se potenciálů s pohybem rozhraní, spočívá v tom, že složky vertikální rychlosti musí odpovídat pohybu povrchu:^[7]

{ displaystyle { frac { částečné Phi} { částečné z}} = { frac { částečné eta} { částečné t}}}

a

{ displaystyle { frac { částečné Phi '} { částečné z}} = { frac { částečné eta} { částečné t}}}

na

{ displaystyle z = 0}

.

Jeden se může pokusit vyřešit problém hledání potenciálu oddělení proměnných, když lze obě pole vyjádřit jako:^[7]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Phi (x, y, z, t) & = + { frac {1} {| k |}} { text {e}} ^ {+ | k | z} , omega a , sin , theta, Phi '(x, y, z, t) & = - { frac {1} {| k |}} { text {e}} ^ {- | k | z} , omega a , sin , theta. end {zarovnáno}}}

Pak příspěvky k vlnové energii, horizontálně integrované přes jednu vlnovou délku ${ displaystyle lambda = 2 pi / k}$ v X–Směr a přes jednotkovou šířku v y–Směr, staňte se:^[7]^[10]

{ displaystyle { begin {aligned} V _ { text {g}} & = { frac {1} {4}} ( rho - rho ') ga ^ {2} lambda, V _ { text {st}} & = { frac {1} {4}} sigma k ^ {2} a ^ {2} lambda, T & = { frac {1} {4}} ( rho + rho ') { frac { omega ^ {2}} {| k |}} a ^ {2} lambda. end {zarovnáno}}}

Disperzní vztah lze nyní získat z Lagrangian ${ displaystyle L = T-V}$ , s ${ displaystyle V}$ součet potenciálních energií gravitací ${ displaystyle V_ {g}}$ a povrchové napětí ${ displaystyle V_ {st}}$ :^[11]

{ displaystyle L = { frac {1} {4}} vlevo [( rho + rho ') { frac { omega ^ {2}} {| k |}} - ( rho - rho ') g- sigma k ^ {2} right] a ^ {2} lambda.}

Pro sinusové vlny a teorii lineárních vln platí fázově průměrná Lagrangeova je vždy ve formě ${ displaystyle L = D ( omega, k) a ^ {2}}$ , takže variace s ohledem na jediný volný parametr, ${ displaystyle a}$ , dává disperzní vztah ${ displaystyle D ( omega, k) = 0}$ .^[11] V našem případě ${ displaystyle D ( omega, k)}$ je jen výraz v hranatých závorkách, takže disperzní vztah je:

{ displaystyle omega ^ {2} = | k | left ({ frac { rho - rho '} { rho + rho'}} , g + { frac { sigma} { rho + rho '}} , k ^ {2} vpravo),}

stejné jako výše.

Výsledkem je, že průměrná vlnová energie na jednotku horizontální oblasti, ${ displaystyle (T + V) / lambda}$ , je:

{ displaystyle { bar {E}} = { frac {1} {2}} , left [( rho - rho ') , g + sigma k ^ {2} right] , a ^ {2}.}

Jak je obvyklé pro lineární vlnové pohyby, potenciál a kinetická energie jsou stejné (vybavit oddíl drží): ${ displaystyle T = V}$ .^[12]

Viz také

Galerie

Vlnky na vodě vytvořené uživatelem vodní chodci
Lehký vánek se vlní v povrchové vodě jezera

Poznámky

^ ^A ^b ^C Lamb (1994), § 267, strana 458–460.
^ Dingemans (1997), oddíl 2.1.1, s. 45.
Phillips (1977), oddíl 3.2, str. 37.
^ Falkovich, G. (2011). Fluid Mechanics, krátký kurz pro fyziky. Cambridge University Press. Část 3.1 a cvičení 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
^ R.P. Feynman R. B. Leighton a M. Sands (1963). Feynmanovy přednášky z fyziky. Addison-Wesley. Svazek I, kapitola 51-4.
^ Viz např. Safran (1994) pro podrobnější popis.
^ Lamb (1994), § 174 a § 230.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Lamb (1994), § 266.
^ ^A ^b Lamb (1994), §61.
^ Lamb (1994), § 20
^ Lamb (1994), § 230.
^ ^A ^b Whitham, G. B. (1974). Lineární a nelineární vlny. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9. Viz část 11.7.
^ Lord Rayleigh (J. W. Strutt) (1877). „Na progresivních vlnách“. Proceedings of the London Mathematical Society. 9: 21–26. doi:10.1112 / plms / s1-9.1.21. Přetištěno jako dodatek v: Teorie zvuku 1, MacMillan, 2. přepracované vydání, 1894.

Reference

Longuet-Higgins, M. S. (1963). "Generování kapilárních vln strmými gravitačními vlnami". Journal of Fluid Mechanics. 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM .... 16..138L. doi:10.1017 / S0022112063000641. ISSN 1469-7645.
Lamb, H. (1994). Hydrodynamika (6. vydání). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
Phillips, O. M. (1977). Dynamika horního oceánu (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6.
Dingemans, M. W. (1997). Šíření vodní vlny přes nerovné dno. Advanced Series on Ocean Engineering. 13. World Scientific, Singapur. 2 díly, 967 stran. ISBN 981-02-0427-2.
Safran, Samuel (1994). Statistická termodynamika povrchů, rozhraní a membrán. Addison-Wesley.
Tufillaro, N. B .; Ramshankar, R .; Gollub, J. P. (1989). „Přechod poruchy řádu v kapilárních vlnách“. Dopisy o fyzické kontrole. 62 (4): 422–425. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. doi:10.1103 / PhysRevLett.62.422. PMID 10040229.

externí odkazy

Vstup kapilárních vln na sklogwiki

[Lamb-1] A ^b ^C Lamb (1994), § 267, strana 458–460.

[2] Dingemans (1997), oddíl 2.1.1, s. 45.
Phillips (1977), oddíl 3.2, str. 37.

[3] Falkovich, G. (2011). Fluid Mechanics, krátký kurz pro fyziky. Cambridge University Press. Část 3.1 a cvičení 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.

[4] R.P. Feynman R. B. Leighton a M. Sands (1963). Feynmanovy přednášky z fyziky. Addison-Wesley. Svazek I, kapitola 51-4.

[5] Viz např. Safran (1994) pro podrobnější popis.

[6] Lamb (1994), § 174 a § 230.

[LambCap-7] A ^b ^C ^d ^E Lamb (1994), § 266.

[LambKin-8] A ^b Lamb (1994), §61.

[9] Lamb (1994), § 20

[10] Lamb (1994), § 230.

[Whitham-11] A ^b Whitham, G. B. (1974). Lineární a nelineární vlny. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9. Viz část 11.7.

[12] Lord Rayleigh (J. W. Strutt) (1877). „Na progresivních vlnách“. Proceedings of the London Mathematical Society. 9: 21–26. doi:10.1112 / plms / s1-9.1.21. Přetištěno jako dodatek v: Teorie zvuku 1, MacMillan, 2. přepracované vydání, 1894.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]