Transfer (teorie skupin) - Transfer (group theory)

V matematické oblasti teorie skupin, převod definuje, vzhledem k skupina G a a podskupina konečný index H, a skupinový homomorfismus z G do abelianizace z H. Může být použit ve spojení s Sylowovy věty získat určité numerické výsledky o existenci konečných jednoduchých skupin.

Přenos definoval Issai Schur  (1902 ) a znovu objeven Emil Artin  (1929 ).^[1]

Konstrukce

Konstrukce mapy probíhá následovně:^[2] Nechť [G:H] = n a vyberte coset zástupci, řekněme

${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}, ,}$

pro H v G, tak G lze psát jako disjunktní spojení

${ displaystyle G = bigcup x_ {i} H.}$

Dáno y v G, každý yx_i je v nějakém cosetu X_jH a tak

${ displaystyle yx_ {i} = x_ {j} h_ {i}}$

pro nějaký index j a nějaký prvek h_i z H. Hodnota převodu pro y je definován jako obraz produktu

${ displaystyle textstyle prod _ {i = 1} ^ {n} h_ {i}}$

v H/H′, Kde H′ Je podskupina komutátoru H. Pořadí faktorů je od té doby irelevantní H/H′ Je abelian.

to je přímočarý ukázat to, i když jednotlivec h_i záleží na výběru zástupců cosetu, hodnota převodu ne. Je to také přímočarý ukázat, že takto definované mapování je homomorfismus.

Příklad

Li G je cyklický, pak přenos trvá jakýkoli prvek y z G na y^[G:H].

Jednoduchý případ je ten, který je vidět na Gaussovo lema na kvadratické zbytky, který ve skutečnosti počítá převod pro multiplikativní skupinu nenulové zbytkové třídy modulo a prvočíslo str, s ohledem na podskupinu {1, −1}.^[1] Jednou výhodou pohledu na to tímto způsobem je snadnost, s jakou lze najít správné zobecnění, například pro kubické zbytky v případě, že str - 1 je dělitelné třemi.

Homologická interpretace

Tento homomorfismus může být nastaven v kontextu skupinová kohomologie (přísně, skupina homologie), poskytující abstraktnější definici.^[3] Přenos je také vidět v algebraická topologie, když je definován mezi klasifikace mezer skupin.

Terminologie

Název převod překládá německy Verlagerung, který vytvořil Helmut Hasse.

Podskupina komutátoru

Li G je definitivně generován, podskupina komutátoru G′ Z G má konečný index v G a H = G′, Pak je příslušná přenosová mapa triviální. Jinými slovy, mapa posílá G na 0 při abelianizaci G′. To je důležité při prokazování hlavní ideální věta v teorie pole.^[1] Viz Emil Artin -John Tate Teorie pole třídy poznámky.

Viz také

• Věta o podskupině ohniska, důležitá aplikace převodu
• Podle Artinova zákona o vzájemnosti Artin převod popisuje principizaci ideálních tříd v rozšířeních algebraických číselných polí.

Reference

• Artin, Emil (1929), „Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 7 (1): 46–51, doi:10.1007 / BF02941159

Schur, Issai (1902), „Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: 1013–1019, JFM  33.0146.01

• Scott, W. R. (1987) [1964]. Skupinová teorie. Doveru. str. 60 a násl. ISBN  0-486-65377-3. Zbl  0641.20001.
• Serre, Jean-Pierre (1979). Místní pole. Postgraduální texty z matematiky. 67. Přeloženo Greenberg, Marvin Jay. Springer-Verlag. str. 120–122. ISBN  0-387-90424-7. Zbl  0423.12016.