Gausssovo lema (Riemannova geometrie) - Gausss lemma (Riemannian geometry) - Wikipedia

v Riemannova geometrie, Gaussovo lema tvrdí, že jakýkoli dostatečně malý koule na střed v bodě v Riemannovo potrubí je kolmý na všechny geodetické skrz bod. Více formálně, pojďme M být Riemannovo potrubí, vybavené jeho Připojení Levi-Civita, a p bod M. The exponenciální mapa je mapování z tečný prostor na p na M:

{ displaystyle mathrm {exp}: T_ {p} M až M}

což je difeomorfismus v sousedství nuly. Gaussovo lemma tvrdí, že obraz a koule dostatečně malého poloměru v T_pM pod exponenciální mapou je kolmá na všechny geodetika pocházející z p. Lema umožňuje pochopit exponenciální mapu jako radiální izometrie, a má zásadní význam při studiu geodetiky konvexnost a normální souřadnice.

Úvod

Definujeme exponenciální mapu na ${ displaystyle p v M}$ podle

{ displaystyle exp _ {p}: T_ {p} M supset B _ { epsilon} (0) longrightarrow M, quad v longmapsto gamma _ {p, v} (1),}

kde ${ displaystyle gamma _ {p, v}}$ je jedinečný geodetické s ${ displaystyle gamma _ {p, v} (0) = p}$ a tečna ${ displaystyle gamma _ {p, v} '(0) = v v T_ {p} M}$ a ${ displaystyle epsilon}$ je vybrán dostatečně malý, aby pro každého ${ displaystyle v in B _ { epsilon} (0) podmnožina T_ {p} M}$ geodetické ${ displaystyle gamma _ {p, v}}$ je definován v 1. Takže, pokud ${ displaystyle M}$ je tedy kompletní Hopf – Rinowova věta, ${ displaystyle exp _ {p}}$ je definována v celém tangenciálním prostoru.

Nechat ${ displaystyle alpha: I rightarrow T_ {p} M}$ být křivka diferencovatelná v ${ displaystyle T_ {p} M}$ takhle ${ displaystyle alpha (0): = 0}$ a ${ displaystyle alpha '(0): = v}$ . Od té doby ${ displaystyle T_ {p} M cong mathbb {R} ^ {n}}$ , je jasné, že si můžeme vybrat ${ displaystyle alpha (t): = vt}$ . V tomto případě definicí diferenciálu exponenciálu v ${ displaystyle 0}$ aplikováno přes ${ displaystyle v}$ , získáváme:

{ displaystyle T_ {0} exp _ {p} (v) = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { Bigl (} exp _ {p} circ alpha (t) { Bigr)} { Big vert} _ {t = 0} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { Bigl (} exp _ { p} (vt) { Bigr)} { Big vert} _ {t = 0} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { Bigl (} gamma ( 1, p, vt) { Bigr)} { Big vert} _ {t = 0} = gamma '(t, p, v) { Big vert} _ {t = 0} = v.}

Takže (se správnou identifikací ${ displaystyle T_ {0} T_ {p} M cong T_ {p} M}$ ) rozdíl ${ displaystyle exp _ {p}}$ je identita. Podle věty o implicitní funkci, ${ displaystyle exp _ {p}}$ je difeomorfismus v sousedství ${ displaystyle 0 v T_ {p} M}$ . Gauss Lemma to nyní říká ${ displaystyle exp _ {p}}$ je také radiální izometrie.

Exponenciální mapa je radiální izometrie

Nechat ${ displaystyle p v M}$ . V následujícím textu provedeme identifikaci ${ displaystyle T_ {v} T_ {p} M cong T_ {p} M cong mathbb {R} ^ {n}}$ .

Gauss's Lemma uvádí: Nechat ${ displaystyle v, w in B _ { epsilon} (0) podmnožina T_ {v} T_ {p} M cong T_ {p} M}$ a ${ displaystyle M ni q: = exp _ {p} (v)}$ . Pak, ${ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w) rangle _ {q} = langle v, w rangle _ {p} .}$

Pro ${ displaystyle p v M}$ , toto lemma to znamená ${ displaystyle exp _ {p}}$ je radiální izometrie v následujícím smyslu: let ${ displaystyle v in B _ { epsilon} (0)}$ , tj. takové, že ${ displaystyle exp _ {p}}$ je dobře definován. A nechte ${ displaystyle q: = exp _ {p} (v) v M}$ . Pak exponenciální ${ displaystyle exp _ {p}}$ zůstává izometrií v ${ displaystyle q}$ a obecněji po celé geodézii ${ displaystyle gamma}$ (pokud ${ displaystyle gamma (1, p, v) = exp _ {p} (v)}$ je dobře definován)! Pak radiálně ve všech směrech povolených doménou definice ${ displaystyle exp _ {p}}$ , zůstává izometrií.

Exponenciální mapa jako radiální izometrie

Důkaz

Odvolej to

{ displaystyle T_ {v} exp _ {p} dvojtečka T_ {p} M cong T_ {v} T_ {p} M supset T_ {v} B _ { epsilon} (0) longrightarrow T _ { exp _ {p} (v)} M.}

Postupujeme ve třech krocích:

${ displaystyle T_ {v} exp _ {p} (v) = v}$ : vytvořme křivku

${ displaystyle alpha: mathbb {R} supset I rightarrow T_ {p} M}$ takhle ${ displaystyle alpha (0): = v v T_ {p} M}$ a ${ displaystyle alpha '(0): = v v T_ {v} T_ {p} M cong T_ {p} M}$ . Od té doby ${ displaystyle T_ {v} T_ {p} M cong T_ {p} M cong mathbb {R} ^ {n}}$ , můžeme dát ${ displaystyle alpha (t): = v (t + 1)}$ . Proto,

${ displaystyle T_ {v} exp _ {p} (v) = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { Bigl (} exp _ {p} circ alpha (t) { Bigr)} { Big vert} _ {t = 0} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { Bigl (} exp _ { p} (tv) { Bigr)} { Big vert} _ {t = 1} = Gamma ( gamma) _ {p} ^ { exp _ {p} (v)} v = v,}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je provozovatelem paralelní dopravy a ${ displaystyle gamma (t) = exp _ {p} (tv)}$ . Poslední rovnost je pravdivá, protože ${ displaystyle gamma}$ je tedy geodetická ${ displaystyle gamma '}$ je paralelní.

Nyní vypočítáme skalární součin ${ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w) rangle}$ .

Rozdělujeme se ${ displaystyle w}$ do komponenty ${ displaystyle w_ {T}}$ paralela k ${ displaystyle v}$ a součást ${ displaystyle w_ {N}}$ normální ${ displaystyle v}$ . Zejména klademe ${ displaystyle w_ {T}: = av}$ , ${ displaystyle a in mathbb {R}}$ .

Předchozí krok implikuje přímo:

{ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w) rangle = langle T_ {v} exp _ {p} (v) , T_ {v} exp _ {p} (w_ {T}) rangle + langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N }) rangle}

{ displaystyle = a langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (v) rangle + langle T_ {v} exp _ {p} ( v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) rangle = langle v, w_ {T} rangle + langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) rangle.}

Musíme tedy ukázat, že druhý člen je nulový, protože podle Gaussova lemma musíme mít:

${ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) rangle = langle v, w_ {N} rangle = 0 .}$

${ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) rangle = 0}$ :

Křivka zvolená k prokázání lemmatu

Pojďme definovat křivku

{ displaystyle alpha colon [- epsilon, epsilon] krát [0,1] longrightarrow T_ {p} M, qquad (s, t) longmapsto tv + tsw_ {N}.}

Všimněte si, že

{ displaystyle alpha (0,1) = proti, qquad { frac { částečné alpha} { částečné t}} (s, t) = v + sw_ {N}, qquad { frac { částečné alpha} { částečné s}} (0, t) = tw_ {N}.}

Řekněme:

{ displaystyle f colon [- epsilon, epsilon] krát [0,1] longrightarrow M, qquad (s, t) longmapsto exp _ {p} (tv + tsw_ {N}),}

a vypočítáme:

{ displaystyle T_ {v} exp _ {p} (v) = T _ { alpha (0,1)} exp _ {p} left ({ frac { částečné alpha} { částečné t} } (0,1) right) = { frac { částečné} { částečné t}} { Bigl (} exp _ {p} circ alpha (s, t) { Bigr)} { Velký vert} _ {t = 1, s = 0} = { frac { částečný f} { částečný t}} (0,1)}

a

{ displaystyle T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) = T _ { alpha (0,1)} exp _ {p} left ({ frac { částečný alpha} { částečné s}} (0,1) vpravo) = { frac { částečné} { částečné s}} { Bigl (} exp _ {p} circ alfa (s, t) { Bigr) } { Big vert} _ {t = 1, s = 0} = { frac { částečné f} { částečné s}} (0,1).}

Proto

{ displaystyle langle T_ {v} exp _ {p} (v), T_ {v} exp _ {p} (w_ {N}) rangle = left langle { frac { částečný f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné s}} pravé rangle (0,1).}

Nyní můžeme ověřit, že tento skalární součin je ve skutečnosti nezávislý na proměnné ${ displaystyle t}$ , a proto například:

{ displaystyle left langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné s}} pravé rangle (0,1) = levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné s}} pravé rangle (0,0) = 0,}

protože podle toho, co bylo uvedeno výše:

{ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} { frac { částečný f} { částečný s}} (0, t) = lim _ {t rightarrow 0} T_ {tv} exp _ {p } (tw_ {N}) = 0}

vzhledem k tomu, že rozdíl je lineární mapa. To tedy prokáže lemma.

To ověřujeme ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné s}} pravý rangle = 0}$ : toto je přímý výpočet. Protože mapy ${ displaystyle t mapsto f (s, t)}$ jsou geodetické,

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné s}} right rangle = left langle underbrace {{ frac {D} { parciální t}} { frac { parciální f} { parciální t}}} _ {= 0}, { frac { parciální f} { částečné s}} pravé rangle + levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac {D} { částečné t}} { frac { částečné f} { částečné s}} pravé rangle = levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac {D} { částečné s}} { frac { částečné f} { částečné t}} pravé rangle = { frac {1} {2}} { frac { částečné} { částečné s}} levé langle { frac { částečné f} { parciální t}}, { frac { parciální f} { parciální t}} doprava rangle.}

Protože mapy ${ displaystyle t mapsto f (s, t)}$ jsou geodetika, funkce ${ displaystyle t mapsto left langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné t}} pravé rangle}$ je konstantní. Tím pádem,

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné s}} levé langle { frac { částečné f} { částečné t}}, { frac { částečné f} { částečné t}} pravý rangle = { frac { částečný} { částečný s}} levý langle v + sw_ {N}, v + sw_ {N} pravý rangle = 2 left langle v, w_ {N} right rangle = 0.}

Viz také

Reference

dělat Carmo, Manfredo (1992), Riemannova geometrie, Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2