Ekvivariantní diferenciální forma - Equivariant differential form

V diferenciální geometrii, an ekvivariantní diferenciální forma na potrubí M jednal na základě podle a Lež skupina G je polynomiální mapa

{ displaystyle alpha: { mathfrak {g}} to Omega ^ {*} (M)}

z algebry lži ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ do prostoru diferenciální formy na M které jsou ekvivariantní; tj.,

{ displaystyle alpha ( operatorname {Ad} (g) X) = g alpha (X).}

Jinými slovy, ekvivariantní diferenciální forma je neměnným prvkem

{ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}] otimes Omega ^ {*} (M) = operatorname {Sym} ({ mathfrak {g}} ^ {*}) otimes Omega ^ {*} (M).}

^[1]

Pro ekvivariantní diferenciální formu ${ displaystyle alpha}$ , ekvivariantní vnější derivace ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} alfa}$ z ${ displaystyle alpha}$ je definováno

{ displaystyle (d _ { mathfrak {g}} alpha) (X) = d ( alpha (X)) - i_ {X ^ { #}} ( alpha (X))}

kde d je obvyklý vnější derivát a ${ displaystyle i_ {X ^ { #}}}$ je vnitřní produkt podle základní vektorové pole generováno uživatelem XJe to dobře vidět ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} circ d _ { mathfrak {g}} = 0}$ (použijte skutečnost Lieův derivát ${ displaystyle alpha (X)}$ podél ${ displaystyle X ^ { #}}$ je nula) a jeden pak dá

{ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X) = operatorname {ker} d _ { mathfrak {g}} / operatorname {im} d _ { mathfrak {g}}}

,

který se nazývá ekvivariační kohomologie z M (který se shoduje s běžnou ekvivariační kohomologií definovanou jako Borelova konstrukce.) Definice je způsobena H. Cartanem. Pojem má uplatnění na teorie ekvivariačních indexů.

${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ -zavřený nebo ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ -přesné formy se nazývají ekvivariantně uzavřeno nebo ekvivariantně přesné.

Integrál ekvivariantně uzavřené formy lze vyhodnotit z jejího omezení na pevný bod pomocí lokalizační vzorec.

Reference

^ Důkaz: s ${ displaystyle V = Omega ^ {*} (M)}$ , my máme: ${ displaystyle operatorname {Mor} _ {G} ({ mathfrak {g}}, V) = operatorname {Mor} ({ mathfrak {g}}, V) ^ {G} = ( operatorname {Mor } ({ mathfrak {g}}, mathbb {C}) otimes V) ^ {G}.}$ Poznámka ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ je kruh polynomů v lineárních funkcionálech ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ; vidět kruh polynomiálních funkcí. Viz také https://math.stackexchange.com/q/101453 za komentář M. Emertona.

Berline, Nicole; Getzler, E .; Vergne, Michèle (2004), Tepelná jádra a Dirac operátoři, Berlín, New York: Springer-Verlag

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Důkaz: s ${ displaystyle V = Omega ^ {*} (M)}$ , my máme: ${ displaystyle operatorname {Mor} _ {G} ({ mathfrak {g}}, V) = operatorname {Mor} ({ mathfrak {g}}, V) ^ {G} = ( operatorname {Mor } ({ mathfrak {g}}, mathbb {C}) otimes V) ^ {G}.}$ Poznámka ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ je kruh polynomů v lineárních funkcionálech ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ; vidět kruh polynomiálních funkcí. Viz také https://math.stackexchange.com/q/101453 za komentář M. Emertona.

[1]