Lokalizační vzorec pro ekvivariační kohomologii - Localization formula for equivariant cohomology

V diferenciální geometrii je lokalizační vzorec uvádí: pro ekvivariantně uzavřené ekvivariantní diferenciální forma ${ displaystyle alpha}$ na orbifold M s torusová akce a za dostatečně malou ${ displaystyle xi}$ v Lieově algebře torusu T,

${ displaystyle {1 over d_ {M}} int _ {M} alpha ( xi) = součet _ {F} {1 over d_ {F}} int _ {F} { alpha ( xi) přes e_ {T} (F) ( xi)}}$

kde součet běží přes všechny připojené komponenty F množiny pevných bodů ${ displaystyle M ^ {T}}$, ${ displaystyle d_ {M}}$ je mnohonásobnost z M (což je jeden, pokud M je potrubí) a ${ displaystyle e_ {T} (F)}$ je ekvivariant Eulerova forma normálního svazku F.

Vzorec umožňuje vypočítat ekvivariační kohomologický kruh orbifold M (zvláštní druh diferencovatelný zásobník ) od ekvivariační kohomologie jejích složek s pevným bodem, až po multiplicity a Eulerovy formy. V neekvivariantní kohomologii neplatí žádný analog takových výsledků.

Jedním z důležitých důsledků vzorce je Duistermaat – Heckmanova věta, který uvádí: Předpokládejme, že na kompaktním symplektickém potrubí existuje akce Hamiltonovského kruhu (pro jednoduchost) M dimenze 2n,

${ displaystyle int _ {M} e ^ {- tH} omega ^ {n} / n! = součet _ {p} {e ^ {- tH (p)} nad t ^ {n} prod alpha _ {j} (p)}.}$

kde H je Hamiltonian pro akci kruhu, součet je nad body fixovanými akcí kruhu a ${ displaystyle alpha _ {j} (p)}$ jsou vlastní čísla na tečném prostoru v p (srov. Skupinová akce lži.)

Lokalizační vzorec může také vypočítat Fourierova transformace (Kostantova symplektická forma na) společné oběžné dráze, čímž se získá Harish-Chandraův integrační vzorec, což zase dává Kirillovova formule postavy.

Věta o lokalizaci ekvivariační kohomologie v neracionálních koeficientech je diskutována v Daniel Quillen papíry.

Neabelská lokalizace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Věta o lokalizaci uvádí, že ekvivariantní kohomologii lze obnovit až do torzních prvků z ekvivariační kohomologie podmnožiny pevných bodů. To se nevztahuje doslovně na neabelovskou akci. Stále však existuje verze lokalizační věty pro neabelovské akce.

Reference

• Michael Atiyah, Raoul Bott „Momentová mapa a ekvivariační kohomologie, Topologie 23 (1984).
• Liu, Kefeng (2006), „Lokalizace a domněnky z duální struny“, Ge, Mo-Lin; Zhang, Weiping (eds.), Diferenciální geometrie a fyzika, Nankai Tracts in Mathematics, 10, World Scientific, str. 63–105, ISBN  978-981-270-377-4, PAN  2322389
• Eckhard Meinrenken, Symplektická chirurgie a operátor Spin-c Dirac. Pokroky v matematice 134 (1998), 240–277
• Daniel Quillen „Spektrum ekvivariačního kohomologického kruhu, I, II

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.