Bartlettsova věta o půlení - Bartletts bisection theorem - Wikipedia

Bartlettova věta o půlení je elektrický teorém v síťová analýza přičítáno Albert Charles Bartlett. Věta ukazuje, že jakýkoli symetrický dvouportová síť lze přeměnit na a příhradová síť.^[1] Věta se často objevuje v teorie filtrů kde mřížková síť je někdy známá jako X-sekce filtru podle běžné praxe teorie filtrování pojmenování sekcí podle abecedních písmen, s nimiž mají podobnost.

Věta, jak původně uvedl Bartlett, vyžadovala, aby obě poloviny sítě byly topologicky symetrické. Věta byla později rozšířena o Wilhelm Cauer aplikovat na všechny sítě, které byly elektricky symetrické. To znamená, že fyzická implementace sítě nemá žádný význam. Je pouze nutné, aby jeho odezva v obou polovinách byla symetrická.^[2]

Aplikace

Příhradová topologie filtry nejsou příliš běžné. Důvodem je to, že vyžadují více komponent (zejména induktory ) než jiné designy. Topologie žebříku je mnohem populárnější. Mají však tu vlastnost, že jsou skutečně vyrovnaný a vyvážená verze jiného topologie, například T-profily, mohou ve skutečnosti skončit s použitím více induktorů. Jedna aplikace je pro all-pass filtry fázové korekce na vyvážených telekomunikačních linkách. Veta se také objevuje v konstrukci krystalových filtrů na vysokofrekvenčních frekvencích. Zde mají žebříkové topologie některé nežádoucí vlastnosti, ale běžnou konstrukční strategií je kvůli jeho jednoduchosti vycházet z implementace žebříku. Bartlettova věta se poté používá k transformaci návrhu na střední fázi jako krok k finální implementaci (pomocí transformátoru k vytvoření nevyvážené verze topologie mřížky).^[3]

Definice a důkaz

Definice

Začněte s dvouportová síť, N, s rovinou symetrie mezi těmito dvěma porty. Dále prořízněte N jeho rovinou symetrie a vytvořte dva nové identické dva porty, ½N. Připojte dva identické generátory napětí ke dvěma portům N. Ze symetrie je zřejmé, že žádnou větví procházející rovinou symetrie nebude protékat žádný proud. Impedance měřená do portu N za těchto okolností bude stejná jako impedance měřená, pokud by všechny větve procházející rovinou symetrie byly otevřené. Jedná se tedy o stejnou impedanci jako impedance otevřeného obvodu ½N. Říkejme tomu impedance ${ displaystyle Z_ {oc}}$.

Nyní zvažte síť N se dvěma stejnými generátory napětí připojenými k portům, ale s opačnou polaritou. Stejně jako superpozice proudů skrz větve v rovině symetrie musí být v předchozím případě nulová, analogicky a za použití principu dualita, superpozice napětí mezi uzly v rovině symetrie musí být v tomto případě rovněž nulová. Vstupní impedance je tedy stejná jako zkratová impedance ½N. Říkejme tomu impedance ${ displaystyle Z_ {sc}}$.

Bartlettova věta o půlení říká, že síť N je ekvivalentní mřížkové síti s řadami větví ${ displaystyle Z_ {sc}}$ a příčné větve ${ displaystyle Z_ {oc}}$.^[4]

Důkaz

Zvažte mřížkovou síť zobrazenou se stejnými generátory E připojenými ke každému portu. Ze symetrie a superpozice je zřejmé, že ve větvích série neproudí žádný proud ${ displaystyle Z_ {sc}}$. Tyto větve lze tedy odstranit a nechat otevřený obvod bez jakéhokoli vlivu na zbytek obvodu. To ponechá smyčku obvodu s napětím 2E a impedancí ${ displaystyle 2Z_ {oc}}$ dávat proud ve smyčce;

${ displaystyle I = { frac {2E} {2Z_ {oc}}}}$

a vstupní impedance;

${ displaystyle { frac {E} {I}} = Z_ {oc}}$

protože je to nutné pro rovnocennost s původním dvěma porty.

Obrácení jednoho z generátorů má obdobně za následek identickým argumentem smyčku s impedancí ${ displaystyle 2Z_ {sc}}$ a vstupní impedance;

${ displaystyle { frac {E} {I}} = Z_ {sc}}$

Připomínáme, že tyto konfigurace generátoru jsou přesným způsobem ${ displaystyle Z_ {oc}}$ a ${ displaystyle Z_ {sc}}$ byly definovány v původním dvouportovém je prokázáno, že mřížka je ekvivalentní pro tyto dva případy. Je prokázáno, že tomu tak je ve všech případech, když uvážíme, že všechny ostatní vstupní a výstupní podmínky lze vyjádřit jako lineární superpozici dvou již prokázaných případů.

Příklady

Mřížkový ekvivalent a T-profil horní propust

Mřížkový ekvivalent a Zobelův most-T dolní propust

Je možné použít Bartlettovu transformaci obráceně; to znamená transformovat symetrickou mřížovou síť na jinou symetrickou topologii. Výše uvedené příklady mohly být stejně dobře ukázány obráceně. Na rozdíl od výše uvedených příkladů však výsledek není vždy fyzicky realizovatelný s lineárními pasivními součástmi. Je to proto, že existuje možnost, že reverzní transformace vygeneruje komponenty se zápornými hodnotami. Záporné veličiny lze fyzicky realizovat pouze s aktivními součástmi přítomnými v síti.

Rozšíření věty

Příklad změny impedance a frekvence pomocí prototypu nízkoprůchodového filtru s sekcí Π. V první transformaci je prototyp půlený a mezní frekvence je změněna z 1 rad / s na 10⁵ rad / s (15,9 kHz). Ve druhé transformaci je rozdělená síť přepočítána na levé straně, aby fungovala na 600 Ω, a na pravé straně, aby fungovala na 50 Ω.

K Bartlettově teorému existuje rozšíření, které umožňuje symetrické filtr síť pracující mezi stejnými vstupními a výstupními impedančními zakončeními, která mají být upravena pro nerovné impedance zdroje a zátěže. Toto je příklad škálování impedance a prototypový filtr. Symetrická síť je rozdělena podél své roviny symetrie. Jedna polovina je impedančně upravena podle vstupní impedance a druhá je upravena podle výstupní impedance. Tvar odezvy filtru zůstává stejný. To není částka impedanční přizpůsobení síť, impedance při pohledu do síťových portů nemají žádný vztah k zakončovacím impedancím. To znamená, že síť navržená Bartlettovou větou, i když má přesně předpovězenou odezvu filtru, kromě odezvy filtru také přidává konstantní útlum. V sítích s impedančním přizpůsobením je obvyklým kritériem návrhu maximalizovat přenos energie. Výstupní odezva je „stejného tvaru“ vzhledem k napětí teoretického ideálního generátoru pohánějícího vstup. Není to stejné vzhledem ke skutečnému vstupnímu napětí, které dodává teoretický ideální generátor prostřednictvím své impedance zátěže.^[5][6]

Konstantní zisk v důsledku rozdílu ve vstupní a výstupní impedanci je dán vztahem;

${ displaystyle A = { frac {V_ {2}} {E}} = { frac {2R_ {2}} {R_ {1} + R_ {2}}}}$

Všimněte si, že je možné, aby to bylo větší než jednota, to znamená, že je možný zisk napětí, ale vždy dojde ke ztrátě energie.

Reference