Souřadnicové systémy pro hyperbolickou rovinu - Coordinate systems for the hyperbolic plane

V hyperbolická rovina, jako v Euklidovské letadlo, každý bod lze jednoznačně identifikovat dvěma reálná čísla. Používá se několik kvalitativně odlišných způsobů koordinace roviny v hyperbolické geometrii.

Tento článek se pokouší poskytnout přehled několika souřadnicových systémů používaných pro dvourozměrnou hyperbolickou rovinu.

V popisech níže konstanta Gaussovo zakřivení roviny je -1. Sinh, hovno a tanh jsou hyperbolické funkce.

Polární souřadnicový systém

Body v polárním souřadném systému s pólem Ó a polární osa L. Zeleně bod s radiální souřadnicí 3 a úhlovou souřadnicí 60 stupňů nebo (3, 60°). Bod modře (4, 210°).

The polární souřadnicový systém je dvourozměrný souřadnicový systém ve kterém každý směřovat na letadlo je určeno a vzdálenost z referenčního bodu a úhel z referenčního směru.

Referenční bod (analogický k původu a Kartézský systém ) se nazývá póla paprsek od pólu v referenčním směru je polární osa. Vzdálenost od pólu se nazývá radiální souřadnice nebo poloměra úhel se nazývá úhlová souřadnicenebo polární úhel.

Z hyperbolický zákon kosinů, dostaneme, že vzdálenost mezi dvěma body uvedenými v polárních souřadnicích je

{ displaystyle operatorname {dist} ( langle r_ {1}, theta _ {1} rangle, langle r_ {2}, theta _ {2} rangle) = operatorname {arcosh} , left ( cosh r_ {1} cosh r_ {2} - sinh r_ {1} sinh r_ {2} cos ( theta _ {2} - theta _ {1}) right) ,. }

Odpovídající metrický tenzor je: ${ displaystyle ( mathrm {d} s) ^ {2} = ( mathrm {d} r) ^ {2} + sinh ^ {2} r , ( mathrm {d} theta) ^ {2 } ,.}$

Přímky jsou popsány rovnicemi formuláře

{ displaystyle theta = theta _ {0} pm { frac { pi} {2}} quad { text {nebo}} quad tanh r = tanh r_ {0} sec ( theta - theta _ {0})}

kde r₀ a θ₀ jsou souřadnice nejbližšího bodu na přímce k pólu.

Systém kvadrantového modelu

The Poincarého polorovinový model úzce souvisí s modelem hyperbolické roviny v kvadrantu Q = {(x, y): X > 0, y > 0}. Pro takový bod geometrický průměr ${ displaystyle v = { sqrt {xy}}}$ a hyperbolický úhel ${ displaystyle u = ln { sqrt {x / y}}}$ vytvořit bod (u, v) v horní polorovině. Hyperbolická metrika v kvadrantu závisí na Poincarého polorovině. The pohyby modelu Poincaré přenést do kvadrantu; odpovídá zejména levému nebo pravému posuvu skutečné osy hyperbolické rotace kvadrantu. Kvůli studiu poměrů ve fyzice a ekonomii, kde je kvadrant vesmírem diskurzu, se říká, že jeho body jsou lokalizovány hyperbolické souřadnice.

Souřadnicové systémy v kartézském stylu

V hyperbolické geometrii obdélníky neexistuje. Součet úhlů čtyřúhelníku v hyperbolické geometrii je vždy menší než 4 správné úhly (vidět Lambertův čtyřúhelník ). Také v hyperbolické geometrii neexistují žádné ekvidistantní čáry (viz hypercykly ). To vše má vliv na souřadnicové systémy.

Existují však různé souřadnicové systémy pro hyperbolickou rovinnou geometrii. Všechny jsou založeny na výběru skutečného (ne ideál ) bod ( Původ ) na vybrané směrované čáře ( X-axis) a poté existuje mnoho možností.

Axiální souřadnice

Axiální souřadnice X_A a y_A jsou nalezeny konstrukcí a y- osa kolmá k X- osa původem.^[1]

Jako v Kartézský souřadnicový systém, souřadnice se naleznou upuštěním kolmic z bodu na X a y-sekery. X_A je vzdálenost od paty kolmice na X- osa původu (považována za pozitivní na jedné straně a negativní na druhé straně); y_A je vzdálenost od paty kolmice na y- osa původu.

Kruhy o počátku v hyperbolických axiálních souřadnicích.

Každý bod a nejvíce ideální body mít osové souřadnice, ale ne každá dvojice reálných čísel odpovídá bodu.

Li ${ displaystyle tanh ^ {2} (x_ {a}) + tanh ^ {2} (y_ {a}) = 1}$ pak ${ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ je ideální bod.

Li ${ displaystyle tanh ^ {2} (x_ {a}) + tanh ^ {2} (y_ {a})> 1}$ pak ${ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ není vůbec bod.

Vzdálenost bodu ${ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}$ do X-os je ${ displaystyle operatorname {artanh} left ( tanh (y_ {a}) cosh (x_ {a}) right)}$ . Do y-osice to je ${ displaystyle operatorname {artanh} left ( tanh (x_ {a}) cosh (y_ {a}) right)}$ .

Vztah axiálních souřadnic k polárním souřadnicím (za předpokladu, že počátek je pól a že kladný X-osa je polární osa) je

{ displaystyle x = operatorname {artanh} , ( tanh r cos theta)}

{ displaystyle y = operatorname {artanh} , ( tanh r sin theta)}

{ displaystyle r = operatorname {artanh} , ({ sqrt { tanh ^ {2} x + tanh ^ {2} y}} ,)}

{ displaystyle theta = 2 operatorname {arctan} , left ({ frac { tanh y} { tanh x + { sqrt { tanh ^ {2} x + tanh ^ {2} y}}} }že jo),.}

Lobačevského souřadnice

Lobačevského souřadnice X_ℓ a y_ℓ jsou nalezeny upuštěním kolmice na X-osa. X_ℓ je vzdálenost od paty kolmice k X- osa počátku (pozitivní na jedné straně a negativní na druhé straně, stejné jako v axiální souřadnice ).^[1]

y_ℓ je vzdálenost podél kolmice daného bodu k jeho patě (kladná na jedné straně a záporná na druhé straně).

{ displaystyle x_ {l} = x_ {a} , tanh (y_ {l}) = tanh (y_ {a}) cosh (x_ {a}) , tanh (y_ {a} ) = { frac { tanh (y_ {l})} { cosh (x_ {l})}}}

.

Lobachevského souřadnice jsou užitečné pro integraci délky křivek^[2] a plocha mezi čarami a křivkami.^{[potřebný příklad ]}

Lobačevského souřadnice jsou pojmenovány po Nikolai Lobachevsky jeden z objevitelů hyperbolická geometrie.

Kruhy o počátku poloměru 1, 5 a 10 v Lobachevského hyperbolických souřadnicích.

Kruhy kolem bodů (0,0), (0,1), (0,2) a (0,3) poloměru 3,5 v Lobachevského hyperbolických souřadnicích.

Vytvořte kartézský souřadný systém následujícím způsobem. Vyberte řádek ( X-osa) v hyperbolické rovině (se standardizovaným zakřivením -1) a označte na ní body podle jejich vzdálenosti od počátku (X= 0) bod na X-osa (pozitivní na jedné straně a negativní na druhé straně). Pro jakýkoli bod v rovině lze definovat souřadnice X a y upuštěním kolmice na X-osa. X bude štítek nohy kolmice. y bude vzdálenost podél kolmice daného bodu od jeho paty (kladná na jedné straně a záporná na druhé straně). Pak bude vzdálenost mezi dvěma takovými body

{ displaystyle operatorname {dist} ( langle x_ {1}, y_ {1} rangle, langle x_ {2}, y_ {2} rangle) = operatorname {arcosh} left ( cosh y_ { 1} cosh (x_ {2} -x_ {1}) cosh y_ {2} - sinh y_ {1} sinh y_ {2} vpravo) ,.}

Tento vzorec lze odvodit ze vzorců o hyperbolické trojúhelníky.

Odpovídající metrický tenzor je: ${ displaystyle ( mathrm {d} s) ^ {2} = cosh ^ {2} y , ( mathrm {d} x) ^ {2} + ( mathrm {d} y) ^ {2} }$ .

V tomto souřadnicovém systému jsou přímé čáry buď kolmé na X-osa (s rovnicí X = konstanta) nebo popsána rovnicemi tvaru

{ displaystyle tanh y = A cosh x + B sinh x quad { text {když}} quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}}

kde A a B jsou skutečné parametry, které charakterizují přímku.

Vztah Lobachevského souřadnic k polárním souřadnicím (za předpokladu, že počátek je pól a že kladný X-osa je polární osa) je

{ displaystyle x = operatorname {artanh} , ( tanh r cos theta)}

{ displaystyle y = operatorname {arsinh} , ( sinh r sin theta)}

{ displaystyle r = operatorname {arcosh} , ( cosh x cosh y)}

{ displaystyle theta = 2 operatorname {arctan} , vlevo ({ frac { sinh y} { sinh x cosh y + { sqrt { cosh ^ {2} x cosh ^ {2} y -1}}}} vpravo) ,.}

Souřadnicový systém založený na horocyklech

Souřadnicový systém založený na horocyklech

Další souřadný systém používá vzdálenost od bodu k horocykl přes původ soustředěný kolem ${ displaystyle Omega = (0, + infty)}$ a oblouk podél tohoto horocyklu.^[3]

Nakreslete horocykl h_Ó přes původ se středem na ideální bod ${ displaystyle Omega}$ na konci X-osa.

Z bodu P nakreslete čáru str asymptotické vůči X-osa vpravo ideální bod ${ displaystyle Omega}$ . P_h je průsečík čáry str a horocykl h_Ó.

Souřadnice X_h je vzdálenost od P do P_h - pozitivní, pokud je P mezi P_h a ${ displaystyle Omega}$ , negativní, pokud P_h je mezi P a ${ displaystyle Omega}$ .

Souřadnice y_h je oblouková délka podél horocyklu h_Ó od původu do P_h.

Vzdálenost mezi dvěma body uvedenými v těchto souřadnicích je

{ displaystyle operatorname {dist} ( langle x_ {1}, y_ {1} rangle, langle x_ {2}, y_ {2} rangle) = operatorname {arcosh} ( cosh (x_ {2 } -x_ {1}) + { tfrac {1} {2}} (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} exp (-x_ {1} -x_ {2})) , .}

Odpovídající metrický tenzor je: ${ displaystyle ( mathrm {d} s) ^ {2} = ( mathrm {d} x) ^ {2} + exp (-2x) , ( mathrm {d} y) ^ {2} ,.}$

Přímky jsou popsány rovnicemi formuláře y = konstanta nebo

{ displaystyle x = { tfrac {1} {2}} ln ( exp (2x_ {0}) - (y-y_ {0}) ^ {2})}

kde X₀ a y₀ jsou souřadnice bodu na přímce nejbližší ideálnímu bodu ${ displaystyle Omega}$ (tj. s největší hodnotou X na lince).

Modelové souřadnicové systémy

Modelové souřadnicové systémy používají jeden z modely hyperbolické geometrie a vezměte euklidovské souřadnice uvnitř modelu jako hyperbolické souřadnice.

Souřadnice Beltrami

Souřadnice Beltrami bodu jsou euklidovské souřadnice bodu, když je bod mapován v Model Beltrami – Klein hyperbolické roviny, X-os je mapována na segment (−1,0) − (1,0) a počátek je mapován do středu hraničního kruhu.^[1]

Platí následující rovnice:

{ displaystyle x_ {b} = tanh (x_ {a}), y_ {b} = tanh (y_ {a})}

Poincaré souřadnice

Poincaré souřadnice bodu jsou euklidovské souřadnice bodu, když je bod mapován v Poincaré model disku hyperbolické roviny,^[1] the X-os je mapována na segment (−1,0) − (1,0) a počátek je mapován do středu hraničního kruhu.

Poincaré souřadnice, pokud jde o souřadnice Beltrami, jsou:

{ displaystyle x_ {p} = { frac {x_ {b}} {1 + { sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}, y_ {p} = { frac {y_ {b}} {1 + { sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}}

Weierstrassovy souřadnice

Weierstrassovy souřadnice bodu jsou euklidovské souřadnice bodu, když je bod mapován v hyperboloidní model hyperbolické roviny, X-os je mapována na (polovinu) hyperbola ${ displaystyle (t , 0 , { sqrt {t ^ {2} +1}})}$ a počátek je mapován na bod (0,0,1).^[1]

Bod P s osovými souřadnicemi (X_A, y_A) je mapován na

{ displaystyle left ({ frac { tanh x_ {a}} { sqrt {1- tanh ^ {2} x_ {a} - tanh ^ {2} y_ {a}}}} , { frac { tanh y_ {a}} { sqrt {1- tanh ^ {2} x_ {a} - tanh ^ {2} y_ {a}}}} , { frac {1} { sqrt {1- tanh ^ {2} x_ {a} - tanh ^ {2} y_ {a}}}} vpravo)}

Ostatní

Gyrovektorové souřadnice

Gyrovektorový prostor

Hyperbolické barycentrické souřadnice

Z Gyrovector prostor # střed trojúhelníku

Studium středy trojúhelníků tradičně se zabývá euklidovskou geometrií, ale centra trojúhelníků lze studovat také v hyperbolické geometrii. Pomocí gyrotrigonometrie lze vypočítat výrazy pro trigonometrické barycentrické souřadnice, které mají stejný tvar pro euklidovskou i hyperbolickou geometrii. Aby se výrazy shodovaly, musí výrazy existovat ne zapouzdřuje specifikaci úhlového úhlu o 180 stupňů.^[4]^[5]^[6]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.447–450. ISBN 0387906940.
^ Smorgorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometrie. Moskva: Mir. str. 64–68.
^ Ramsay, Arlan; Richtmyer, Robert D. (1995). Úvod do hyperbolické geometrie. New York: Springer-Verlag. str.97–103. ISBN 0387943390.
^ Hyperbolické barycentrické souřadnice „Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, svazek 6, vydání 1, článek 18, s. 1–35, 2009
^ Centra hyperbolického trojúhelníku: Zvláštní relativistický přístup „Abraham Ungar, Springer, 2010
^ Barycentrický počet v euklidovské a hyperbolické geometrii: Srovnávací úvod Archivováno 19. 5. 2012 na Wayback Machine, Abraham Ungar, World Scientific, 2010

[martin_analytic-1] A ^b ^C ^d ^E Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.447–450. ISBN 0387906940.

[Smorgorzhevsky-2] Smorgorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometrie. Moskva: Mir. str. 64–68.

[3] Ramsay, Arlan; Richtmyer, Robert D. (1995). Úvod do hyperbolické geometrie. New York: Springer-Verlag. str.97–103. ISBN 0387943390.

[4] Hyperbolické barycentrické souřadnice „Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, svazek 6, vydání 1, článek 18, s. 1–35, 2009

[5] Centra hyperbolického trojúhelníku: Zvláštní relativistický přístup „Abraham Ungar, Springer, 2010

[barycalc-6] Barycentrický počet v euklidovské a hyperbolické geometrii: Srovnávací úvod Archivováno 19. 5. 2012 na Wayback Machine, Abraham Ungar, World Scientific, 2010

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]