Hřeben prostoru - Comb space

Zejména v matematice topologie, a hřebenový prostor je zvláštní podprostor z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ který se podobá a Hřeben. Hřebenový prostor má vlastnosti, které slouží jako řada protiklady. The sinusová křivka topologa má podobné vlastnosti jako hřebenový prostor. The odstraněný mezerník je variace na hřebenový prostor.

Hřeben topologa

Složitý dvojitý hřeben pro r = 3/4.

Formální definice

Zvážit ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ s jeho standardní topologie a nechte K. být soubor ${ displaystyle {1 / n ~ | ~ n v mathbb {N} }}$ . Sada C definován:

{ displaystyle ( {0 } krát [0,1]) pohár (K krát [0,1]) pohár ([0,1] krát {0 })}

považován za podprostor o ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ vybavené topologie podprostoru je známý jako hřebenový prostor. Odstraněný hřebenový prostor, D, je definován:

{ displaystyle ( {0 } krát {0,1 }) pohár (K krát [0,1]) pohár ([0,1] krát {0 })}

.

Toto je hřebenový prostor s úsečkou ${ displaystyle {0 } krát (0,1)}$ smazáno.

Topologické vlastnosti

Prostor hřebenu a odstraněný prostor hřebenu mají některé zajímavé topologické vlastnosti, které většinou souvisejí s pojmem propojenost.

1. Hřebenový prostor je příkladem prostoru spojeného s cestou, který není místně připojená cesta.

2. Vymazaný prostor hřebenu D je připojen:

Nechť E je hřebenový prostor bez

{ displaystyle {0 } krát (0,1]}

. E je také cesta spojená a uzavření E je hřebenový prostor. Jako E

{ displaystyle podmnožina}

D

{ displaystyle podmnožina}

uzávěr E, kde je připojen E, je také připojen odstraněný prostor hřebenu.

3. Odstraněný hřebenový prostor není spojen cestou, protože tam není žádný cesta od (0,1) do (0,0):

Předpokládejme, že existuje cesta z str = (0, 1) do bodu (0, 0) v D. Nechat ƒ : [0, 1] → D být touto cestou. To dokážeme ƒ⁻¹{str} je obojí otevřeno a Zavřeno v [0, 1] v rozporu s propojenost této sady. Je zřejmé, že máme ƒ⁻¹{str} je uzavřen v [0, 1] pomocí kontinuita z ƒ. Dokázat to ƒ⁻¹{str} je otevřený, postupujeme následovně: Vyberte a sousedství PROTI (otevři to R²) o str to neprotíná X-osa. Předpokládat X je libovolný bod v ƒ⁻¹{str}. Jasně, F(X) = str. Od té doby F⁻¹(PROTI) je otevřený, je zde základ živel U obsahující X takhle ƒ(U) je podmnožinou PROTI. Tvrdíme to ƒ(U) = {str} což to bude znamenat U je otevřená podmnožina ƒ⁻¹{str} obsahující X. Od té doby X bylo svévolné, ƒ⁻¹{str} poté bude otevřen. Víme, že U je připojen, protože je základním prvkem pro topologie objednávky na [0, 1]. Proto, ƒ(U) je připojen. Předpokládat ƒ(U) obsahuje bod s jiný než str. Pak s = (1/n, z) musí patřit D. Vybrat r takový, že 1 / (n + 1) < r < 1/n. Od té doby ƒ(U) neprotíná X- osa, sady A = (−∞, r) ×

{ displaystyle mathbb {R}}

a B = (r, +∞) ×

{ displaystyle mathbb {R}}

vytvoří a oddělení na F(U); v rozporu s propojením F(U). Proto, F⁻¹{str} je otevřený i zavřený v [0, 1]. To je rozpor.

4. Hřebenový prostor je homotopický k věci, ale nepřipouští a zatažení deformace do bodu za každou volbu základního bodu.

Viz také

Reference

James Munkres (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

Kiyosi Itô (ed.). „Propojenost“. Encyklopedický slovník matematiky. Matematická společnost Japonska. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)