Topologové sinusová křivka - Topologists sine curve - Wikipedia

V oboru matematika známý jako topologie, sinusová křivka topologa nebo Varšavská sinusová křivka je topologický prostor s několika zajímavými vlastnostmi, díky nimž je důležitým příkladem učebnice.

Lze jej definovat jako graf funkce sin (1 /X) na polootevřený interval (0, 1], spolu s počátkem, podle topologie indukovaný z Euklidovské letadlo:

{ displaystyle T = left { left (x, sin { tfrac {1} {x}} right): x in (0,1] right } cup {(0,0 ) }.}

Obrázek křivky

Tak jako X zprava se blíží nule, velikost rychlosti změny 1 /X zvyšuje. Proto se frekvence sinusové vlny zvyšuje, když se v grafu pohybujeme doleva.

Vlastnosti

Sinusová křivka topologa T je připojeno ale ani jeden místně připojen ani cesta připojena. Důvodem je, že obsahuje bod (0,0), ale neexistuje způsob, jak propojit funkci s počátkem tak, aby bylo vytvořeno a cesta.

Prostor T je spojitý obraz a místně kompaktní prostor (jmenovitě PROTI být prostorem {−1} ∪ (0, 1] a použít mapu F z PROTI na T definován F(−1) = (0,0) a F(X) = (X, hřích (1 /X)) pro X > 0), ale T není místně kompaktní.

The topologická dimenze z T je 1.

Varianty

Dvě varianty sinusové křivky topologa mají další zajímavé vlastnosti.

The uzavřená sinusová křivka topologa lze definovat tak, že vezmeme sinusovou křivku topologa a přidáme její sadu mezní body, ${ displaystyle {(0, y) střední y v [-1,1] }}$ . Tento prostor je uzavřený a ohraničený atd kompaktní podle Heine – Borelova věta, ale má podobné vlastnosti jako sinusová křivka topologa - je také spojena, ale není ani místně, ani spojena s cestou.

The prodloužená sinusová křivka topologa lze definovat tak, že vezmeme sinusovou křivku uzavřeného topologa a přidáme k ní množinu ${ displaystyle {(x, 1) střední x v [0,1] }}$ . to je oblouk připojen ale ne místně připojen.

Viz také

Reference

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk vydání z roku 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., str. 137–138, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 1382863
Weisstein, Eric W. „Topologova sinusová křivka“. MathWorld.