Identita Capellis - Capellis identity - Wikipedia

v matematika, Capelliho identita, pojmenoval podle Alfredo Capelli  (1887 ), je analogem vzorce det (AB) = det (A) det (B), pro určité matice s nezávaznými položkami, související s teorie reprezentace Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Lze jej použít k přiřazení invariantu ƒ na invariant Ωƒ, kde Ω je Cayleyův Ω proces.

Prohlášení

Předpokládejme to X_ij pro i,j = 1,...,n jsou proměnné dojíždění. Psát si E_ij pro operátora polarizace

${ displaystyle E_ {ij} = součet _ {a = 1} ^ {n} x_ {ia} { frac { částečné} { částečné x_ {ja}}}.}$

Identita Capelli uvádí, že následující operátory diferenciálu, vyjádřené jako determinanty, jsou stejné:

${ displaystyle { begin {vmatrix} E_ {11} + n-1 & cdots & E_ {1, n-1} & E_ {1n} vdots & ddots & vdots & vdots E_ {n- 1,1} & cdots & E_ {n-1, n-1} + 1 & E_ {n-1, n} E_ {n1} & cdots & E_ {n, n-1} & E_ {nn} +0 end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} x_ {11} & cdots & x_ {1n} vdots & ddots & vdots x_ {n1} & cdots & x_ {nn} end {vmatrix }} { begin {vmatrix} { frac { částečné} { částečné x_ {11}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}} vdots & ddots & vdots { frac { částečné} { částečné x_ {n1}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {nn}}} end {vmatrix}}.}$

Obě strany jsou operátory diferenciálu. Determinant vlevo má položky, které nedojíždějí, a je rozšířen o všechny výrazy, které zachovávají jejich pořadí „zleva doprava“. Takový determinant se často nazývá a sloupcový determinant, protože to lze získat expanzí sloupce determinantu počínaje od prvního sloupce. Může být formálně napsán jako

${ displaystyle det (A) = součet _ { sigma v S_ {n}} operatorname {sgn} ( sigma) A _ { sigma (1), 1} A _ { sigma (2), 2 } cdots A _ { sigma (n), n},}$

kde v produktu nejdříve přicházejí prvky z prvního sloupce, pak z druhého atd. Determinant zcela vpravo je Cayleyho omega proces a ten vlevo je determinant Capelli.

Provozovatelé E_ij lze napsat ve formě matice:

${ displaystyle E = XD ^ {t},}$

kde ${ displaystyle E, X, D}$ jsou matice s prvky E_ij, X_ij, ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x_ {ij}}}}$ resp. Pokud by všechny prvky v těchto maticích byly komutativní, pak jasně ${ displaystyle det (E) = det (X) det (D ^ {t})}$. Identita Capelli ukazuje, že navzdory nekomutativitě existuje „kvantizace“ výše uvedeného vzorce. Jedinou cenou za nekomutativitu je malá oprava: ${ displaystyle (n-i) delta _ {ij}}$ po levé ruce. Pro obecné nekomutativní maticové vzorce jako

${ displaystyle det (AB) = det (A) det (B)}$

neexistují a samotný pojem „determinantu“ nemá smysl pro generické nekomutativní matice. To je důvod, proč identita Capelli stále drží určité tajemství, navzdory mnoha důkazům, které jsou pro ni nabízeny. Zdá se, že velmi krátký důkaz neexistuje. Přímé ověření výpisu lze provést jako cvičení pro n = 2, ale již je dlouhý n = 3.

Vztahy s teorií reprezentace

Zvažte následující poněkud obecnější kontext. Předpokládejme to ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle m}$ jsou dvě celá čísla a ${ displaystyle x_ {ij}}$ pro ${ displaystyle i = 1, tečky, n, j = 1, tečky, m}$, být dojíždějící proměnné. Předefinovat ${ displaystyle E_ {ij}}$ téměř stejným vzorcem:

${ displaystyle E_ {ij} = součet _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} { frac { částečné} { částečné x_ {ja}}}.}$

s jediným rozdílem, kterým je součtový index ${ displaystyle a}$ se pohybuje od ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle m}$. Lze snadno vidět, že takové operátory uspokojují komutační vztahy:

${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}. ~~~~~~~~~~}$

Tady ${ displaystyle [a, b]}$ označuje komutátor ${ displaystyle ab-ba}$. Jedná se o stejné komutační vztahy, které jsou splněny maticemi ${ displaystyle e_ {ij}}$ které mají nuly všude kromě polohy ${ displaystyle (i, j)}$, kde 1 stojí. (${ displaystyle e_ {ij}}$ jsou někdy nazývány maticové jednotky). Proto jsme dospěli k závěru, že korespondence ${ displaystyle pi: e_ {ij} mapsto E_ {ij}}$ definuje a reprezentace Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ ve vektorovém prostoru polynomů o ${ displaystyle x_ {ij}}$.

Případ m = 1 a reprezentace S^k Cⁿ

Je zvláště poučné uvažovat o zvláštním případu m = 1; v tomto případě máme X_i1, který je zkrácen jako X_i:

${ displaystyle E_ {ij} = x_ {i} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}.}$

Zejména u polynomů prvního stupně je vidět, že:

${ displaystyle E_ {ij} x_ {k} = delta _ {jk} x_ {i}. ~~~~~~~~~~~~~~~~$

Proto akce ${ displaystyle E_ {ij}}$ omezeno na prostor polynomů prvního řádu je přesně stejné jako působení maticové jednotky ${ displaystyle e_ {ij}}$ na vektorech v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Z hlediska teorie reprezentace je tedy subprostor polynomů prvního stupně a subreprezentace lži algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$, které jsme identifikovali se standardním zastoupením v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Jít dále, je vidět, že diferenciální operátory ${ displaystyle E_ {ij}}$ zachovat stupeň polynomů, a proto polynomy každého pevného stupně tvoří a subreprezentace lži algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Dále lze vidět, že prostor homogenních polynomů stupně k lze identifikovat pomocí symetrického tenzorového výkonu ${ displaystyle S ^ {k} mathbb {C} ^ {n}}$ standardní reprezentace ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

Lze také snadno identifikovat nejvyšší váha struktura těchto reprezentací. Monomiální ${ displaystyle x_ {1} ^ {k}}$ je nejvyšší váha vektor, Vskutku: ${ displaystyle E_ {ij} x_ {1} ^ {k} = 0}$ pro i < j. Jeho nejvyšší hmotnost se rovná (k, 0, ..., 0), skutečně: ${ displaystyle E_ {ii} x_ {1} ^ {k} = k delta _ {i1} x_ {1} ^ {k}}$.

Taková reprezentace se někdy nazývá bosonická reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$. Podobné vzorce ${ displaystyle E_ {ij} = psi _ {i} { frac { částečné} { částečné psi _ {j}}}}$ zde definujte tzv. fermionickou reprezentaci ${ displaystyle psi _ {i}}$ jsou proměnné proti dojíždění. Opět polynomy o k-tý stupeň tvoří neredukovatelnou subreprezentaci, která je izomorfní ${ displaystyle Lambda ^ {k} mathbb {C} ^ {n}}$ tj. anti-symetrický tenzorový výkon ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Nejvyšší váha takového vyjádření je (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Tato reprezentace pro k = 1, ..., n jsou základní reprezentace z ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$.

Identita Capelli pro m = 1

Vraťme se k identitě Capelli. Lze prokázat následující:

${ displaystyle det (E + (n-i) delta _ {ij}) = 0, qquad n> 1}$

motivace pro tuto rovnost je následující: zvažte ${ displaystyle E_ {ij} ^ {c} = x_ {i} p_ {j}}$ pro některé proměnné dojíždění ${ displaystyle x_ {i}, p_ {j}}$. Matice ${ displaystyle E ^ {c}}$ je první pozice, a proto je jeho determinant roven nule. Prvky matice ${ displaystyle E}$ jsou definovány podobnými vzorci, ale jeho prvky nedojíždí. Identita Capelli ukazuje, že komutativní identita: ${ displaystyle det (E ^ {c}) = 0}$ lze zachovat za malou cenu korekční matice ${ displaystyle E}$ podle ${ displaystyle (n-i) delta _ {ij}}$.

Uveďme také, že podobná identita může být uvedena pro charakteristický polynom:

${ displaystyle det (t + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + mathrm {Tr} (E) t ^ {[n-1]}, ~~~~ }$

kde ${ displaystyle t ^ {[k]} = t (t + 1) cdots (t + k-1)}$. Komutativním protějškem toho je prostý fakt, že pro matice rank = 1 obsahuje charakteristický polynom pouze první a druhý koeficient.

Zvažte příklad pro n = 2.

${ displaystyle { begin {aligned} & { begin {vmatrix} t + E_ {11} + 1 & E_ {12} E_ {21} & t + E_ {22} end {vmatrix}} = { begin { vmatrix} t + x_ {1} částečné _ {1} + 1 & x_ {1} částečné _ {2} x_ {2} částečné _ {1} & t + x_ {2} částečné _ {2} end {vmatrix}} [8pt] & = (t + x_ {1} částečné _ {1} +1) (t + x_ {2} částečné _ {2}) - x_ {2} částečné _ {1} x_ {1} částečné _ {2} [6pt] & = t (t + 1) + t (x_ {1} částečné _ {1} + x_ {2} částečné _ {2} ) + x_ {1} částečné _ {1} x_ {2} částečné _ {2} + x_ {2} částečné _ {2} -x_ {2} částečné _ {1} x_ {1} částečné _ {2} end {zarovnáno}}}$

Použitím

${ displaystyle částečné _ {1} x_ {1} = x_ {1} částečné _ {1} +1, částečné _ {1} x_ {2} = x_ {2} částečné _ {1}, x_ {1} x_ {2} = x_ {2} x_ {1}}$

vidíme, že se to rovná:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} quad t (t + 1) + t (x_ {1} částečný _ {1} + x_ {2} částečný _ {2}) + x_ {2} x_ {1} částečné _ {1} částečné _ {2} + x_ {2} částečné _ {2} -x_ {2} x_ {1} částečné _ {1} částečné _ {2} -x_ {2} částečné _ {2} [8 bodů] & = t (t + 1) + t (x_ {1} částečné _ {1} + x_ {2} částečné _ {2}) = t ^ {[2]} + t , mathrm {Tr} (E). End {zarovnáno}}}$

Univerzální obalová algebra ${ displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$ a jeho střed

Zajímavou vlastností determinantu Capelli je, že dojíždí se všemi operátory E_ij, toto je komutátor ${ displaystyle [E_ {ij}, det (E + (n-i) delta _ {ij})] = 0}$ se rovná nule. Lze to zobecnit:

Zvažte jakékoli prvky E_ij v jakémkoli kruhu tak, aby vyhovovaly komutačnímu vztahu ${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}}$, (aby to mohly být výše uvedené diferenciální operátory, maticové jednotky E_ij nebo jiné prvky) definujte prvky C_k jak následuje:

${ displaystyle det (t + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + součet _ {k = n-1, tečky, 0} t ^ {[k]} C_ {k}, ~~~~~}$

kde ${ displaystyle t ^ {[k]} = t (t + 1) cdots (t + k-1),}$

pak:

• elementy C_k dojíždět se všemi prvky E_ij
• elementy C_k může být dán vzorci podobnými komutativnímu případu:

${ displaystyle C_ {k} = součet _ {I = (i_ {1}$

tj. jsou to součty hlavních nezletilých matice E, modulo the Korekce Capelli ${ displaystyle + (k-i) delta _ {ij}}$. Zejména prvek C₀ je Capelliho determinant uvažovaný výše.

Tato tvrzení jsou ve vzájemném vztahu s identitou Capelli, jak bude probráno níže, a podobně se zdá, že i přes jednoduchost formulace neexistuje přímý krátký důkaz o několika řádcích.

The univerzální obalová algebra

${ displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$

lze definovat jako algebru generovanou

E_ij

podléhá vztahům

${ displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = delta _ {jk} E_ {il} - delta _ {il} E_ {kj}}$

sama. Výše uvedený návrh ukazuje, že prvky C_kpatří k centrum z ${ displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$. Je možné ukázat, že ve skutečnosti jsou bezplatnými generátory středu ${ displaystyle U ({ mathfrak {gl}} _ {n})}$. Někdy se jim říká Generátory Capelli. Níže bude probrána identita Capelli.

Zvažte příklad pro n = 2.

${ displaystyle { begin {aligned} {} quad { begin {vmatrix} t + E_ {11} + 1 & E_ {12} E_ {21} & t + E_ {22} end {vmatrix}} & = (t + E_ {11} +1) (t + E_ {22}) - E_ {21} E_ {12} & = t (t + 1) + t (E_ {11} + E_ {22}) + E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12} + E_ {22}. End {zarovnáno}}}$

Je okamžité tento prvek zkontrolovat ${ displaystyle (E_ {11} + E_ {22})}$ dojíždět s ${ displaystyle E_ {ij}}$. (Odpovídá to zjevnému faktu, že matice identity dojíždí se všemi ostatními maticemi). Poučnější je zkontrolovat komutativitu druhého prvku pomocí ${ displaystyle E_ {ij}}$. Udělejme to pro ${ displaystyle E_ {12}}$:

${ displaystyle [E_ {12}, E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12} + E_ {22}]}$

${ displaystyle = [E_ {12}, E_ {11}] E_ {22} + E_ {11} [E_ {12}, E_ {22}] - [E_ {12}, E_ {21}] E_ {12 } -E_ {21} [E_ {12}, E_ {12}] + [E_ {12}, E_ {22}]}$

${ displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {11} E_ {12} - (E_ {11} -E_ {22}) E_ {12} -0 + E_ {12}}$

${ displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {22} E_ {12} + E_ {12} = - E_ {12} + E_ {12} = 0.}$

Vidíme, že naivní determinant ${ displaystyle E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12}}$ nebude dojíždět s ${ displaystyle E_ {12}}$ a korekce Capelli ${ displaystyle + E_ {22}}$ je zásadní pro zajištění ústředního postavení.

Všeobecné m a dvojice

Vraťme se k obecnému případu:

${ displaystyle E_ {ij} = součet _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} { frac { částečné} { částečné x_ {ja}}},}$

pro libovolné n a m. Definice operátorů E_ij lze napsat ve formě matice: ${ displaystyle E = XD ^ {t}}$, kde ${ displaystyle E}$ je ${ displaystyle n krát n}$ matice s prvky ${ displaystyle E_ {ij}}$; ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle n krát m}$ matice s prvky ${ displaystyle x_ {ij}}$; ${ displaystyle D}$ je ${ displaystyle n krát m}$ matice s prvky ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x_ {ij}}}}$.

Identity Capelli – Cauchy – Binet

Obecně m matice E je dán jako produkt dvou obdélníkových matic: X a provést do D. Pokud by všechny prvky těchto matic dojížděly, pak člověk ví, že determinant E lze vyjádřit tzv Cauchy – Binetův vzorec přes nezletilí z X a D. Analog tohoto vzorce existuje také pro matici E opět za stejnou mírnou cenu opravy ${ displaystyle E rightarrow (E + (n-i) delta _ {ij})}$:

${ displaystyle det (E + (ni) delta _ {ij}) = součet _ {I = (1 leq i_ {1}$,

Zejména (podobně jako komutativní případ): pokud m , pak ${ displaystyle det (E + (n-i) delta _ {ij}) = 0}$; -li m = n vracíme se k identitě výše.

Uveďme také, že podobné komutativnímu případu (viz Cauchy – Binet pro nezletilé ), lze vyjádřit nejen determinant E, ale také jeho nezletilí prostřednictvím nezletilých z X a D:

${ displaystyle det (E + (si) delta _ {ij}) _ {KL} = součet _ {I = (1 leq i_ {1}$,

Tady K. = (k₁ < k₂ < ... < k_s), L = (l₁ < l₂ < ... < l_s), jsou libovolné víceindexy; jako obvykle ${ displaystyle M_ {KL}}$ označuje submatici o M tvořené prvky M _kAlb. Věnujte pozornost tomu, že korekce Capelli nyní obsahuje s, ne n jako v předchozím vzorci. Všimněte si, že pro s = 1, oprava (s − i) zmizí a dostaneme pouze definici E jako produkt X a provést do D. Uveďme to také pro obecné K, L. odpovídající nezletilí nedojíždí se všemi prvky E_ij, takže identita Capelli existuje nejen pro centrální prvky.

Jako důsledek tohoto vzorce a příkladu pro charakteristický polynom v předchozí části uveďme následující:

${ displaystyle det (t + E + (ni) delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + součet _ {k = n-1, tečky, 0} t ^ {[k]} sum _ {I, J} det (X_ {IJ}) det (D_ {JI} ^ {t}),}$

kde ${ displaystyle I = (1 leq i_ {1} < cdots$ ${ displaystyle J = (1 leq j_ {1} < cdots$. Tento vzorec je podobný komutativnímu případu, modula ${ displaystyle + (n-i) delta _ {ij}}$ na levé straně a t^[n] namísto tⁿ na pravé straně.

Vztah k dvojicím

Moderní zájem o tyto identity byl hodně stimulován Roger Howe který je považoval ve své teorii redukční dvojice (také známý jako Howe dualita). Pro první kontakt s těmito nápady se podívejme přesněji na operátory ${ displaystyle E_ {ij}}$. Takoví operátoři zachovávají stupeň polynomů. Podívejme se na polynomy stupně 1: ${ displaystyle E_ {ij} x_ {kl} = x_ {il} delta _ {jk}}$, vidíme ten index l je zachována. Je vidět, že z hlediska teorie reprezentace lze polynomy prvního stupně identifikovat přímým součtem reprezentací ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} oplus cdots oplus mathbb {C} ^ {n}}$, tady l-tý podprostor (l = 1 ... m) je překlenuto ${ displaystyle x_ {il}}$, i = 1, ..., n. Pojďme se znovu podívat na tento vektorový prostor:

${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} oplus cdots oplus mathbb {C} ^ {n} = mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}.}$

Takový úhel pohledu dává první náznak symetrie mezi m a n. Pro prohloubení této myšlenky zvažte:

${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}} = součet _ {a = 1} ^ {n} x_ {ai} { frac { částečné} { částečné x_ {aj}}}.}$

Tyto operátory jsou dány stejnými vzorci jako ${ displaystyle E_ {ij}}$ modula renumeration ${ displaystyle i leftrightarrow j}$, tedy ze stejných argumentů to můžeme odvodit ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ tvoří a reprezentace Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {m}}$ ve vektorovém prostoru polynomů o X_ij. Než půjdeme dále, můžeme zmínit následující vlastnost: diferenciální operátory ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ dojíždět s operátory diferenciálu ${ displaystyle E_ {kl}}$.

Lieova skupina ${ displaystyle GL_ {n} krát GL_ {m}}$ působí na vektorový prostor ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}}$ přirozeným způsobem. Lze ukázat, že odpovídající akce Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} times { mathfrak {gl}} _ {m}}$ je dáno operátory diferenciálu ${ displaystyle E_ {ij} ~~~~}$ a ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$ resp. To vysvětluje komutativitu těchto operátorů.

Následující hlubší vlastnosti ve skutečnosti platí:

• Jediní operátoři diferenciálu, se kterými dojíždějí ${ displaystyle E_ {ij} ~~~~}$ jsou polynomy v ${ displaystyle E_ {ij} ^ { text {dual}}}$a naopak.
• Rozklad vektorového prostoru polynomů na přímý součet tenzorových produktů neredukovatelných reprezentací ${ displaystyle GL_ {n}}$ a ${ displaystyle GL_ {m}}$ lze uvést následovně:

${ displaystyle mathbb {C} [x_ {ij}] = S ( mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {m}) = součet _ {D} rho _ {n } ^ {D} otimes rho _ {m} ^ {D '}.}$

Summandy jsou indexovány pomocí Mladé diagramy Da reprezentace ${ displaystyle rho ^ {D}}$ jsou vzájemně neizomorfní. A diagram ${ displaystyle {D}}$ určit ${ displaystyle {D '}}$ a naopak.

• Zejména zastoupení velké skupiny ${ displaystyle GL_ {n} krát GL_ {m}}$ je multiplicita zdarma, to znamená, že každá neredukovatelná reprezentace nastane pouze jednou.

Jeden snadno pozoruje silnou podobnost s Schur – Weylova dualita.

Zobecnění

V oblasti identity a jejích zevšeobecnění bylo učiněno mnoho práce. K předmětu přispěly přibližně dvě desítky matematiků a fyziků, abychom jmenovali alespoň některé: R. Howe, B. Kostant^[1][2] Polní medailista A. Okounkov^[3][4] A. Sokal,^[5] D. Zeilberger.^[6]

Historicky se zdá, že první zevšeobecnění byly získány Herbert Westren Turnbull v roce 1948,^[7] kdo našel zobecnění pro případ symetrických matic (viz^[5][6] pro moderní léčbu).

Ostatní zobecnění lze rozdělit do několika vzorů. Většina z nich vychází z hlediska Lieovy algebry. Takové zevšeobecňování spočívá ve změně Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ na jednoduché Lie algebry ^[8] a jejich super^[9][10] (q),^[11][12] a aktuální verze.^[13] Stejně jako identitu lze zobecnit na různé redukční dvojice.^[14][15] A konečně lze uvažovat nejen o determinantu matice E, ale o jejím trvalém,^[16] stopu jeho sil a imanantů.^{[3][4][17][18]} Uveďme několik dalších článků;^{[19][20][21] [22] [23] [24] [25]} seznam odkazů je stále neúplný. Již dlouhou dobu se věřilo, že identita úzce souvisí s polojednodušými Lieovými algebrami. V roce 2008 bylo překvapivě nalezeno nové čistě algebraické zobecnění identity^[5] Caracciolo, A. Sportiello, A. D. Sokal, který nemá nic společného se žádnými Lieovými algebrami.

Turnbullova identita pro symetrické matice

Zvážit symetrický matice

${ displaystyle X = { begin {vmatrix} x_ {11} & x_ {12} & x_ {13} & cdots & x_ {1n} x_ {12} & x_ {22} & x_ {23} & cdots & x_ {2n } x_ {13} & x_ {23} & x_ {33} & cdots & x_ {3n} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots x_ {1n} & x_ {2n} & x_ { 3n} & cdots & x_ {nn} end {vmatrix}}, D = { begin {vmatrix} 2 { frac { částečné} { částečné x_ {11}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {12}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {13}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}} [6 bodů] { frac { částečné} { částečné x_ {12}}} a 2 { frac { částečné} { částečné x_ {22}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {23}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {2n}}} [6pt] { frac { částečné} { částečné x_ {13}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {23}}} a 2 { frac { částečné} { částečné x_ {33}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {3n}}} [6 bodů] vdots & vdots & vdots & ddots & vdots { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {2n}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {3n}}} & cdots & 2 { frac { částečné} { částečné x_ {nn}}} konec {vmatrix}}}$

Herbert Westren Turnbull^[7] v roce 1948 objevil následující identitu:

${ displaystyle det (XD + (n-i) delta _ {ij}) = det (X) det (D)}$

Kombinatorický důkaz lze najít v příspěvku,^[6] další důkaz a zábavné zobecnění v příspěvku,^[5] viz také diskuse níže.

Identita Howe – Umeda – Kostant – Sahi pro antisymetrické matice

Zvážit antisymetrický matice

${ displaystyle X = { begin {vmatrix} 0 & x_ {12} & x_ {13} & cdots & x_ {1n} - x_ {12} & 0 & x_ {23} & cdots & x_ {2n} - x_ {13 } & - x_ {23} & 0 & cdots & x_ {3n} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots - x_ {1n} & - x_ {2n} & - x_ {3n} & cdots & 0 end {vmatrix}}, D = { begin {vmatrix} 0 & { frac { částečné} { částečné x_ {12}}} & { frac { částečné} { částečné x_ {13} }} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}} [6 bodů] - { frac { částečné} { částečné x_ {12}}} & 0 & { frac { částečné} { částečné x_ {23}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {2n}}} [6pt] - { frac { částečné} { částečné x_ {13 }}} & - { frac { částečné} { částečné x_ {23}}} & 0 & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {3n}}} [6pt] vdots & vdots & vdots & ddots & vdots [6pt] - { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}} & - { frac { částečné} { částečné x_ {2n}}} & - { frac { částečné} { částečné x_ {3n}}} & cdots & 0 end {vmatrix}}.}$

Pak

${ displaystyle det (XD + (n-i) delta _ {ij}) = det (X) det (D).}$

Identita Caracciolo – Sportiello – Sokal pro Maninovy ​​matice

Zvažte dvě matice M a Y přes nějaký asociativní kruh, který splňuje následující podmínku

${ displaystyle [M_ {ij}, Y_ {kl}] = - delta _ {jk} Q_ {il} ~~~~~}$

pro některé prvky Q_il. Nebo „slovy“: prvky v j-tý sloupec M dojíždět s prvky v k-tá řada Y, pokud j = k, a v tomto případě komutátor prvků M_ik a Y_kl záleží jen na i, l, ale nezávisí na k.

Předpokládat, že M je Maninova matice (nejjednodušším příkladem je matice s prvky dojíždění).

Pak pro případ čtvercové matice

${ displaystyle det (MY + Q , mathrm {diag} (n-1, n-2, tečky, 1,0)) = det (M) det (Y). ~~~~~ ~~}$

Tady Q je matice s prvky Q_ila diag (n − 1, n - 2, ..., 1, 0) znamená diagonální matici s prvky n − 1, n - 2, ..., 1, 0 na úhlopříčce.

Vidět ^[5] propozice 1,2 'vzorec (1,15) strana 4, naše Y je transponovat do jejichB.

Je zřejmé, že identita původního Cappeliho je konkrétním případem této identity. Navíc z této identity je vidět, že v původní Capelliho identitě lze uvažovat o prvcích

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x_ {ij}}} + f_ {ij} (x_ {11}, tečky, x_ {kl}, tečky)}$

pro libovolné funkce F_ij a identita bude stále pravdivá.

Identita Mukhin – Tarasov – Varchenko a Gaudinův model

Prohlášení

Zvažte matice X a D jako v Capelliho identitě, tj. s prvky ${ displaystyle x_ {ij}}$ a ${ displaystyle částečné _ {ij}}$ v poloze (ij).

Nechat z být další formální proměnná (dojíždění s X). Nechat A a B být některé matice, jejichž prvky jsou komplexní čísla.

${ displaystyle det left ({ frac { částečné} { částečné _ {z}}} - A-X { frac {1} {z-B}} D ^ {t} vpravo)}$

${ displaystyle = { det} _ {{ text {Put all}} x { text {and}} z { text {nalevo, zatímco všechny odvozeniny vpravo}}} ^ { text {vypočítat jako kdyby všichni dojížděli}}}$

${ displaystyle left ({ frac { částečné} { částečné _ {z}}} - A-X { frac {1} {z-B}} D ^ {t} vpravo)}$

Zde je první determinant chápán (jako vždy) jako sloupcový determinant matice s nekomutativními položkami. Determinant vpravo se počítá, jako by všechny prvky dojížděly, a to vše X a z vlevo, zatímco derivace vpravo. (Takový recept se nazývá a Objednávání knotu v kvantová mechanika ).

Gaudinův kvantově integrovatelný systém a Talalaevova věta

Matice

${ displaystyle L (z) = A + X { frac {1} {z-B}} D ^ {t}}$

je Laxová matice pro Gaudinův kvantově integrovatelný systém spinového řetězce. D. Talalaev vyřešil dlouhodobý problém explicitního řešení pro celou sadu zákonů zachování kvantového dojíždění pro Gaudinův model a objevil následující teorém.

Zvážit

${ displaystyle det left ({ frac { částečné} { částečné _ {z}}} - L (z) pravé) = součet _ {i = 0} ^ {n} H_ {i} ( z) left ({ frac { částečné} { částečné _ {z}}} pravé) ^ {i}.}$

Pak pro všechny i, j, z, w

${ displaystyle [H_ {i} (z), H_ {j} (w)] = 0, ~~~~~~~~~}$

tj. H_i(z) generují funkce v z pro operátory diferenciálu v X které všichni dojíždějí. Poskytují tedy zákony o zachování kvantového dojíždění pro Gaudinův model.

Permanentní, imanantní, stopy - "vyšší Capelliho identity"

Původní identita Capelli je výrokem o determinantech. Později byly nalezeny analogické identity stálí, imananti a stopy. Na základě dokumentu kombinatorického přístupu od S.G. Williamsona ^[26]byl jedním z prvních výsledků v tomto směru.

Turnbullova identita pro permanenty antisymetrických matic

Zvažte antisymetrické matice X a D s prvky X_ij a odpovídající derivace, jako v případě výše uvedené identity HUKS.

Pak

${ displaystyle mathrm {perm} (X ^ {t} D- (ni) delta _ {ij}) = mathrm {perm} _ {{ text {Put all}} x { text {nalevo , se všemi odvozeními vpravo}}} ^ { text {Vypočítat, jako by všichni dojížděli}} (X ^ {t} D).}$

Uveďme:^[6] „... je uvedeno bez důkazu na konci Turnbullova článku“. Samotní autoři sledují Turnbulla - na samém konci svého příspěvku píší:

„Protože důkaz této poslední identity je velmi podobný důkazu Turnbullova symetrického analogu (s mírným kroucením), necháváme ho jako poučné a příjemné cvičení pro čtenáře.“

Identita je hluboce analyzována v papíru.^[27]

Reference

Další čtení