Proces Cayleys Ω - Cayleys Ω process - Wikipedia

V matematice Cayleyův Ω proces, představil Arthur Cayley  (1846 ), je relativně neměnný operátor diferenciálu na obecná lineární skupina, který se používá ke konstrukci invarianty a skupinová akce.

Jako operátor částečného diferenciálu působící na funkce n² proměnné X_ij, operátor omega je dán určující

${ displaystyle Omega = { begin {vmatrix} { frac { částečné} { částečné x_ {11}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {1n}}}} vdots & ddots & vdots { frac { částečné} { částečné x_ {n1}}} & cdots & { frac { částečné} { částečné x_ {nn}}} konec {vmatrix }}.}$

Pro binární formy F v X₁, y₁ a G v X₂, y₂ operátor Ω je ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} fg} { částečné x_ {1} částečné y_ {2}}} - { frac { částečné ^ {2} fg} { částečné x_ {2} částečné y_ {1}}}}$. The r-násobný Ω proces Ω^r(F, G) ve dvou formách F a G v proměnných X a y je tedy

1. Konvertovat F do formuláře v X₁, y₁ a G do formuláře v X₂, y₂
2. Použijte operátor Ω r krát do funkce fg, to znamená, F krát G v těchto čtyřech proměnných
3. Náhradní X pro X₁ a X₂, y pro y₁ a y₂ ve výsledku

Výsledek r-násobný Ω proces Ω^r(F, G) na obou formách F a G se také nazývá r-th transvektant a je běžně psáno (F, G)^r.

Aplikace

Objeví se Cayleyův Ω proces Capelliho identita, který Weyl (1946) slouží k hledání generátorů pro invarianty různých klasických skupin působících na přírodní polynomiální algebry.

Hilbert (1890) použil Cayleyho Ω proces ve svém důkazu konečné generace prstenů invarianty obecné lineární skupiny. Jeho použití procesu Ω dává explicitní vzorec pro Operátor Reynolds speciální lineární skupiny.

K definování se používá Cayleyův Ω proces transvektanty.

Reference

• Cayley, Arthur (1846), „Na lineárních transformacích“, Matematický časopis v Cambridge a Dublinu, 1: 104–122 Přetištěno Cayley (1889), Shromážděné matematické práce, 1, Cambridge: Cambridge University press, str. 95–112
• Hilbert, David (1890), „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“, Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, doi:10.1007 / BF01208503, ISSN  0025-5831
• Howe, Rogere (1989), „Poznámky ke klasické invariantní teorii.“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 313 (2): 539–570, doi:10.1090 / S0002-9947-1989-0986027-X, ISSN  0002-9947, JSTOR  2001418, PAN  0986027
• Olver, Peter J. (1999), Klasická invariantní teorie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-55821-1
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmy v invariantní teorii, Texty a monografie v symbolickém výpočtu, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-211-82445-0, PAN  1255980
• Weyl, Hermann (1946), Klasické skupiny: jejich invarianty a reprezentace, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-05756-9, PAN  0000255, vyvoláno 03/2007/26 Zkontrolujte hodnoty data v: | accessdate = (Pomoc)