Maninova matice - Manin matrix

V matematice Maninovy ​​matice, pojmenoval podle Jurij Manin kdo je představil kolem 1987–88,^[1][2][3] jsou třídou matice s prvky nemusí komutativní prsten, které se v určitém smyslu chovají jako matice, jejichž prvky dojíždějí. Zejména existuje přirozená definice určující pro ně a většinu lineární algebra věty jako Cramerovo pravidlo, Cayley-Hamiltonova věta atd. platí pro ně. Jakákoli matice s prvky dojíždění je Maninova matice. Tyto matice mají aplikace v teorie reprezentace zejména Capelliho identita, Yangian a kvantově integrovatelné systémy.

Maninovy ​​matice jsou konkrétními příklady Maninovy ​​obecné konstrukce „nekomutativních symetrií“, které lze použít na jakoukoli algebru. Z tohoto hlediska jsou to „nekomutativní endomorfismy“ polynomiální algebry. C[X₁, ...X_n]. Vezmeme-li (q) - (super) -pomocí proměnných, dostaneme (q) - (super) -analogy Maninových matic, které úzce souvisí s kvantovými skupinami. Maninské práce byly ovlivněny kvantová skupina Teorie. Zjistil, že kvantovaná algebra funkcí Zábava_q(GL) lze definovat požadavkem, že T a T^t jsou současně matice q-Manin. V tomto smyslu je třeba zdůraznit, že matice (q) -Manin jsou definovány pouze polovina vztahů související kvantové skupiny Zábava_q(GL)a tyto vztahy jsou dostatečné pro mnoho vět o lineární algebře.

Definice

Kontext

Matice s obecnými nekomutativními prvky nepřipouštějí přirozenou konstrukci determinantu s hodnotami v základním kruhu a základní věty lineární algebry neplatí. Existuje několik modifikací teorie determinantů: Dieudonné determinant který bere hodnoty v abelianizace K.^*/[K.^*, K.^*] multiplikativní skupiny K.^* zemnicího kruhu K.; a teorie kvazideterminanty. Analogie mezi těmito determinanty a komutativními determinanty však není úplná. Na druhou stranu, vezmeme-li v úvahu určité specifické třídy matic s nekomutativními prvky, existují příklady, kde lze definovat determinant a dokázat věty lineární algebry, které jsou velmi podobné jejich komutativním analogům. Mezi příklady patří: kvantové skupiny a q-determinant; Capelliho matice a Capelliho determinant; super-matice a Berezinian.

Maninovy ​​matice je obecná a přirozená třída matic s ne nutně komutativními prvky, které připouštějí přirozenou definici determinantu a zobecnění vět o lineární algebře.

Formální definice

An n podle m matice M se záznamy M_ij přes prsten R (ne nutně komutativní) je Maninova matice, pokud dojíždí všechny prvky v daném sloupci a pokud pro všechny i,j,k,l platí, že [M_ij,M_kl] = [M_kj,M_il]. Tady [A,b] označuje (ab − ba) komutátor z A a b.^[3]

Definici lze lépe vidět z následujících vzorců: Obdélníková matice M se nazývá Maninova matice, pokud pro jakoukoli 2 × 2 submatici, skládající se z řádků i a ka sloupce j a l:

${ displaystyle { begin {pmatrix} cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & M_ {ij} & cdots & M_ {il} & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & M_ {kj} & cdots & M_ {kl} & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots end {pmatrix}} = { začít {pmatrix} cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & a & cdots & b & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots cdots & c & cdots & d & cdots cdots & cdots & cdots & cdots & cdots end {pmatrix}}}$

platí následující komutační vztahy

${ displaystyle ac = ca, ~~~ bd = db, ~~~ { text {(položky ve stejném sloupci dojíždějí)}}}$

${ displaystyle ad-da = cb-bc, ~~~ { text {(relace křížové komutace)}}.}$

Všudypřítomnost 2 × 2 Maninových matic

Níže jsou uvedeny některé příklady vzhledu Maninovy ​​vlastnosti v různých velmi jednoduchých a přirozených otázkách týkajících se matic 2 × 2. Obecná myšlenka je následující: zvažte známá fakta o lineární algebře a podívejte se, jak uvolnit předpoklad komutativity pro maticové prvky tak, aby výsledky zůstaly pravdivé. Odpověď je: kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.^[3] Důkazem všech pozorování je přímá 1řádková kontrola.

Zvažte matici 2 × 2${ displaystyle M = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}.}$

Pozorování 1. Koakce v letadle.
Zvažte polynomiální kruh C[X₁, X₂], a předpokládejme, že prvky matice A, b, C, d dojíždět s X₁, X₂.Definovat y₁, y₂ podle

${ displaystyle { begin {pmatrix} y_ {1} y_ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x_ { 1} x_ {2} end {pmatrix}}.}$

Pak y₁, y₂ dojíždět mezi sebou kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.

Důkaz:

${ displaystyle [y_ {1}, y_ {2}] = [ax_ {1} + bx_ {2}, cx_ {1} + dx_ {2}] = [a, c] x_ {1} ^ {2} + [b, d] x_ {2} ^ {2} + ([a, d] + [b, c]) x_ {1} x_ {2}.}$

Když to požadujeme na nulu, dostaneme Maninovy ​​vztahy.

Pozorování 2. Koakce na superrovině.
Zvažte Grassmannovu algebru C[ψ₁, ψ₂], a předpokládejme, že prvky matice A, b, C, d dojíždět s ψ₁, ψ₂.Definovat φ₁, φ₂ podle

${ displaystyle { begin {pmatrix} phi _ {1}, ~ phi _ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} psi _ {1}, ~ psi _ {2} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}.}$

Pak φ₁, φ₂ jsou Grassmann proměnné (tj. anticommute mezi sebou a φ_i²=0) kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.

Pozorování 1,2 platí obecně n × m Maninovy ​​matice. Ukazují originální Maninův přístup, jak je popsáno níže (jeden by měl být považován za obvyklé matice jako homomorfismy polynomiálních kruhů, zatímco Maninovy ​​matice jsou obecnější „nekomutativní homomorfismy“). Dávejte pozor, aby generátory polynomiální algebry byly prezentovány jako sloupcové vektory, zatímco Grassmannova algebra jako řádkové vektory, totéž lze zobecnit na libovolnou dvojici Koszulových duálních algeber a přidružených obecných Maninových matic.

Pozorování 3. Cramerovo pravidlo.Inverzní matice je dána standardním vzorcem

${ displaystyle M ^ {- 1} = { frac {1} {ad-cb}} { begin {pmatrix} d & -b - c & a end {pmatrix}}}$

kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.

Důkaz:

${ displaystyle { begin {pmatrix} d & -b - c & a end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} da-bc & db-bd - ca + ac & -cb + ad end {pmatrix}} = { text {jen a jen}} M { text {je Maninova matice}} = { begin {pmatrix} ad-cb & 0 0 & ad-cb end {pmatrix}}.}$

Pozorování 4. Cayley-Hamiltonova věta.Rovnost

${ displaystyle M ^ {2} - (a + d) M + (ad-cb) 1_ {2 krát 2} = 0}$

drží kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.

Pozorování 5. Multiplikativita determinantů.

det^sloupec(MN) = det^sloupec(M) det (N) platí pro všechny matice se složitou hodnotou N kdyby a jen kdyby M je Maninova matice.

Kde det^sloupec matice 2 × 2 je definována jako inzerát − cb, tj. prvky z prvního sloupce (A,C) je na prvním místě v produktech.

Koncepční definice. Koncept „nekomutativních symetrií“

Podle Yu. Maninovu ideologii lze spojit s jakoukoli algebrou určitou bialgebru jejích „nekomutativních symetrií (tj. Endomorfismů)“. Obecněji k dvojici algeber A, B jeden může spojovat jeho algebru "nekomutativních homomorfismů" mezi A a BTyto myšlenky přirozeně souvisejí s myšlenkami nekomutativní geometrie Maninské matice zde uvažované jsou příklady této obecné konstrukce aplikované na polynomiální algebry C[X₁, ...X_n].

Sféra geometrie se týká prostorů, zatímco oblast algebry, respektive algebry, můstkem mezi těmito dvěma oblastmi je ke každému prostoru spojena algebra funkcí na něm, což je komutativní algebra. Mnoho konceptů geometrie lze v jazyce respektovat algeber a naopak.

Myšlenka symetrie G prostoru PROTI lze považovat za akci G na PROTI, tj. existence mapy G × V -> VTuto myšlenku lze v algebraickém jazyce přeložit jako existenci homomorfismu Zábava (G)${ displaystyle otimes}$ Zábava (V) <- Zábava (V) (Jak obvykle mapy mezi funkcemi a mezerami jdou v opačných směrech). Mapy z prostoru do sebe lze také skládat (tvoří poloskupinu), tedy dvojitý objekt Zábava (G) je bialgebra.

Nakonec je možné vzít tyto dvě vlastnosti jako základní a poskytnout čistě algebraickou definici „symetrie“, kterou lze použít na libovolnou algebru (nemusí být nutně komutativní):

Definice. Algebra nekomutativních symetrií (endomorfismů) některé algebry A je bialgebra Konec (A), takže existují homomorfismy zvané součinnost:

${ displaystyle coaction: ~~ End (A) otimes A leftarrow A,}$

který je kompatibilní s komultiplikací přirozeným způsobem. Konečně Konec (A) je povinen uspokojit pouze vztahy, které pocházejí z výše uvedeného, ​​žádné jiné vztahy, tj. je to univerzální koaliční bialgebra pro A.

Spolupráce by měla být považována za dvojí akci G × V -> V, proto se tomu říká coakce. Kompatibilita kombinované mapy s koakční mapou je dvojí g (h v) = (gh) v. Tuto kompatibilitu lze snadno napsat.

Poněkud překvapivým faktem je, že tato konstrukce se vztahovala na polynomiální algebru C[X₁, ..., X_n] neposkytne obvyklou algebru matic Rohož_n (přesněji algebra funkce na něm), ale mnohem větší nekomutativní algebra Maninových matic (přesněji algebra generovaná prvky M_ijPřesněji platí následující jednoduché návrhy.

Tvrzení. Zvažte polynomiální algebru Pol = C.[X₁, ..., X_n] a matice M s prvky v nějaké algebře EndPol.Elementy ${ displaystyle y_ {i} = součet _ {k} M_ {ik} otimes x_ {k} v EndPol otimes Pol}$ dojíždějí mezi sebou právě tehdy M je Maninova matice.

Důsledek. Mapa ${ displaystyle x_ {i} mapsto y_ {i} = součet _ {k} M_ {ik} krát x_ {k}}$ je homomorfismus z Pol na EndPol ${ displaystyle otimes}$ Pol. Definuje součinnost.

Abychom zajistili homomorfismus mapy, musíme zkontrolovat pouze to y_i dojíždět mezi sebou.

Tvrzení. Definujte mapu multiplikace podle vzorce ${ displaystyle Delta (M_ {ij}) = součet _ {l} M_ {il} další M_ {lj}}$.Tak to je koassociativní a je kompatibilní s koakcí na polynomiální algebře definované v předchozím návrhu.

Dva výše uvedené výroky naznačují, že algebra generovaná prvky Maninovy ​​matice je bialgebra spolupracující na polynomiální algebře. Pokud neukládáte další vztahy, dostanete algebru nekomutativních endomorfismů polynomiální algebry.

Vlastnosti

Základní příklady a vlastnosti

• Jakákoli matice s prvky dojíždění je Maninova matice.
• Jakákoli matice, jejíž prvky z různých řádků dojíždějí mezi sebou (takové matice se někdy nazývají Cartier -Foata matice) je Maninova matice.
• Jakákoli submatice Maninovy ​​matice je Maninova matice.
• Jeden může vyměňovat řádky a sloupce v Maninově matici, výsledkem bude také Maninova matice. Lze přidat řádek nebo sloupec vynásobený centrálním prvkem do jiného řádku nebo sloupce a výsledky budou opět Manin matrix. Tj. lze provádět elementární transformace s omezením, že multiplikátor je ústřední.
• Zvažte dvě Maninovy ​​matice M,N takové, že dojíždí všechny jejich prvky, pak součet M + N a produkt MN budou také Maninovy ​​matice.
• Pokud matice M a současně transponovat matici M^t jsou Maninovy ​​matice, pak všechny prvky M dojíždět mezi sebou.
• No-go fakta: M^k není Maninova matice obecně (kromě k= -1 níže); ani det (M), ani Tr (M) jsou centrální v algebře generované M_ij obecně (v tomto ohledu se Maninovy ​​matice liší od kvantových skupin); det (E^M) ≠ E^{Tr (M)}; log (det (M)) ≠ Tr (log (M)).
• Zvažte polynomiální algebru C[X_ij] a označit ${ displaystyle částečné _ {ij}}$ operátory diferenciace s ohledem na

X_ij, tvoří matice XD s odpovídajícími prvky. Zvažte také proměnnou z a odpovídající operátor diferenciálu ${ displaystyle částečné _ {z}}$. V následující části je uveden příklad Maninovy ​​matice, která je důležitá pro Identity Capelli:

${ displaystyle { begin {pmatrix} zId & D ^ {t} X & částečné _ {z} Id end {pmatrix}}.}$

Jeden může nahradit X, D libovolnými maticemi, jejichž prvky splňují vztah: X_ij D_kl - D_kl X_ij = δ_ikδ_klstejně z a jeho derivát.

Výpočet determinantu této matice dvěma způsoby: přímý a prostřednictvím Schurova vzorce komplementu v podstatě dává Capelliho identita a jeho zobecnění (viz část 4.3.1,^[4] na základě^[5]).

Determinant = sloupcový determinant

Determinant Maninovy ​​matice lze definovat standardním vzorcem s předpisem, že prvky z prvních sloupců jsou v produktu na prvním místě.

Věty o lineární algebře

Mnoho lineární algebra příkazy platí pro Maninovy ​​matice, i když R není komutativní. Zejména určující lze definovat standardním způsobem pomocí obměny a splňuje a Cramerovo pravidlo.^[3] Věta MacMahon Master platí pro Maninovy ​​matice a vlastně pro jejich zobecnění (super), (q) atd. analogy.

Tvrzení. Cramerovo pravidlo (Vidět^[2] nebo oddíl 4.1.^[3]) Inverzní k Maninově matici M lze definovat standardním vzorcem:${ displaystyle M ^ {- 1} = { frac {1} {{ det} ^ {col} (M)}} M ^ {adj},}$kde M^adj je adjugovaná matice dané standardním vzorcem - jeho (i, j) -tý prvek je sloupcový determinant matice (n - 1) × (n - 1), který je výsledkem smazání řádku j a sloupec i M a násobení (-1)^{i + j}.

Jediným rozdílem komutativního případu je, že je třeba věnovat pozornost tomu, že všechny determinanty se počítají jako sloupcové determinanty a také adjugovat maticové stojany vpravo, zatímco komutativní inverzní k determinantu M stojí nalevo, tj. kvůli nekomutativitě je pořadí důležité.

Tvrzení. Inverzní je také Manin. (Viz část 4.3.^[3]) Předpokládejme oboustrannou inverzi k Maninově matici M existuje, pak to bude také Maninova matice. det (M.⁻¹) = (det (M))⁻¹.

Tento návrh je poněkud netriviální, implikuje výsledek Enriqueze-Rubtsova a Babelona-Talona v teorii kvantově integrovatelných systémů (viz část 4.2.1^[4]).

Tvrzení. Cayley-Hamiltonova věta (Viz část 7.1.^[3])

${ displaystyle det ^ {column} (tM) | _ {t = M} ^ {right ~ substitute} = 0, ~~ ie ~~ sum _ {i = 0 ... n} (- 1) ^ { i} sigma _ {i} M ^ {ni} = 0.}$

Kde σ_i jsou koeficienty charakteristického polynomu${ Displaystyle det ^ {column} (t-M) = součet _ {i = 0 ... n} (- 1) ^ {i} sigma _ {i} t ^ {n-i}}$.

Tvrzení. Newtonovy identity (Viz část 7.2.1.^[3])${ displaystyle forall k geq 0: - (- 1) ^ {k} k sigma _ {k} = součet _ {i = 0 ... k-1} sigma _ {i} Tr (M ^ {ki})}$

Kde σ_i jsou koeficienty charakteristického polynomu${ Displaystyle det ^ {column} (t-M) = součet _ {i = 0 ... n} (- 1) ^ {i} sigma _ {i} t ^ {n-i}}$a podle konvence σ_i= 0, pro i> n, kde n je velikost matice M.

Tvrzení. Určující prostřednictvím Schurův doplněk(Viz část 5.2.^[3]) Předpokládejme, že bloková matice níže je Maninova matice a oboustranné inverze M⁻¹, A⁻¹, D⁻¹ tedy existují

${ displaystyle det ^ {column} { begin {pmatrix} A&B C & d end {pmatrix}} = det ^ {column} (A) det ^ {column} (D-CA ^ {- 1} B ) = det ^ {column} (D) det ^ {column} (A-BD ^ {- 1} C).}$

Schur navíc doplňuje ${ displaystyle (D-CA ^ {- 1} B), (A-BD ^ {- 1} C)}$jsou Maninovy ​​matice.

Tvrzení. Věta MacMahon Master

^[6]

Příklady a aplikace

Capelliho matice jako Maninova matice a střed U (gl_n)

The Identita Capelli z 19. století uvádí jeden z prvních příkladů determinant pro matice s nedojíždějícími prvky. Maninovy ​​matice dávají nový pohled na tento klasický předmět. Tento příklad souvisí s Lieovou algebrou gl_n a slouží jako prototyp složitějších aplikací pro smyčkovou Lieovu algebru gl_n, Jangovské a integrovatelné systémy.

Vzít E_ij být matice s 1 na pozici (já, j) a nuly všude jinde. Vytvořte matici E s prvky E_ij v poloze (já, j). Je to matice s prvky v kruhu matic Rohož_n. Není to Maninova matice, existují však modifikace, které ji transformují na Maninovu matici, jak je popsáno níže.

Představte formální proměnnou z které dojíždějí s E_ij, resp d / dz je operátor diferenciace v z. Jediná věc, která bude použita, že komutátor těchto operátorů se rovná 1.

Pozorování. Matice ${ displaystyle d / dzId-E / z}$ je Maninova matice.

Tady Id je matice identity.

Příklad 2 × 2:${ displaystyle M = { begin {pmatrix} d / dz-E_ {11} / z & -E_ {12} / z - E_ {21} / z & d / z-E_ {22} / z end {pmatrix }}.}$

Je poučné zkontrolovat požadavek komutativity sloupce:${ displaystyle [d / dz-E_ {11} / z, -E_ {21} / z] = [d / dz, -E_ {21} / z] + [- E_ {11} / z, -E_ { 21} / z] = E_ {21} / z ^ {2} -E_ {21} / z ^ {2} = 0}$.

Pozorování. Matice ${ displaystyle exp (-d / dz) (Id + E / z)}$ je Maninova matice.

Jediná skutečnost požadovaná od E_ij pro tato pozorování je to, že uspokojují komutační vztahy [E_ij, E_kl] = 8_jkE_il - δ_liE_kj. Pozorování tedy platí, pokud E_ij jsou generátory univerzální obalová algebra of Lie algebra gl_n, nebo jeho obrázky v libovolné reprezentaci. Například lze pořídit

${ displaystyle E_ {ij} = x_ {i} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}}; ~~~~~ E_ {ij} = součet _ {a = 1} ^ {n } x_ {ia} { frac { částečné} { částečné x_ {ja}}}; ~~~~ E_ {ij} = psi _ {i} { frac { částečné} { částečné psi _ {j}}}.}$

Tady jsou Grassmann proměnné.

Pozorování. ${ displaystyle z ^ {n-1} det ^ {col} (d / dz-E / z) = det ^ {col} (zd / dz-E-diag (n-1, n-2, ... , 1,0))}$

Na pravé straně této rovnosti poznáme Capelliho determinant (nebo přesněji Capelliho charakteristický polynom), zatímco na levé straně je Maninova matice s jejím přirozeným determinantem. Maninské matice tedy dávají nový pohled na Capelliho determinant. Identitu Capelli a její zobecnění lze navíc odvodit technikami Maninových matic. Poskytuje také snadný způsob, jak dokázat, že tento výraz patří do středu univerzální obalová algebra U (gl_n), což zdaleka není triviální. Opravdu stačí zkontrolovat invariantnost s ohledem na akci skupiny GL_n konjugací. ${ displaystyle det ^ {col} (d / dz-gEg ^ {- 1} / z) = det ^ {col} (g (d / dz-E / z) g ^ {- 1}) = det (g ) det ^ {col} (d / dz-E / z) det (g ^ {- 1}) = det ^ {col} (d / dz-E / z)}$. Jediná vlastnost použitá zde je tedy ${ displaystyle det (gM) = det (Mg) = det (M) det (g)}$ což platí pro jakoukoli Maninovu matici M a libovolnou matici G s centrálními (např. skalárními) prvky.

Smyčková algebra pro gl_n, Langlandsova korespondence a Maninova matice

Matice Yangianského typu jako Maninovy ​​matice

Pozorování.Nechat T (z) být generující maticí Yangian pro gl_n.Pak matice exp (-d / dz) T (z) je Maninova matice.

Kvantový determinant pro Yangian lze definovat jako exp (n d / dz)det^sloupec(exp (-d / dz) T (z)). Věnujte tomu pozornost exp (-d / dz) lze zrušit, takže výraz na něm nezávisí. Takže determinant v jangovské teorii má přirozenou interpretaci prostřednictvím Maninových matic.

Kvůli kvantově integrovatelným systémům je důležité konstruovat komutativní subalgebry v Yangian. Je dobře známo, že v klasických mezních výrazech Tr (T.^k(z)) generovat Poissonovu komutativní subalgebru. Správná kvantizace těchto výrazů byla poprvé navržena pomocí Newtonových identit pro Maninovy ​​matice:

Tvrzení. Koeficienty Tr (T (z + k-1) T (z + k-2) ... T (z)) pro všechny k dojíždět mezi sebou. Generují komutativní subalgebru v Yangian. Stejná subalgebra jako koeficienty charakteristické polynomické det^sloupec(1-exp (-d / dz) T (z)) .

(Subalgebra se někdy nazývá Bethe subalgebra Bethe ansatz je metoda k vyhledání jejích společných vlastních párů.)

Další otázky

Dějiny

Manin navrhl obecnou konstrukci „nekomutativních symetrií“ v,^[1]konkrétní případ, který se nazývá Maninovy ​​matice, je popsán v,^[2] kde byly nastíněny některé základní vlastnosti. Hlavní motivací těchto prací bylo poskytnout další pohled na kvantové skupiny. Kvantové matice Zábava_q(GL_n) lze definovat jako takové matice, které T a současně T^t jsou q-Maninovy ​​matice (tj. nejsou komutativní symetrie q-dojíždějících polynomů X_i X_j = q x_j X_iPo původních Maninových pracích bylo do roku 2003 na Maninových maticích jen několik článků, ale kolem a některé po tomto datu se Maninské matice objevily v několika nepříliš souvisejících oblastech:^[6] získal jistou nekomutativní generalizaci hlavní identity MacMahona, která byla použita v teorii uzlů; aplikace pro kvantově integrovatelné systémy, Lie algebry byly nalezeny v;^[4] v roce se objevily zevšeobecnění identity Capelli zahrnující Maninovy ​​matice.^[7]Pokyny navržené v těchto dokumentech byly dále rozpracovány.

Reference

• V. Rubtsov; D. Talalaev; A. Silantiev (2009). „Manin Matrices, Quantum Eliptic Commutative Families and Characteristic Polynomial of Eliptic Gaudin Model“. SIGMA. 5: 110. arXiv:0908.4064. Bibcode:2009 SIGMA ... 5..110R. doi:10.3842 / SIGMA.2009.110. Zbl  1190.37079.
• Suemi Rodriguez-Romo, Hrabě Taft (2002). „Některé kvantově podobné Hopfovy algebry, které zůstávají nekomutativní, když q = 1“. Lett. Matematika. Phys. 61: 41–50. doi:10.1023 / A: 1020221319846.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Suemi Rodriguez-Romo, Hrabě Taft (2005). "Levá kvantová skupina". J. Algebra. 286: 154–160. doi:10.1016 / j.jalgebra.2005.01.002.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• S. Wang (1998). "Skupiny kvantové symetrie konečných prostorů". Comm. Matematika. Phys. 195 (1): 195–211. arXiv:matematika / 9807091. Bibcode:1998CMaPh.195..195W. doi:10,1007 / s002200050385.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Teodor Banica, Julien Bichon, Benoit Collins (2007). Msgstr "Nekomutativní harmonická analýza s aplikacemi pravděpodobnosti". Kvantové permutační skupiny: průzkum. Banach Center Publ. 78. Varšava. str. 13–34. arXiv:matematika / 0612724. Bibcode:Matematika 2006 ..... 12724B.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Matjaz Konvalinka (2007). „Zobecnění základní transformace Foata a její aplikace na pravou kvantovou algebru“. arXiv:matematika / 0703203. Bibcode:2007math ...... 3203K. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
• Konvalinka, Matjaž (2007). „Nezávislá rozhodující identita Sylvestera“. Elektron. J. Combin. 14 (1). # R42. arXiv:matematika / 0703213. Bibcode:Matematika 2007 ... 3213 tis. ISSN  1077-8926.