Teorie min-max Almgren – Pitts - Almgren–Pitts min-max theory - Wikipedia

v matematika, Teorie min-max Almgren – Pitts (pojmenoval podle Frederick J. Almgren, Jr. a jeho student Jon T. Pitts ) je obdobou Morseova teorie pro hyperplochy.

Teorie začala snahou o zobecnění George David Birkhoff Metoda pro konstrukci jednoduchých uzavřených geodetika na kouli, umožnit stavbu vložený minimální povrchy libovolně 3 rozdělovače.[1]

To hrálo roli v řešení řady domněnky v geometrie a topologie nalezli samotní Almgren a Pitts a také další matematici, jako např Michail Gromov, Richard Schoen, Shing-Tung Yau, Fernando Codá Marques, André Neves, Ian Agol, mezi ostatními.[2][3][4][5][6][7][8][9][10]

Popis a základní pojmy

Tato teorie umožňuje konstrukci vložený minimální hyperplochy prostřednictvím variačních metod.[11]

Ve své disertační práci Almgren prokázal, že m homotopická skupina prostoru plochých k-dimenzionálních cyklů na uzavřeném Riemannovo potrubí je izomorfní s (m + k) -dimenzionální homologie skupina M. Tento výsledek je zevšeobecněním Dold – Thomova věta, což lze považovat za případ k = 0 Almgrenovy věty. Existence netriviálních tříd homotopy v prostoru cyklů naznačuje možnost konstrukce minimálních dílčích potrubí jako sedlových bodů objemové funkce, jako v Morseova teorie. Ve své další práci Almgren použil tyto myšlenky k prokázání, že pro každé k = 1, ..., n-1 obsahuje uzavřený n-dimenzionální Riemannovo potrubí stacionární integrální k-dimenzionální varifold, zobecnění minimálního podmanifoldu, který může mít singularity. Allard ukázal, že takto zobecněné minimální dílčí potrubí jsou pravidelné v otevřené a husté podskupině.

V osmdesátých letech dokázal Almgrenův student Jon Pitts výrazně vylepšit teorii pravidelnosti minimálních podmanifoldů získaných Almgrenem v případě codimension 1. Ukázal, že když je rozměr n potrubí v rozmezí 3 až 6, minimální hyperplocha získaná pomocí Almgrenova min -max metoda je hladká. Klíčovou novou myšlenkou v důkazu byla představa 1 / j - téměř minimalizující varifolds. Richard Schoen a Leon Simon rozšířil tento výsledek na vyšší dimenze. Přesněji řečeno, ukázali, že každý n-dimenzionální Riemannovo potrubí obsahuje uzavřenou minimální hyperplochu konstruovanou metodou min-max, která je hladká od uzavřené sady dimenze n-8.

Když vezmeme v úvahu vyšší rodiny parametrů kódové dimenze 1 cykly, lze najít výrazné minimální hyperplochy. Takovou konstrukci používal Fernando Marques a Andre Neves v jejich důkazu o Willmore domněnka.[12][13]

Viz také

Reference

  1. ^ Tobias studený a Camillo De Lellis: "Min-max konstrukce minimálních povrchů ", Průzkumy v diferenciální geometrii
  2. ^ Giaquinta, Mariano; Mucci, Domenico (2006). „Energie BV map do potrubí: výsledky relaxace a hustoty“. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Sér. 5, 5. str. 483–548. Archivovány od originál dne 10.06.2015. Citováno 2015-05-02.
  3. ^ Helge Holden, Ragni Piene - Abelova cena 2008–2012, s. 1 203.
  4. ^ Robert Osserman - Průzkum minimálních povrchů, str. 160.
  5. ^ „Content Online - CDM 2013 Article 1“. Intlpress.com. Citováno 2015-05-31.
  6. ^ Fernando C. Marques; André Neves. „Aplikace Almgren-Pittsovy teorie min-max“ (PDF). F.imperial.ac.uk. Citováno 2015-05-31.
  7. ^ Daniel Ketover. "Degenerace sekvencí Min-Max ve třech rozdělovačích". arXiv:1312.2666.
  8. ^ Xin Zhou. "Min-max hyperplocha v potrubí pozitivního Ricciho zakřivení" (PDF). Arvix.org. Citováno 2015-05-31.
  9. ^ Stephane Sabourau. "Objem minimálních hyperplošin v potrubí s nezáporným Ricciho zakřivením" (PDF). Arvix.org. Citováno 2015-05-31.
  10. ^ Davi Maximo; Ivaldo Nunes; Graham Smith. "Volná hranice minimální mezikruží v konvexních třech varietách". arXiv:1312.5392.
  11. ^ Zhou Xin (2015). "Min-max minimální hyperplocha v s a ". J. Diferenciální Geom. 100 (1): 129–160. doi:10,4310 / jdg / 1427202766.
  12. ^ https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF02922665.pdf
  13. ^ Marques, Fernando & Neves, André. (2020). Aplikace metod Min – Max na geometrii. 10.1007 / 978-3-030-53725-8_2.

Další čtení