Finále (matematika) - Cofinal (mathematics)

v matematika, nechť A být set a nechat ≤ být binární relace na A. Pak podmnožina B ⊆ A se říká, že je konečný nebo časté[1] v A pokud splňuje následující podmínku:

Pro každého A ∈ A, existují nějaké b ∈ B takhle A ≤ b.

Volá se podmnožina, která není častá zřídka.[1] Tato definice se nejčastěji používá, když A je částečně objednaná sada nebo řízená sada podle vztahu ≤.

Konečné podmnožiny jsou velmi důležité v teorii řízených množin a sítě, kde „finální podsíť „Je vhodné zobecnění„subsekvence “. Jsou také důležité v teorie objednávek, včetně teorie základní čísla, kde je to možné mohutnost kofinální podmnožiny A se označuje jako spolufinancování z A.

Podmnožina B ⊆ A se říká, že je coinitial (nebo hustý ve smyslu nutit ) pokud splňuje následující podmínku:

Pro každého A ∈ A, existují nějaké b ∈ Btakhle b ≤ A.

To je objednávkově teoretický duální k pojmu podmnožina cofinálu.

Všimněte si, že kofinální a coinitiální podmnožiny jsou oba husté ve smyslu vhodných (vpravo nebo vlevo) topologie objednávky.

Vlastnosti

Kofinální vztah přes částečně uspořádané množiny ("posety ") je reflexní: každá poseta je sama o sobě konečná. Je to také tranzitivní: pokud B je kofinální podmnožina posety A, a C je kofinální podmnožinou B (s částečným objednáním A aplikován na B), pak C je také kofinální podmnožinou A.

U částečně objednané sady s maximální prvky, každá podmnožina finále musí obsahovat vše maximální prvky, jinak by maximální prvek, který není v podmnožině, selhal menší nebo rovno jakýkoli prvek podmnožiny, který porušuje definici cofinálu. U částečně objednané sady s a největší prvek, podmnožina je cofinální právě tehdy, pokud obsahuje ten největší prvek (toto následuje, protože největší prvek je nutně maximální prvek). Částečně uspořádané množiny bez největšího prvku nebo maximálních prvků připouštějí nesouvislé konečné podmnožiny. Například sudý a lichý přirozená čísla tvoří disjunktní kofinální podmnožiny množiny všech přirozených čísel.

Pokud je částečně objednaná sada A připouští a úplně objednané cofinal podmnožinu, pak můžeme najít podmnožinu B to je dobře objednané a cofinál v A.

Li (A, ≤) je řízená sada a pokud B ⊆ A je kofinální podmnožinou A pak (B, ≤) je také řízená sada.[1]

Příklady a dostatečné podmínky

Jakákoli nadmnožina kofinálových podmnožin je sama o sobě kofinální.[1] Li (A, ≤) je předobjednaná sada a pokud nějaké spojení (jedné nebo více) konečně mnoha podmnožin je konečný, pak alespoň jeden z množiny je konečný.[1]

Konečná sada podmnožin

Je uveden konkrétní, ale důležitý případ, pokud A je podmnožinou souboru napájecí sada P(E) nějaké sady E, seřazeno obráceným zahrnutím (⊇). Vzhledem k tomuto objednání Apodmnožina B ⊆ A je v A pokud pro každého A ∈ A tady je b ∈ Btakhle A ⊇ b.

Například nechte E být skupina a nechat A být množinou normální podskupiny konečný index. The nekonečné dokončení z E je definován jako inverzní limit z inverzní systém konečných kvocientů E (které jsou parametrizovány sadou A). V této situaci každá podmnožina cofinálu A je dostačující ke konstrukci a popisu nekonečného dokončení E.

Související pojmy

A mapa F : X → A mezi dvěma směrovanými soubory se říká, že jsou finále[2] pokud rozsah F(X) z f je podmnožina cofinálu A.

Viz také

Reference

  1. ^ A b C d E Schechter 1996 158, 165.
  2. ^ Bredon, Glen (1993). Topologie a geometrie. Springer. str. 16.