Stacionární sada - Stationary set

v matematika konkrétně teorie množin a teorie modelů, a stacionární souprava je soubor to není příliš malé v tom smyslu, že protíná všechny klubové sady, a je analogický se sadou nenulové míry v teorie míry. Existují nejméně tři úzce související pojmy stacionární množiny, podle toho, zda se díváme na podmnožiny souboru pořadové číslo nebo podmnožiny něčeho z daného mohutnost nebo výkonová sada.

Klasická představa

Li ${ displaystyle kappa}$ je kardinál nespočet spolufinancování, ${ displaystyle S subseteq kappa,}$ a ${ displaystyle S}$ protíná se každý klubová sada v ${ displaystyle kappa,}$ pak ${ displaystyle S}$ se nazývá a stacionární souprava.^[1] Pokud sada není stacionární, nazývá se a tenká sada. Tento pojem by neměl být zaměňován s pojmem a tenká množina v teorii čísel.

Li ${ displaystyle S}$ je stacionární souprava a ${ displaystyle C}$ je klubová sada, pak jejich průnik ${ displaystyle S cap C}$ je také stacionární. Je to proto, že pokud ${ displaystyle D}$ je tedy jakýkoli klubový set ${ displaystyle C cap D}$ je klubová sada ${ displaystyle (S cap C) cap D = S cap (C cap D)}$ není prázdný. Proto, ${ displaystyle (S cap C)}$ musí být stacionární.

Viz také: Fodorovo lemma

Omezení na nespočetnou kofinalitu má zabránit maličkostem: Předpokládejme ${ displaystyle kappa}$ má spočetnou spoluúčast. Pak ${ displaystyle S subseteq kappa}$ stojí v ${ displaystyle kappa}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle kappa setminus S}$ je ohraničen v ${ displaystyle kappa}$. Zejména pokud spolufinancování z ${ displaystyle kappa}$ je ${ displaystyle omega = aleph _ {0}}$, pak jakékoli dvě stacionární podmnožiny ${ displaystyle kappa}$ mít stacionární křižovatku.

To již neplatí, pokud je spolufinancování z ${ displaystyle kappa}$ je nepočítatelné. Ve skutečnosti předpokládejme ${ displaystyle kappa}$ je pravidelný a ${ displaystyle S subseteq kappa}$ je stacionární. Pak ${ displaystyle S}$ lze rozdělit na ${ displaystyle kappa}$ mnoho disjunktních stacionárních sad. Tento výsledek je způsoben Solovay. Li ${ displaystyle kappa}$ je nástupce kardinál, tento výsledek je způsoben Ulam a je snadno zobrazen pomocí toho, co se nazývá Ulamova matice.

H. Friedman ukázal, že pro každého počitatelného následníka pořadové číslo ${ displaystyle beta}$, každá stacionární podmnožina ${ displaystyle omega _ {1}}$ obsahuje uzavřenou podmnožinu typu objednávky ${ displaystyle beta}$.

Jechova představa

Existuje také pojem stacionární podmnožiny ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$, pro ${ displaystyle lambda}$ kardinál a ${ displaystyle X}$ soubor takový, že ${ displaystyle | X | geq lambda}$, kde ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$ je sada podmnožin ${ displaystyle X}$ mohutnosti ${ displaystyle lambda}$: ${ displaystyle [X] ^ { lambda} = {Y subseteq X: | Y | = lambda }}$. Tato představa je způsobena Thomas Jech. Jako dříve, ${ displaystyle S subseteq [X] ^ { lambda}}$ je stacionární, pokud a pouze tehdy, pokud se setká s každým klubem, kde je podmnožinou klubu ${ displaystyle [X] ^ { lambda}}$ je množina neomezená pod ${ displaystyle subseteq}$ a uzavřeny pod svazkem řetězců o délce maximálně ${ displaystyle lambda}$. Tyto pojmy jsou obecně odlišné, i když pro ${ displaystyle X = omega _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda = aleph _ {0}}$ shodují se v tom smyslu ${ displaystyle S subseteq [ omega _ {1}] ^ { omega}}$ je stacionární právě tehdy ${ displaystyle S cap omega _ {1}}$ stojí v ${ displaystyle omega _ {1}}$.

Pro tuto představu platí i příslušná verze Fodorova lemmatu.

Zobecněná představa

Existuje ještě třetí pojem, model teoretické povahy a někdy označovaný jako zobecněný stacionárnost. Tato představa je pravděpodobně způsobena Magidor, Předák a Shelah a také jej prominentně využíval Woodin.

Tak teď ${ displaystyle X}$ být neprázdnou sadou. Sada ${ displaystyle C subseteq { mathcal {P}} (X)}$ je klub (uzavřený a neomezený), právě když existuje funkce ${ displaystyle F: [X] ^ {< omega} až X}$ takhle ${ displaystyle C = {z: F [[z] ^ {< omega}] subseteq z }}$. Tady, ${ displaystyle [y] ^ {< omega}}$ je sbírka konečných podskupin ${ displaystyle y}$.

${ displaystyle S subseteq { mathcal {P}} (X)}$ stojí v ${ displaystyle { mathcal {P}} (X)}$ právě když splňuje všechny podskupiny klubů ${ displaystyle { mathcal {P}} (X)}$.

Chcete-li vidět souvislost s teorií modelů, všimněte si, že pokud ${ displaystyle M}$ je struktura s vesmír ${ displaystyle X}$ v počítatelném jazyce a ${ displaystyle F}$ je Funkce Skolem pro ${ displaystyle M}$, pak stacionární ${ displaystyle S}$ musí obsahovat základní podstrukturu ${ displaystyle M}$. Ve skutečnosti, ${ displaystyle S subseteq { mathcal {P}} (X)}$ je stacionární, právě když pro jakoukoli takovou strukturu ${ displaystyle M}$ existuje základní substruktura ${ displaystyle M}$ kterému patří ${ displaystyle S}$.

Reference

• Foreman, Matthew (2002) Stacionární sady, Changova domněnka a teorie oddílů, v Teorii množin (Hajnalská konference) DIMACS Ser. Diskrétní matematika. Teoretická. Comp. Sci., 58 let, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI. str. 73–94. Soubor na [1]
• Friedman, Harvey (1974). „Na uzavřených sadách řadových čísel“. Proc. Dopoledne. Matematika. Soc. 43: 190–192. doi:10.2307/2039353. Zbl  0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Teorie množin. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.

externí odkazy

• "Stacionární sada". PlanetMath.