Zobecněný produkt Whitehead - Generalised Whitehead product
The Produkt Whitehead je matematická konstrukce zavedená v Whitehead (1941). Byl to užitečný nástroj při určování vlastností prostorů. Matematická představa o prostoru zahrnuje každý tvar, který existuje v našem trojrozměrném světě, jako jsou křivky, povrchy a objemné postavy. Protože prostory jsou často prezentovány vzorci, obvykle není možné vizuálně určit jejich geometrické vlastnosti. Některé z těchto vlastností jsou propojenost (je prostor v jednom nebo několika kusech), počet otvorů v prostoru, uzlovost prostoru atd. Prostory jsou poté studovány přiřazením algebraických konstrukcí. Je to podobné jako na střední škole analytická geometrie přičemž určitým křivkám v rovině (geometrické objekty) jsou přiřazeny rovnice (algebraické konstrukce). Nejběžnější algebraické konstrukce jsou skupiny. Jedná se o sady takové, že libovolné dva členy sady lze kombinovat a získat tak třetího člena sady (s výhradou určitých omezení). v teorie homotopy, jeden přiřadí skupinu každému prostoru X a kladné celé číslo p zvané pth homotopická skupina z X. Tyto skupiny byly rozsáhle studovány a poskytují informace o vlastnostech prostoru X. Mezi těmito skupinami pak existují operace (produkt Whitehead), které poskytují další informace o prostorech. To bylo velmi důležité při studiu skupin homotopy.
Několik zobecnění produktu Whitehead se objevuje v (Blakers, Massey & (1953) ) a jinde, ale ta nejdalekosáhlejší se zabývá sadami homotopy, tj. třídami homotopy map z jednoho prostoru do druhého. Zobecněný produkt Whitehead přiřadí prvku α v sadě homotopy [ΣA, X] a prvku β v sadě homotopy [ΣB, X] prvek [α, β] v sadě homotopy [Σ (A ∧ B) , X], kde A, B a X jsou mezery, Σ je zavěšení (topologie) a ∧ je rozbít produkt. To bylo zavedeno Cohen (1957) a Hilton (1965) a později podrobně prostudoval Arkowitz (1962), (viz také Baues (1989), str. 157). Jedná se o zobecnění produktu Whitehead a poskytuje užitečnou techniku při vyšetřování sad homotopy.
Relevantní MSC kód je: 55Q15, produkty a zobecnění společnosti Whitehead.
Definice
Nechat a a zvážit prvky a , kde a jsou třídy homotopy projekčních map. Komutátor
ve skupině je triviální, když je omezena na , kde označuje klínový součet. The zobecněný produkt Whitehead je pak definován jako jedinečný prvek
takhle , kde je kvocientová mapa.
Vlastnosti
Přirozenost: f∗[α, β] = [f∗(α), f∗(β)], pokud f: X → Y je mapa.
Vše [α, β] = 0, pokud X je H-prostor.
E [α, β] = 0, kde E: [Σ (A ∧ B), X] → [Σ2 (A ∧ B), ΣX] je homomorfismus zavěšení.
Bi-aditivita, pokud A a B jsou suspenze.
Forma antikomutativity.
Vhodná Jacobiho identita pro α a β, jak je uvedeno výše, a γ ∈ [ΣC, X], pokud A, B a C jsou suspenze.
Vidět Arkowitz (1962) pro úplné prohlášení o těchto výsledcích a důkazy.
Aplikace
Produkt ΣA × ΣB má homotopický typ mapovací kužel ze dne [ιΣA, ιΣB] ∈ [Σ (A ∧ B), ΣA ∨ ΣB] (Arkowitz (1962) ).
Produkty Whitehead pro skupiny homotopy s koeficienty se získají tak, že A a B budou Mooreovy prostory (Hilton (1965), str. 110–114)
Existuje slabá homotopická ekvivalence mezi klínem suspenzí nekonečně mnoha prostorů a nekonečným produktem suspenzí různých smečových produktů prostorů podle Milnor-Hiltonovy věty. Mapa je definována zobecněnými produkty Whitehead (Baues, Quintero a (2001) ) .
Související výsledky
Pokud Y je skupinový H-prostor, pak je produkt [A, Y] × [B, Y] → [A ∧ B, Y] definován analogicky s generalizovaným produktem Whitehead. Toto je zobecněný produkt Samelson označený <σ, τ> pro σ ∈ [A, Y] a τ ∈ [B, Y] (Arkowitz 1963 ). Pokud λU, V : [U, ΩV] → [ΣU, V] je adjunkční izomorfismus, kde Ω je prostor smyčky funktor, pak λA∧B, X<σ, τ> = [λSEKERA (σ), λB, X (τ)] pro Y = ΩX.
An Eckmann – Hilton dual zobecněného produktu Whitehead lze definovat následovně. Nechť A ♭ B je vlákno homotopy inkluze j: A ∨ B → A × B, tj. Prostor cest v A × B, které začínají v A ∨ B a končí v základním bodě a nechají γ ∈ [X , ΩA] a δ ∈ [X, ΩB]. Pro (ΩιA) γ a (ΩιB) δ v [X, Ω (A ∨ B)], nechť d (γ, δ) ∈ [X, Ω (A ∨ B)] je jejich komutátorem. Protože (Ωj) d (γ, δ) je triviální, existuje jedinečný prvek {γ, δ} ∈ [X, Ω (A ♭ B)] takový, že (Ωp) {γ, δ} = d (γ, δ ), kde p: A ♭ B → A ∨ B promítne cestu do svého počátečního bodu. Pro aplikaci tohoto označme K (π, n) Eilenberg – MacLaneův prostor a identifikovat [X, K (π, n)] s kohomologickou skupinou Hn(X; π). Pokud A = K (G, p) a B = K (G ′, q), pak existuje mapa θ: A ♭ B → K (G ⊗ G ', p + q + 1) taková, že (Ωθ) { γ, δ} = γ ∪ δ, kalíškový produkt v Hp + q(X; G ⊗ G ′). Podrobnosti viz ((Arkowitz 1962 ), s. 19–22) a (Arkowitz 1964 ).
Reference
- Arkowitz, M. (1962), „Zobecněný produkt Whitehead“, Pacific J. Math., 12: 7–23, doi:10.2140 / pjm.1962.12.7.
- Arkowitz, M. (1963), "Homotopy products for H-spaces", Michigan Math. J., 10: 1–9, doi:10,1307 / mmj / 1028998818, PAN 0148066, Zbl 0118.18405.
- Arkowitz, M. (1964), „Commutators and cup products“, Illinois J. Math., 8 (4): 571–581, doi:10.1215 / ijm / 1256059455, PAN 0167979, Zbl 0124.16203.
- Baues, H-J. (1989), Algebraická homotopy, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33376-4.
- Baues, H-J .; Quintero, A. (2001), Nekonečná teorie homotopy, Cambridge University Press, ISBN 978-0-7923-6982-0.
- Blakers, A .; Massey, W. (1953), „Produkty v teorii homotopy“, Ann. matematiky., 2, 5 (2): 409–428, doi:10.2307/1969744, JSTOR 1969790.
- Cohen, D. E. (1957), „Products and carrier theory“, Proc. London Math. Soc., 7: 295–324.
- Hilton, PJ (1965), Teorie a dualita homotopy, New York-Londýn-Paříž: Gordon and Breach Science Publishers, OCLC 911699333.
- Whitehead, J. H. C. (1941), „O přidávání vztahů k homotopickým skupinám“, Ann. matematiky., 2, 42 (2): 409–428, doi:10.2307/1968907, JSTOR 1968907.