Vektorová logika - Vector logic - Wikipedia

Vektorová logika^[1]^[2] je algebraický Modelka elementární logika na základě maticová algebra. Vektorová logika předpokládá, že pravdivostní hodnoty mapa na vektory a že monadický a dyadický operace jsou prováděny operátory matice. „Vektorová logika“ byla také použita k označení reprezentace klasické výrokové logiky jako vektorového prostoru,^[3]^[4] ve kterém jsou jednotkové vektory výrokové proměnné. Logiku predikátu lze reprezentovat jako vektorový prostor stejného typu, ve kterém osy představují písmena predikátu ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle P}$ .^[5] Ve vektorovém prostoru pro výrokovou logiku počátek představuje falešnou, F a nekonečná periferie představuje pravdu, T, zatímco v prostoru pro predikátovou logiku počátek představuje „nic“ a periferie představuje únik z ničeho nebo „něco“ ".

Přehled

Klasický binární logika je reprezentována malou sadou matematických funkcí v závislosti na jedné (monadické) nebo dvou (dyadických) proměnných. V binární sadě odpovídá hodnotě 1 skutečný a hodnota 0 až Nepravdivé. Vektorová logika se dvěma hodnotami vyžaduje korespondenci mezi hodnotami pravdy skutečný (t) a Nepravdivé (f) a dva q-rozměrná normalizovaná skutečná hodnota vektory sloupců s a n, proto:

{ displaystyle t mapsto}

a

{ Displaystyle f mapsto n}

(kde ${ displaystyle q geq 2}$ je libovolné přirozené číslo a „normalizované“ znamená, že délka vektoru je 1; obvykle s a n jsou ortogonální vektory). Tato korespondence generuje prostor vektorových pravdivostních hodnot: PROTI₂ = {s,n}. Základní logické operace definované pomocí této sady vektorů vedou k operátorům matice.

Operace vektorové logiky jsou založeny na skalárním součinu mezi q-dimenzionální vektory sloupců: ${ displaystyle u ^ {T} v = langle u, v rangle}$ : ortonormalita mezi vektory s a n to naznačuje ${ displaystyle langle u, v rangle = 1}$ -li ${ displaystyle u = v}$ , a ${ displaystyle langle u, v rangle = 0}$ -li ${ displaystyle u neq v}$ , kde ${ displaystyle u, v in {s, n }}$ .

Monadic operátoři

Monadické operátory vyplývají z aplikace ${ displaystyle Po: V_ {2} až V_ {2}}$ a související matice mají q řádky a q sloupce. Dva základní monadické operátory pro tuto dvouhodnotovou vektorovou logiku jsou identita a negace:

Identita: ID logické identity (str) je reprezentován maticí ${ displaystyle I = ss ^ {T} + nn ^ {T}}$ , kde jsou vedle sebe Výrobky Kronecker. Tato matice funguje následovně: Ip = str, str ∈ PROTI₂; kvůli ortogonalitě s respekt k n, my máme ${ displaystyle Is = ss ^ {T} s + nn ^ {T} s = s langle s, s rangle + n langle n, s rangle = s}$ a naopak ${ displaystyle In = n}$ . Je důležité si uvědomit, že tato vektorová matice logické identity není obecně matice identity ve smyslu maticové algebry.
Negace: Logická negace ¬str je reprezentován maticí ${ displaystyle N = ns ^ {T} + sn ^ {T}}$ Tudíž, Ns = n a Nn = s. The nedobrovolný chování logické negace, konkrétně ¬ (¬str) rovná se str, odpovídá skutečnosti, že N² = Já.

Dyadičtí operátoři

16 dvousměrných dvojitých operátorů odpovídá funkcím typu ${ displaystyle Dyad: V_ {2} mnohokrát V_ {2} až V_ {2}}$ ; dyadické matice mají q² řádky a q sloupce. Matice, které provádějí tyto dyadické operace, jsou založeny na vlastnostech Produkt Kronecker. (Násobení takové dyadické matice a ${ displaystyle q times q}$ výnosy matice a ${ displaystyle q krát 1}$ sloupec, jehož položky jsou Vnitřní výrobky Frobenius čtvercové matice bloky stejné velikosti v rámci dyadické matice.)

Pro formalizmus vektorové logiky jsou zásadní dvě vlastnosti tohoto produktu:

Vlastnost smíšeného produktu
Li A, B, C a D jsou matice takové velikosti, že lze vytvářet maticové produkty AC a BD, pak
${ displaystyle (A otimes B) (C otimes D) = AC otimes BD}$
Distribuční transpozice Fungování transpozice je distribuční vůči produktu Kronecker:
${ displaystyle (A otimes B) ^ {T} = A ^ {T} otimes B ^ {T}.}$

Pomocí těchto vlastností lze získat výrazy pro dyadické logické funkce:

Spojení. Spojení (p∧q) je prováděno maticí, která působí na dvě vektorové pravdivostní hodnoty: ${ displaystyle C (u otimes v)}$ .Tato matice reprodukuje ve své formulaci vlastnosti tabulky pravdy klasické spojky:

{ displaystyle C = s (s otimes s) ^ {T} + n (s otimes n) ^ {T} + n (n otimes s) ^ {T} + n (n otimes n) ^ { T}}

a ověří

{ displaystyle C (s otimes s) = s,}

a

{ Displaystyle C (s otimes n) = C (n otimes s) = C (n otimes n) = n.}

Disjunkce. Disjunkce (p∨q) je provedena maticí

{ displaystyle D = s (s otimes s) ^ {T} + s (s otimes n) ^ {T} + s (n otimes s) ^ {T} + n (n otimes n) ^ { T},}

což má za následek

{ displaystyle D (s otimes s) = D (s otimes n) = D (n otimes s) = s}

a

{ displaystyle D (n otimes n) = n.}

Implikace. Implikace odpovídá v klasické logice výrazu p → q ≡ ¬p ∨ q. Verze této logiky vektorové logiky vede k matici, která představuje tuto implikaci ve vektorové logice: ${ displaystyle L = D (N otimes I)}$ . Explicitní výraz pro tuto implikaci je:

{ displaystyle L = s (s otimes s) ^ {T} + n (s otimes n) ^ {T} + s (n otimes s) ^ {T} + s (n otimes n) ^ { T},}

a vlastnosti klasické implikace jsou splněny:

{ displaystyle L (s otimes s) = L (n otimes s) = L (n otimes n) = s}

a

{ displaystyle L (s otimes n) = n.}

Rovnocennost a Exkluzivní nebo. Ve vektorové logice je ekvivalence p≡q reprezentována následující maticí:

{ displaystyle E = s (s otimes s) ^ {T} + n (s otimes n) ^ {T} + n (n otimes s) ^ {T} + s (n otimes n) ^ { T}}

s

{ displaystyle E (s otimes s) = E (n otimes n) = s}

a

{ displaystyle E (s otimes n) = E (n otimes s) = n.}

Exkluzivní nebo je negace ekvivalence, ¬ (p≡q); odpovídá matici

{ displaystyle X = NE}

dána

{ displaystyle X = n (s otimes s) ^ {T} + s (s otimes n) ^ {T} + s (n otimes s) ^ {T} + n (n otimes n) ^ { T},}

s

{ displaystyle X (s otimes s) = X (n otimes n) = n}

a

{ displaystyle X (s otimes n) = X (n otimes s) = s.}

NAND a ANI

Matice S a P odpovídají Sheffer (NAND) a Peirce Operace (NOR):

{ displaystyle S = NC}

{ displaystyle P = ND}

De Morganův zákon

V logice se dvěma hodnotami operace spojení a disjunkce splňují De Morganův zákon: p∧q≡¬ (¬p∨¬q) a jeho dvojí: p∨q≡¬ (¬p∧¬q)). Pro vektorovou logiku se dvěma hodnotami se tento zákon také ověřuje:

{ displaystyle C (u otimes v) = ND (Nu otimes Nv)}

, kde u a proti jsou dva logické vektory.

Produkt Kronecker implikuje následující faktorizaci:

{ displaystyle C (u otimes v) = ND (N otimes N) (u otimes v).}

Pak lze dokázat, že v dvojrozměrné vektorové logice je De Morganův zákon zákon zahrnující operátory, a nejen zákon týkající se operací:^[6]

{ displaystyle C = ND (N otimes N)}

Zákon o kontrapozici

V klasickém výrokovém počtu je Zákon o protikladu str → q ≡ ¬q → ¬str je dokázáno, protože rovnocennost platí pro všechny možné kombinace pravdivostních hodnot str a q.^[7] Místo toho ve vektorové logice zákon kontrapozice vychází z řetězce rovnosti v rámci pravidel maticové algebry a produktů Kronecker, jak je znázorněno v následujícím:

{ Displaystyle L (u otimes v) = D (N otimes I) (u otimes v) = D (Nu otimes v) = D (Nu otimes NNv) =}

{ displaystyle D (NNv otimes Nu) = D (N otimes I) (Nv otimes Nu) = L (Nv otimes Nu)}

Tento výsledek je založen na skutečnosti, že D, disjunkční matice, představuje komutativní operaci.

Mnohocenná dvourozměrná logika

Mnohocenná logika bylo vyvinuto mnoha výzkumníky, zejména Jan Łukasiewicz a umožňuje rozšíření logických operací na pravdivostní hodnoty, které zahrnují nejistoty.^[8] V případě dvouhodnotové vektorové logiky lze nejistoty v hodnotách pravdy zavést pomocí vektorů s s a n váženo pravděpodobnostmi.

Nechat ${ displaystyle f = epsilon s + delta n}$ , s ${ displaystyle epsilon, delta v [0,1], epsilon + delta = 1}$ být tento druh „pravděpodobnostních“ vektorů. Zde je představen mnohohodnotný charakter logiky a posteriori prostřednictvím nejistot vnesených do vstupů.^[1]

Skalární projekce vektorových výstupů

Výstupy této mnohocenné logiky lze promítnout na skalární funkce a generovat určitou třídu pravděpodobnostní logiky se podobnostmi s mnohaletou logikou Reichenbacha.^[9]^[10]^[11] Vzhledem k tomu, dva vektory ${ displaystyle u = alpha s + beta n}$ a ${ displaystyle v = alpha '+ beta' n}$ a dyadická logická matice ${ displaystyle G}$ , projekce přes vektor poskytuje skalární pravděpodobnostní logikus:

{ displaystyle Val ( mathrm {scalars}) = s ^ {T} G ( mathrm {vektory})}

Zde jsou hlavní výsledky těchto projekcí:

{ displaystyle NOT ( alpha) = s ^ {T} Nu = 1- alpha}

{ displaystyle OR ( alpha, alpha ') = s ^ {T} D (u otimes v) = alpha + alpha' - alpha alpha '}

{ displaystyle AND ( alpha, alpha ') = s ^ {T} C (u otimes v) = alpha alpha'}

{ displaystyle IMPL ( alpha, alpha ') = s ^ {T} L (u otimes v) = 1- alpha (1- alpha')}

{ displaystyle XOR ( alpha, alpha ') = s ^ {T} X (u otimes v) = alpha + alpha' -2 alpha alpha '}

Přidružené negace jsou:

{ displaystyle NOR ( alpha, alpha ') = 1-OR ( alpha, alpha')}

{ displaystyle NAND ( alpha, alpha ') = 1-AND ( alpha, alpha')}

{ displaystyle EQUI ( alpha, alpha ') = 1-XOR ( alpha, alpha')}

Pokud skalární hodnoty patří do množiny {0, ½, 1}, je tato mnohohodnotová skalární logika pro mnoho operátorů téměř totožná s tříhodnotovou logikou Łukasiewicze. Rovněž bylo prokázáno, že když monadické nebo dyadické operátory jednají nad pravděpodobnostními vektory patřícími do této sady, výstup je také prvkem této sady.^[6]

Dějiny

Lze odkázat na rané pokusy použít lineární algebru k reprezentaci logických operací Peirce a Copilowish,^[12] zejména při používání logické matice interpretovat počet vztahů.

Tento přístup byl inspirován nervová síť modely založené na použití vysokodimenzionálních matic a vektorů.^[13]^[14] Vektorová logika je přímý překlad klasického formalizmu matice-vektor Booleovské polynomy.^[15] Tento druh formalismu byl aplikován na vývoj a fuzzy logika ve smyslu komplexní čísla.^[16] Další maticové a vektorové přístupy k logickému počtu byly vyvinuty v rámci kvantová fyzika, počítačová věda a optika.^[17]^[18]

The indický biofyzik G.N. Ramachandran vyvinul formalismus pomocí algebraických matic a vektorů, které představují mnoho operací klasické Jain Logic známé jako Syad a Saptbhangi. Indická logika.^[19] Vyžaduje nezávislé potvrzující důkazy pro každé tvrzení v návrhu a nevytváří předpoklad pro binární doplnění.

Booleovské polynomy

George Boole zavedl vývoj logických operací jako polynomů.^[15] Pro případ monadických operátorů (např identita nebonegace ), Booleovské polynomy vypadají takto:

{ displaystyle f (x) = f (1) x + f (0) (1-x)}

Čtyři různé monadické operace jsou výsledkem různých binárních hodnot pro koeficienty. Operace identity vyžaduje F(1) = 1 a F(0) = 0 a k negaci dojde, pokud F(1) = 0 a F(0) = 1. Pro 16 dyadických operátorů mají booleovské polynomy tvar:

{ Displaystyle f (x, y) = f (1,1) xy + f (1,0) x (1-y) + f (0,1) (1-x) y + f (0,0) (1-x) (1-y)}

Dyadické operace lze přeložit do tohoto polynomiálního formátu, když jsou koeficienty F vezměte hodnoty uvedené v příslušných pravdivostní tabulky. Například: NAND provoz vyžaduje, aby:

{ displaystyle f (1,1) = 0}

a

{ displaystyle f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = 1}

.

Tyto booleovské polynomy lze okamžitě rozšířit na libovolný počet proměnných, což vytváří velkou potenciální rozmanitost logických operátorů. Ve vektorové logice je struktura matice-vektor logických operátorů přesným překladem do formátu lineární algebry těchto booleovských polynomů, kde the X a 1−X odpovídají vektorům s a n respektive (stejné pro y a 1−y). V příkladu NAND, F(1,1)=n a F(1,0)=F(0,1)=F(0,0)=s a verze matice se stává:

{ displaystyle S = n (s otimes s) ^ {T} + s [(s otimes n) ^ {T} + (n otimes s) ^ {T} + (n otimes n) ^ {T }]}

Rozšíření

Vektorovou logiku lze rozšířit tak, aby zahrnovala mnoho hodnot pravdy, protože velké prostorové vektorové prostory umožňují vytvářet mnoho ortogonálních hodnot pravdy a odpovídající logické matice.^[2]
Logické modality mohou být v tomto kontextu plně zastoupeny, přičemž je inspirován rekurzivní proces neurální modely.^[2]^[20]
Některé kognitivní problémy logických výpočtů lze analyzovat pomocí tohoto formalismu, zejména rekurzivní rozhodnutí. Jakékoli logické vyjádření klasického výrokového počtu lze přirozeně reprezentovat a stromová struktura.^[7] Tato skutečnost je zachována vektorovou logikou a byla částečně použita v neurálních modelech zaměřených na zkoumání rozvětvené struktury přirozených jazyků.^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]
Výpočet pomocí reverzibilních operací jako Fredkinova brána lze implementovat ve vektorové logice. Taková implementace poskytuje explicitní výrazy pro operátory matice, které vytvářejí vstupní formát a výstupní filtrování nezbytné pro získání výpočtů.^[2]^[6]
Základní mobilní automaty lze analyzovat pomocí operátorové struktury vektorové logiky; tato analýza vede ke spektrálnímu rozkladu zákonů upravujících jeho dynamiku.^[27]^[28]
Kromě toho byl na základě tohoto formalismu vyvinut diskrétní diferenciální a integrální počet.^[29]

Viz také

Reference

^ ^A ^b Mizraji, E. (1992). Vektorová logika: maticová-vektorová reprezentace logického počtu. Fuzzy sady a systémy, 50, 179–185
^ ^A ^b ^C ^d Mizraji, E. (2008) Vektorová logika: přirozená algebraická reprezentace základních logických bran. Journal of Logic and Computation, 18, 97–121
^ Westphal, J. a Hardy, J. (2005) Logika jako vektorový systém. Journal of Logic and Computation, 751-765
^ Westphal, J. Caulfield, H. J. Hardy, J. a Qian, L. (2005) Optic Vector Logic Theorem-Proving. Sborník ze společné konference o divizi informačních systémů, fotoniky, sítí a výpočetní techniky.
^ Westphal, J (2010). Aplikace teorie vektorů na sylogistickou logiku. Nové pohledy na náměstí opozice, Bern, Peter Lang.
^ ^A ^b ^C Mizraji, E. (1996) Provozovatelé vektorové logiky. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
^ ^A ^b Suppes, P. (1957) Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, New York.
^ Łukasiewicz, J. (1980) Vybraná díla. L. Borkowski, ed., S. 153–178. Severní Holandsko, Amsterdam, 1980
^ Rescher, N. (1969) Mnohohodnotová logika. McGraw – Hill, New York
^ Blanché, R. (1968) Úvod à la Logique Contemporaine, Armand Colin, Paříž
^ Klir, G.J., Yuan, G. (1995) Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice – Hall, New Jersey
^ Copilowish, I.M. (1948) Maticový vývoj počtu vztahů. Journal of Symbolic Logic, 13, 193–203
^ Kohonen, T. (1977) Asociativní paměť: systémově-teoretický přístup. Springer-Verlag, New York
^ Mizraji, E. (1989) Kontextově závislé asociace v lineárně distribuovaných pamětí. Bulletin of Mathematical Biology, 50, 195–205
^ ^A ^b Boole, G. (1854) Vyšetřování zákonů myšlení, na nichž jsou založeny teorie logiky a pravděpodobností. Macmillan, Londýn, 1854; Dover, New York Reedition, 1958
^ Dick, S. (2005) Směrem ke komplexní fuzzy logice. Transakce IEEE na fuzzy systémech, 15 405–414, 2005
^ Mittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim
^ Stern, A. (1988) Matrix Logic: Theory and Applications. Severní Holandsko, Amsterdam
^ Jain, M.K. (2011) Logic of evidence-based inference propositions, Current Science, 1663–1672, 100
^ Mizraji, E. (1994) Modality ve vektorové logice Archivováno 11.08.2014 na Wayback Machine. Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283
^ Mizraji, E., Lin, J. (2002) Dynamika logických rozhodnutí. Physica D, 168–169, 386–396
^ beim Graben, P., Potthast, R. (2009). Inverzní problémy v dynamickém kognitivním modelování. Chaos, 19, 015103
^ beim Graben, P., Pinotsis, D., Saddy, D., Potthast, R. (2008). Zpracování jazyka s dynamickými poli. Cogn. Neurodyn., 2, 79–88
^ beim Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S. (2008) Směrem k dynamickým systémovým modelům jazykových mozkových potenciálů. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255
^ beim Graben, P., Gerth, S. (2012) Geometrické reprezentace pro minimalistické gramatiky. Journal of Logic, Language and Information, 21, 393-432.
^ Binazzi, A. (2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, str. 69–84
^ Mizraji, E. (2006) Části a celek: zkoumání toho, jak interakce jednoduchých subsystémů vytváří složitost. International Journal of General Systems, 35, str. 395–415.
^ Arruti, C., Mizraji, E. (2006) Skryté potenciály. International Journal of General Systems, 35, 461–469.
^ Mizraji, E. (2015) Diferenciální a integrální počet pro logické operace. Maticovo-vektorový přístup Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015

[miz92-1] A ^b Mizraji, E. (1992). Vektorová logika: maticová-vektorová reprezentace logického počtu. Fuzzy sady a systémy, 50, 179–185

[miz08-2] A ^b ^C ^d Mizraji, E. (2008) Vektorová logika: přirozená algebraická reprezentace základních logických bran. Journal of Logic and Computation, 18, 97–121

[3] Westphal, J. a Hardy, J. (2005) Logika jako vektorový systém. Journal of Logic and Computation, 751-765

[4] Westphal, J. Caulfield, H. J. Hardy, J. a Qian, L. (2005) Optic Vector Logic Theorem-Proving. Sborník ze společné konference o divizi informačních systémů, fotoniky, sítí a výpočetní techniky.

[5] Westphal, J (2010). Aplikace teorie vektorů na sylogistickou logiku. Nové pohledy na náměstí opozice, Bern, Peter Lang.

[miz96-6] A ^b ^C Mizraji, E. (1996) Provozovatelé vektorové logiky. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39

[suppes-7] A ^b Suppes, P. (1957) Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, New York.

[8] Łukasiewicz, J. (1980) Vybraná díla. L. Borkowski, ed., S. 153–178. Severní Holandsko, Amsterdam, 1980

[9] Rescher, N. (1969) Mnohohodnotová logika. McGraw – Hill, New York

[10] Blanché, R. (1968) Úvod à la Logique Contemporaine, Armand Colin, Paříž

[11] Klir, G.J., Yuan, G. (1995) Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice – Hall, New Jersey

[12] Copilowish, I.M. (1948) Maticový vývoj počtu vztahů. Journal of Symbolic Logic, 13, 193–203

[13] Kohonen, T. (1977) Asociativní paměť: systémově-teoretický přístup. Springer-Verlag, New York

[14] Mizraji, E. (1989) Kontextově závislé asociace v lineárně distribuovaných pamětí. Bulletin of Mathematical Biology, 50, 195–205

[boole-15] A ^b Boole, G. (1854) Vyšetřování zákonů myšlení, na nichž jsou založeny teorie logiky a pravděpodobností. Macmillan, Londýn, 1854; Dover, New York Reedition, 1958

[16] Dick, S. (2005) Směrem ke komplexní fuzzy logice. Transakce IEEE na fuzzy systémech, 15 405–414, 2005

[17] Mittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim

[18] Stern, A. (1988) Matrix Logic: Theory and Applications. Severní Holandsko, Amsterdam

[19] Jain, M.K. (2011) Logic of evidence-based inference propositions, Current Science, 1663–1672, 100

[20] Mizraji, E. (1994) Modality ve vektorové logice Archivováno 11.08.2014 na Wayback Machine. Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283

[21] Mizraji, E., Lin, J. (2002) Dynamika logických rozhodnutí. Physica D, 168–169, 386–396

[22] Graben, P., Potthast, R. (2009). Inverzní problémy v dynamickém kognitivním modelování. Chaos, 19, 015103

[23] Graben, P., Pinotsis, D., Saddy, D., Potthast, R. (2008). Zpracování jazyka s dynamickými poli. Cogn. Neurodyn., 2, 79–88

[24] Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S. (2008) Směrem k dynamickým systémovým modelům jazykových mozkových potenciálů. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255

[25] Graben, P., Gerth, S. (2012) Geometrické reprezentace pro minimalistické gramatiky. Journal of Logic, Language and Information, 21, 393-432.

[26] Binazzi, A. (2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, str. 69–84

[27] Mizraji, E. (2006) Části a celek: zkoumání toho, jak interakce jednoduchých subsystémů vytváří složitost. International Journal of General Systems, 35, str. 395–415.

[28] Arruti, C., Mizraji, E. (2006) Skryté potenciály. International Journal of General Systems, 35, 461–469.

[29] Mizraji, E. (2015) Diferenciální a integrální počet pro logické operace. Maticovo-vektorový přístup Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]