Kvantový systém, který lze měřit jako jednu ze dvou hodnot; hledal „kvantové bity“ v kvantovém výpočtu
Prochází elektricky neutrální atomy stříbra
Stern – Gerlachův experiment Nehomogenní magnetické pole se rozdělí na dvě, z nichž každé odpovídá jedné možné hodnotě spinu nejvzdálenějšího elektronu atomu stříbra.
v kvantová mechanika, a dvoustavový systém (také známý jako dvouúrovňový systém) je kvantový systém které mohou existovat v každém kvantová superpozice dvou nezávislých (fyzicky odlišitelných) kvantové stavy. The Hilbertův prostor popisovat takový systém je dva-dimenzionální. Proto kompletní základ prostor bude sestávat ze dvou nezávislých států. Jakýkoli dvoustavový systém lze také považovat za qubit.
Dvoustavové systémy jsou nejjednodušší kvantové systémy, které mohou existovat, protože dynamika systému jednoho státu je triviální (tj. Neexistuje žádný jiný stav, ve kterém by systém mohl existovat). Matematický rámec vyžadovaný pro analýzu dvoustavových systémů je ten lineární diferenciální rovnice a lineární algebra dvourozměrných prostorů. Ve výsledku lze dynamiku dvoustavového systému vyřešit analyticky bez jakékoli aproximace. Obecným chováním systému je, že amplituda vlnové funkce osciluje mezi těmito dvěma stavy.
Velmi známým příkladem dvoustátního systému je roztočit a spin-1/2 částice, jako je elektron, jehož spin může mít hodnoty +ħ/ 2 nebo -ħ/ 2, kde ħ je snížená Planckova konstanta.
Dvoustavový systém nelze použít jako popis absorpce nebo rozpadu, protože takové procesy vyžadují propojení s kontinuem. Takové procesy by zahrnovaly exponenciální rozpad amplitud, ale řešení dvoustavového systému jsou oscilační.
Analytická řešení pro energie stacionárního stavu a časovou závislost
Zastoupení
Předpokládejme, že dva dostupné základní stavy systému jsou a , pak obecně lze stát psát jako a superpozice těchto dvou států s amplitudy pravděpodobnosti :
Protože základní stavy jsou ortonormální, kde a je Kroneckerova delta, tak . Tihle dva komplexní čísla lze považovat souřadnice v dvojrozměrném složitý Hilbertův prostor.[1] Tak státní vektor odpovídá stavu je
a základní stavy odpovídají základním vektorům, a .
Pokud stát je normalizováno, norma statevektoru je jednota, tj. .
Všechno pozorovatelné fyzikální veličiny, jako je energie, jsou spojeny s poustevnické operátory. V případě energie a odpovídající Hamiltonian, to znamená , tj. a jsou skutečné a . Tedy tyto čtyři maticové prvky vyrobit 2 2 poustevnická matice.
- .
The Časově nezávislá Schrodingerova rovnice tvrdí, že a nahrazením pokud jde o základní stavy shora, a premultipling obou stran o nebo vyrábí a soustava dvou lineárních rovnic které lze zapsat v maticové formě
nebo což je 2 2 matice Vlastní čísla a vlastní vektory problém. Kvůli poustevnosti vlastní čísla jsou skutečná, nebo spíše naopak, je to požadavek, aby energie byly skutečné, což znamená hermiticitu . Vlastní vektory představují stacionární stavy tj. ti, pro které se absolutní velikost čtverců pravděpodobnostních amplitud nemění s časem.
Vlastní čísla Hamiltonian
Nejobecnější forma 2 2 Hermitovská matice, jako je hamiltonián dvoustavového systému, je dána vztahem
kde a jsou reálná čísla s jednotkami energie. Povolené energetické úrovně systému, jmenovitě vlastní čísla hamiltonovské matice lze nalézt obvyklým způsobem.
Alternativně lze tuto matici rozložit jako,
Tady, a jsou reálná čísla. Matice je 2 2 matice identity a matice jsou Pauliho matice. Tento rozklad zjednodušuje analýzu systému, zejména v časově nezávislém případě, kdy jsou hodnoty a jsou konstanty.
Hamiltonian lze psát ještě kompaktněji jako:
Vektor darováno a darováno . Toto znázornění zjednodušuje analýzu časového vývoje systému a je snáze použitelné s jinými specializovanými znázorněními, jako např Bloch koule.
Pokud je dvoustátní systém časově nezávislý Hamiltonian je definován výše, pak jeho vlastní čísla jsou dány . Zřejmě je průměrná energie dvou úrovní a norma z je rozdělení mezi nimi. Odpovídající vlastní vektory jsou označeny a .
Časová závislost
Nyní předpokládáme, že amplitudy pravděpodobnosti jsou časově závislé, ačkoli základní stavy nejsou. The Časově závislá Schrödingerova rovnice státy , a postupujeme jako dříve (nahrazením a premultiplying by opět vytváří pár spojených lineárních rovnic, ale tentokrát se jedná o parciální diferenciální rovnice prvního řádu: . Li je časově nezávislý existuje několik přístupů k nalezení časové závislosti , jako normální režimy. Výsledkem je to
- .
kde je statevector v Tady exponenciál matice lze najít z rozšíření série. Matice se nazývá matice evoluce času (která obsahuje maticové prvky odpovídajícího operátora evoluce času ). Je to snadno dokázatelné je unitární, znamenající, že . To lze ukázat
kde .
Když jeden změní základ na vlastní vektory Hamiltonian, jinými slovy, pokud základ stanoví jsou poté vybráni jako vlastní vektory a a tak je hamiltonián diagonální, tj. a je ve formě,