Překladová rovina - Translation plane - Wikipedia

v matematika, a překladová rovina je projektivní rovina který připouští určitou skupinu symetrií (popsáno níže). Spolu s Hughesova letadla a Figueroa letadla, překladové roviny patří mezi nejobsáhovanější ze známých nedesarguesiánská letadla a drtivá většina známých nedesarguesovských rovin jsou buď translační roviny, nebo je lze získat z translační roviny postupnými iteracemi dualizace a / nebo derivace.^[1]

V projektivní rovině, pojďme P představují bod a l představují čáru. A centrální kolineace se středem P a osa l je kolineace upevnění každého bodu l a každý řádek projde P. Říká se tomu elation if P je zapnutý l, jinak se tomu říká homologie. Centrální srážky se středem P a osa l vytvořit skupinu.^[2] Linka l v projektivní rovině Π je překladová čára, pokud je to skupina všech elací s osou l činy přechodně na bodech afinní letadlo získané odstraněním l z letadla Π, Π_l (dále jen afinní derivát Π). Projektivní rovina s linií posunu se nazývá rovina translace.

The afinní letadlo získaný odstraněním překladové čáry se nazývá afinní překladová rovina. I když je často snazší pracovat s projektivními rovinami, v této souvislosti několik autorů používá termín překladová rovina ve smyslu afinní překladové roviny.^[3][4]

Algebraická konstrukce se souřadnicemi

Každá projektivní rovina může být koordinována alespoň jednou rovinný ternární kruh.^[5] U překladových rovin je vždy možné koordinovat s a quasifield.^[6] Některé kvasifieldy však uspokojují další algebraické vlastnosti a odpovídající rovinné ternární prstence koordinují translační roviny, které připouštějí další symetrie. Některé z těchto speciálních tříd jsou:

• Nearfield letadla - koordinuje blízká pole.
• Polopolohová letadla - koordinuje polopole, polopole letadla mají tu vlastnost, že jejich dvojí je také překladová rovina.
• Mufangová letadla - koordinuje alternativní dělení prstenů, Moufangovy roviny jsou přesně ty překladové roviny, které mají alespoň dvě překladové čáry. Každé konečné letadlo Moufang je Desarguesian a každé desarguesiánské letadlo je mufangské letadlo, ale existují nekonečná mufangská letadla, která nejsou desarguesiánská (například Cayleyovo letadlo ).

Vzhledem k tomu, quasifield s operace + (přidání) a ${ displaystyle cdot}$ (multiplikace), lze definovat rovinný ternární kruh a vytvořit souřadnice pro rovinu překladu. Je však typičtější vytvořit afinní rovinu přímo z pole quasifield definováním bodů jako párů ${ displaystyle (a, b)}$ kde ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou prvky kvasifieldu a čáry jsou sady bodů ${ displaystyle (x, y)}$ splnění rovnice tvaru ${ displaystyle y = m cdot x + b}$ , tak jako ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle b}$ se mění v prvcích kvasifieldu společně se sadami bodů ${ displaystyle (x, y)}$ splnění rovnice tvaru ${ displaystyle x = a}$ , tak jako ${ displaystyle a}$ se mění v závislosti na prvcích kvasifieldu.^[7]

Geometrická konstrukce s pomazánkami

Překladové roviny souvisejí s rozptyly lichých dimenzionálních projektivních prostorů konstrukcí André / Bruck-Bose.^[8][9] A šíření z PG (2n+1, K.), kde ${ displaystyle n geq 1}$ je celé číslo a K. dělící kruh, je rozdělení prostoru do párových disjunktních n-dimenzionální podprostory. V konečném případě rozšíření PG (2n+1, q) je sada qⁿ⁺¹ + 1 n-dimenzionální podprostory, bez dvou protínajících se.

Vzhledem k šíření S z PG (2n +1, K.), konstrukce André / Bruck-Bose vytváří překladovou rovinu následujícím způsobem: Vložit PG (2n+1, K.) jako hyperplán ${ displaystyle Sigma}$ z PG (2n+2, K.). Definujte strukturu dopadu A(S) s „body“, body z PG (2n+2, K.) ne na ${ displaystyle Sigma}$ a "lemuje" (n+1)-dimenzionální podprostory PG (2n+2, K.) Setkání ${ displaystyle Sigma}$ v prvku S. Pak A(S) je afinní překladová rovina. V konečném případě tento postup vytvoří překladovou rovinu řádu qⁿ⁺¹.

Opak tohoto tvrzení je téměř vždy pravdivý.^[10] Libovolná překladová rovina, která je koordinována kvasifieldem, který je nad svým jádrem konečně trojrozměrný K. (K. je nutně a dělící prsten ) lze generovat z rozšíření PG (2n+1, K.) pomocí konstrukce André / Bruck-Bose, kde (n+1) je rozměr quasifieldu, který je považován za modul nad jeho jádrem. Okamžitým důsledkem tohoto výsledku je, že z této konstrukce lze získat každou konečnou translační rovinu.

Reguli a pravidelné spready

Nechat ${ displaystyle Sigma}$ být projektivní prostor PG (2n+1, K.) pro ${ displaystyle n geq 1}$ celé číslo a K. dělící prsten. A regulus^[11] R v ${ displaystyle Sigma}$ je sbírka párových disjunktů n-dimenzionální podprostory s následujícími vlastnostmi:

1. R obsahuje alespoň 3 prvky
2. Každá řada splňující tři prvky R, nazvaný a příčný, splňuje všechny prvky R
3. Každý bod příčně k R leží na nějakém prvku R

Jakékoli tři párové disjunkce n-dimenzionální podprostory v ${ displaystyle Sigma}$ leží v jedinečném regulu.^[12] Pomazánka S z ${ displaystyle Sigma}$ je pravidelné, pokud pro tři odlišné n-dimenzionální podprostory S, všichni členové nimi určeného jedinečného regulu jsou obsaženi v S. Pro jakýkoli dělící kruh K. s více než 2 prvky, pokud jde o dvojstránku S z PG (2n+1, K.) je pravidelná, pak je překladová rovina vytvořená tímto rozšířením prostřednictvím konstrukce André / Bruck-Bose a Mufangové letadlo. Trochu slabší konverzace platí: pokud je překladová rovina Pappian, pak jej lze generovat pomocí konstrukce André / Bruck-Bose z běžného šíření.^[13]

V konečném případě K. musí být pole objednávky ${ displaystyle q> 2}$, a třídy Moufang, Desarguesian a Pappian letadel jsou všechny stejné, takže tato věta může být rafinovaný konstatovat, že šíření S z PG (2n+1, q) je normální právě tehdy, když je překladová rovina vytvořená tímto rozšířením prostřednictvím konstrukce André / Bruck-Bose Desarguesian.

Všechny spready z PG (2n+1, 2) jsou triviálně pravidelné, protože regulus obsahuje pouze tři prvky. Zatímco jedinou překladovou rovinou řádu 8 je Desarguesian, je známo, že existují nedesarguesovské překladové roviny řádu 2^E pro každé celé číslo ${ displaystyle e geq 4}$.^[14]

Rodiny nedesarguesovských překladových rovin

• Halová letadla
• André letadla
• Subregulární letadla
• Nearfield letadla
• Semifield letadla

Konečné překladové roviny malé objednávky

Je dobře známo, že jediné projektivní roviny řádu 8 nebo méně jsou Desarguesiánské a nejsou známy žádné nedesarguesovské roviny hlavního řádu.^[15] Roviny konečného překladu musí mít hlavní pořadí sil. Existují čtyři projektivní roviny řádu 9, z nichž dvě jsou translační roviny: Desarguesova rovina a Hallovo letadlo. Následující tabulka uvádí aktuální stav znalostí:

Algebraická reprezentace

Algebraickou reprezentaci (afinních) translačních rovin lze získat následovně: Let PROTI být 2n-dimenzionální vektorový prostor přes pole F. Šíření PROTI je sada S z n-dimenzionální podprostory PROTI které rozdělují nenulové vektory PROTI. Členové S se nazývají komponenty spreadu a pokud PROTI_i a PROTI_j jsou tedy odlišné komponenty PROTI_i ⊕ PROTI_j = PROTI. Nechat A být struktura výskytu jejichž body jsou vektory PROTI a jejichž řádky jsou kosety komponent, tj. množiny formy proti + U kde proti je vektorem PROTI a U je součástí pomazánky S. Pak:^[27]

A je afinní rovina a skupina překlady X → X + w pro w v PROTI je automorfická skupina působící pravidelně na body této roviny.

Konečná konstrukce

Nechat F = GF (q) = F_qkonečné pole řádu q a PROTI the 2n-dimenzionální vektorový prostor přes F zastoupeny jako:

${ displaystyle V = {(x, y) dvojtečka x, y ve F ^ {n} }.}$

Nechat M₀, M₁, ..., M_{qⁿ - 1} být n × n matice přes F s majetkem, který M_i – M_j je nesmyslné kdykoli i ≠ j. Pro i = 0, 1, ...,qⁿ – 1 definovat,

${ displaystyle V_ {i} = {(x, xM_ {i}) dvojtečka x ve F ^ {n} },}$

obvykle označované jako podprostory "y = xM_i". Definujte také:

${ displaystyle V_ {q ^ {n}} = {(0, y) dvojtečka y ve F ^ {n} },}$

podprostor “X = 0".

Sada {PROTI₀, PROTI₁, ..., PROTI_qⁿ} je rozšíření PROTI.

Matice M_i používané v této konstrukci se nazývají rozprostřené matice nebo svahové matice.

Příklady pravidelných spready

Pravidelné šíření může být vytvořeno následujícím způsobem. Nechat F být oborem a E an n-dimenzionální pole rozšíření z F. Nechat PROTI = E² považováno za 2n-dimenzionální vektorový prostor přes F. Sada všech jednorozměrných podprostorů PROTI přes E (a tedy n-dimenzionální přes F) je pravidelné šíření PROTI.

V konečném případě pole E = GF (qⁿ) může být reprezentován jako podřetězec n × n matice přes F = GF (q). S ohledem na pevnou základnu E přes F, multiplikační mapy, X → αx pro α v E, jsou F-lineární transformace a mohou být reprezentovány n × n matice přes F. Tyto matice jsou spready matice běžného spreadu.^[28]

Jako konkrétní příklad představuje následujících devět matic GF (9) jako matice 2 × 2 GF (3) a tak poskytnout sadu rozšíření AG (2, 9).

${ displaystyle left [{ begin {matrix} 0 & 0 0 & 0 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 1 & 0 0 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 0 0 & 2 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 0 & 1 2 & 0 end {matrix}} right], left [{ začátek {matrix} 1 & 1 2 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 1 2 & 2 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 0 & 2 1 & 0 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 1 & 2 1 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 1 2 & 2 end {matrix}} right].}$

Úpravy sad šíření

Sada příčných řezů regulus R také tvoří regulus, nazývaný opačný regulus z R. Pokud je pomazánka S z PG (3, q) obsahuje regulus R, odstranění R a jeho nahrazení opačným regulem vytváří nové šíření S^∗. Tento proces je zvláštním případem obecnějšího procesu, který se nazývá odvození nebo výměna sítě.^[29]

Počínaje pravidelným rozšířením PG (3, q) a odvození s ohledem na jakýkoli regulus vytváří a Hallovo letadlo. Obecněji lze postup použít nezávisle na jakoukoli kolekci pravidel v pravidelném rozpětí, čímž se získá subregulární rozpětí;^[30] výsledná překladová rovina se nazývá a subregulární rovina. The André letadla tvoří zvláštní podtřídu subregulárních rovin, z nichž nejjednodušší příklady jsou Hallovy roviny.

Poznámky

Reference

• André, Johannes (1954), „Über nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe“, Mathematische Zeitschrift, 60: 156–186, doi:10.1007 / BF01187370, ISSN  0025-5874, PAN  0063056, S2CID  123661471
• Ball, Simeon; John Bamberg; Michel Lavrauw; Tim Penttila (2003-09-15), Symplektické spready (PDF), Polytechnická univerzita v Katalánsku, vyvoláno 2008-10-08
• Bruck, R.H. (1969), R.C.Bose a T.A. Dowling (ed.), "Konstrukční problémy konečných projektivních rovin", Kombinatorická matematika a její aplikace, Univ. of North Carolina Press, str. 426–514
• Bruck, R. H.; Bose, R. C. (1966), „Lineární reprezentace projektivních rovin v projektivních prostorech“ (PDF), Journal of Algebra, 4: 117–172, doi:10.1016/0021-8693(66)90054-8
• Bruck, R. H.; Bose, R. C. (1964), „Konstrukce překladových rovin z projektivních prostorů“ (PDF), Journal of Algebra, 1: 85–102, doi:10.1016/0021-8693(64)90010-9
• Czerwinski, Terry; Oakden, David (1992). „Překladové roviny řádu dvacet pět“. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 59 (2): 193–217. doi:10.1016/0097-3165(92)90065-3.
• Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, PAN  0233275
• Dempwolff, U. (1994). "Překladové roviny řádu 27". Designy, kódy a kryptografie. 4 (2): 105–121. doi:10.1007 / BF01578865. ISSN  0925-1022. S2CID  12524473.
• Dover, Jeremy M. (2019-02-27). Msgstr "Rodokmen překladových rovin řádu 25". arXiv:1902.07838 [math.CO ].
• Hall, Marshall (1943), „Projektivní roviny“ (PDF), Trans. Amer. Matematika. Soc., 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, JSTOR  1990331
• Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projektivní roviny, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Johnson, Norman L .; Jha, Vikram; Biliotti, Mauro (2007), Příručka konečných překladových rovin, Chapman & Hall / CRC, ISBN  978-1-58488-605-1
• Knuth, Donald E. (1965), „Třída projektivních rovin“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 115: 541–549, doi:10.2307/1994285, JSTOR  1994285
• Lüneburg, Heinz (1980), Překladové roviny, Berlín: Springer Verlag, ISBN  0-387-09614-0
• Mathon, Rudolf; Royle, Gordon F. (1995). „Překladové roviny řádu 49“. Designy, kódy a kryptografie. 5 (1): 57–72. doi:10.1007 / BF01388504. ISSN  0925-1022. S2CID  1925628.
• McKay, Brendan D .; Royle, Gordon F. (2014). "V PG (3,8) je 2834 spready linek". arXiv:1404.1643 [math.CO ].
• Moorhouse, Eric (2007), Geometrie dopadu (PDF), archivovány z originál (PDF) dne 29. 10. 2013
• Reifart, Arthur (1984). "Klasifikace překladových rovin řádu 16, II". Geometriae Dedicata. 17 (1). doi:10.1007 / BF00181513. ISSN  0046-5755. S2CID  121935740.
• Sherk, F. A .; Pabst, Günther (1977), "Indikátorové sady, pravidla a nová třída spready" (PDF), Kanadský žurnál matematiky, 29 (1): 132–54, doi:10.4153 / CJM-1977-013-6

Další čtení

• Mauro Biliotti, Vikram Jha, Norman L. Johnson (2001) Základy překladových rovin, Marcel Dekker ISBN  0-8247-0609-9 .

externí odkazy

• Přednášky o projektivní geometrii
• Publikace Keitha Mellingera