Hallovo letadlo - Hall plane - Wikipedia

V matematice, a Hallovo letadlo je nedesarguesovská projektivní rovina postavil Marshall Hall Jr. (1943).^[1] Existují příklady řádu ${ displaystyle p ^ {2n}}$ za každou premiéru p a každé kladné celé číslo n pokud ${ displaystyle p ^ {2n}> 4}$.^[2]

Algebraická konstrukce pomocí Hallových systémů

Původní konstrukce letadel Hall byla založena na hale quasifield (také nazývaný a Hallův systém), H řádu ${ displaystyle p ^ {2n}}$ pro p hlavní. Konstrukce letadla je standardní konstrukce založená na kvasifieldu (viz Quasifield # Projektivní letadla pro podrobnosti.).

Chcete-li postavit Hall Quasifield, začněte s Galoisovo pole, ${ displaystyle F = operatorname {GF} (p ^ {n})}$ pro p prvočíslo a kvadratický neredukovatelný polynom ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} -rx-s}$ přes F. Rozšířit ${ displaystyle H = F krát F}$, dvourozměrný vektorový prostor F, do pole quasifield definováním násobení na vektorech pomocí ${ displaystyle (a, b) circ (c, d) = (ac-bd ^ {- 1} f (c), ad-bc + br)}$ když ${ displaystyle d neq 0}$ a ${ displaystyle (a, b) circ (c, 0) = (ac, bc)}$ v opačném případě.

Psaní prvků H z hlediska základu <1, λ>, tj. identifikace (X,y) s X + λy tak jako X a y měnit se F, můžeme identifikovat prvky F jako objednané páry (X, 0), tj. X + λ0. Vlastnosti definované násobení, které mění pravý vektorový prostor H do quasifield jsou:

1. každý prvek α z H ne v F splňuje kvadratickou rovnici f (α) = 0;
2. F je v jádře H (což znamená, že (α + β) c = αc + βc a (αβ) c = α (βc) pro všechna α, β v H a vše v F); a
3. každý prvek F dojíždí (multiplikativně) se všemi prvky H.^[3]

Derivace

Další konstrukce, která produkuje Hallovy roviny, se získá aplikací derivace na Desarguesiánská letadla.

Proces, způsobený T. G. Ostromem, který nahrazuje určité sady čar v projektivní rovině alternativními sadami takovým způsobem, že nová struktura je stále projektivní rovinou, se nazývá derivace. Uvádíme podrobnosti tohoto procesu.^[4] Začněte s projektivní rovina ${ displaystyle pi}$ řádu ${ displaystyle n ^ {2}}$ a určit jeden řádek ${ displaystyle ell}$ jako jeho čára v nekonečnu. Nechat A být afinní letadlo ${ displaystyle pi setminus ell}$. Sada D z ${ displaystyle n + 1}$ body ${ displaystyle ell}$ se nazývá a odvozovací sada pokud pro každou dvojici odlišných bodů X a Y z A které určují liniovou schůzku ${ displaystyle ell}$ v bodě D, tady je Baer subplane obsahující X, Y a D (říkáme, že takové Baerovy roviny patřit na D.) Definujte novou afinní rovinu ${ displaystyle operatorname {D} (A)}$ takto: Body z ${ displaystyle operatorname {D} (A)}$ jsou body A. Řádky ${ displaystyle operatorname {D} (A)}$ jsou řádky ${ displaystyle pi}$ které nesplňují ${ displaystyle ell}$ v bodě D (omezeno na A) a Baerovy letouny, které patří D (omezeno na A). Sada ${ displaystyle operatorname {D} (A)}$ je afinní rovina řádu ${ displaystyle n ^ {2}}$ a to, nebo jeho projektivní dokončení, se nazývá a odvozené letadlo.^[5]

Vlastnosti

1. Halová letadla jsou překladové roviny.
2. Hallova rovina řádu 9 je jedinou projektivní rovinou Typ Lenz-Barlotti IVa.3, konečné nebo nekonečné.^[6] Všechna ostatní Hallova letadla jsou typu Lenz-Barlotti typu IVa.1.
3. Všechny konečné Hallovy roviny stejného řádu jsou izomorfní.
4. Halová letadla nejsou self-dual.
5. Všechna konečná Hallova letadla obsahují podroviny řádu 2 (Fano subplanes ).
6. Všechna konečná Hallova letadla obsahují podroviny řádu odlišného od 2.
7. Halová letadla jsou André letadla.

Nejmenší Hallovo letadlo (objednávka 9)

Hallův letoun řádu 9 ve skutečnosti našel dříve Oswald Veblen a Joseph Wedderburn v roce 1907.^[7] Existují čtyři kvasifieldy řádu devět, které lze použít ke konstrukci Hallovy roviny řádu devět. Tři z nich jsou Hallovy systémy generované neredukovatelnými polynomy ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} +1}$, ${ displaystyle g (x) = x ^ {2} -x-1}$ nebo ${ displaystyle h (x) = x ^ {2} + x-1}$. ^[8] První z nich vytváří asociativní quasifield,^[9] to je, a blízko pole A právě v této souvislosti letadlo objevili Veblen a Wedderburn. Tato rovina je často označována jako blízká rovina řádu devíti.

Poznámky

Reference

• Dembowski, P. (1968), Konečné geometrie, Berlín: Springer-Verlag
• Hall Jr., Marshall (1943), „Projektivní letadla“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 54: 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, PAN  0008892
• D. Hughes a F. Piper (1973). Projektivní roviny. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90044-6.
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projektivní roviny, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN  0-7167-0443-9
• Veblen, Oscar; Wedderburn, Joseph H.M. (1907), „Nedesarguesiánské a nepaskalské geometrie“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 8: 379–388, doi:10.2307/1988781
• Weibel, Charles (2007), „Průzkum nedesarguesovských letadel“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 54 (10): 1294–1303