Regulus (geometrie) - Regulus (geometry)

V trojrozměrném prostoru, a regulus R je sada šikmé čáry, z nichž každý bod je na a příčný který protíná prvek R pouze jednou, a to tak, že každý bod v příčném směru leží na řadě R
Sada příčných řezů R tvoří opačný regulus S. V ℝ3 unie R ∪ S je ovládaný povrch a hyperboloid jednoho listu.
Regulus určují tři šikmé čáry:
- Místo linií, které splňují tři dané šikmé linie, se nazývá a regulus. Gallucciho věta ukazuje, že řádky, které se setkávají s generátory regulu (včetně původních tří linií), tvoří další „přidružený“ regulus, takže každý generátor kteréhokoli z regulusů se setkává s každým generátorem druhého. Dva reguli jsou dva systémy generátorů a vládl quadric.[1]
Podle Charlotte Scott „Regulus poskytuje extrémně jednoduché důkazy o vlastnostech kuželosečky ... Chaslesovy věty, Brianchone, a Pascal ..."[2]
V konečná geometrie PG (3, q), má regulus q + 1 řádek.[3] Například v roce 1954 William Edge popsal dvojici pravidel se čtyřmi liniemi v PG (3,3).[4]
Robert J. T. Bell popsal, jak je regulus generován pohybující se přímkou. Nejprve hyperboloid se započítává jako
Poté tuto rovnici splňují dva systémy čar, parametrizované pomocí λ a μ:
- a
Žádný člen první sady řádků není členem druhé. Jak se mění λ nebo μ, generuje se hyperboloid. Tyto dvě sady představují regulus a jeho opak. Použitím analytická geometrie Bell dokazuje, že se neprotínají žádné dva generátory v množině a že jakýkoli dva generátory v opačných regulích se protínají a tvoří rovinu tečnou k hyperboloidu v daném bodě. (strana 155).[5]
Viz také
Reference
- ^ H. S. M. Coxeter (1969) Úvod do geometrie, strana 259, John Wiley & Sons
- ^ Charlotte Angas Scott (1905) Základní úprava kuželoseček pomocí regulu, Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 1–7
- ^ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projektivní geometrie, strana 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1
- ^ W. L. Edge (1954) "Geometrie tří rozměrů nad GF (3)", Sborník Královské společnosti A 222: 262–86 doi:10.1098 / rspa.1954.0068
- ^ Robert J. T. Bell (1910) Základní pojednání o souřadnicové geometrii tří dimenzí, strana 148, přes Internetový archiv
- H. G. Forder (1950) Geometrie, strana 118, Hutchinsonova univerzitní knihovna.