Theta korespondence - Theta correspondence

v matematika, theta korespondence nebo Howe korespondence je matematický vztah mezi reprezentace ze dvou skupiny a redukční dvojice. Místní korespondence theta se týká nesnížitelnosti přípustná prohlášení přes místní pole, zatímco globální theta korespondence je nesnížitelná automorfní reprezentace přes globální pole.

Korespondence theta byla zavedena uživatelem Roger Howe v Howe (1979). Jeho jméno vzniklo díky jeho původu v roce André Weil reprezentace teoretická formulace teorie theta série v Weil (1964). The Korespondence Shimura jak zkonstruoval Jean-Loup Waldspurger v Waldspurger (1980) a Waldspurger (1991) lze považovat za instanci korespondence theta.

Prohlášení

Založit

Nechat ${ displaystyle F}$ být lokálním nebo globálním polem, nikoli z charakteristický ${ displaystyle 2}$. Nechat ${ displaystyle W}$ být symplektický vektorový prostor přes ${ displaystyle F}$, a ${ displaystyle Sp (W)}$ the symplektická skupina.

Opravit a redukční dvojice ${ displaystyle (G, H)}$ v ${ displaystyle Sp (W)}$. Existuje klasifikace redukčních dvojic.^[1]

Místní theta korespondence

${ displaystyle F}$ je nyní místní pole. Opravte netriviální přísadu charakter ${ displaystyle psi}$ z ${ displaystyle F}$. Existuje a Weil zastoupení z metaplektická skupina ${ displaystyle Mp (W)}$ spojené s ${ displaystyle psi}$, které píšeme jako ${ displaystyle omega _ { psi}}$.

Vzhledem k redukčnímu dvojici ${ displaystyle (G, H)}$ v ${ displaystyle Sp (W)}$, jeden získá pár dojíždění podskupiny ${ displaystyle ({ widetilde {G}}, { widetilde {H}})}$ v ${ displaystyle Mp (W)}$ stažením projekční mapy z ${ displaystyle Mp (W)}$ na ${ displaystyle Sp (W)}$.

Místní korespondence theta je korespondence 1-1 mezi určitými neredukovatelnými přípustnými reprezentacemi ${ displaystyle { widetilde {G}}}$ a určitá neredukovatelná přípustná vyjádření ${ displaystyle { widetilde {H}}}$, získané omezením zastoupení Weil ${ displaystyle omega _ { psi}}$ z ${ displaystyle Mp (W)}$ do podskupiny ${ displaystyle { widetilde {G}} cdot { widetilde {H}}}$. Korespondenci definoval Roger Howe v Howe (1979). Tvrzení, že se jedná o korespondenci 1: 1, se nazývá Howe dualita domněnka.

Globální theta korespondence

Stephen Rallis ukázal verzi globálního domněnky o dualitě Howe pro cuspidální automorfní reprezentace přes globální pole za předpokladu platnosti domněnky o dualitě Howe pro všechna místní místa. ^[2]

Howe dualita domněnka

Definovat ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {G}})}$ soubor neredukovatelných přípustných vyjádření ${ displaystyle { widetilde {G}}}$, které lze realizovat jako kvocienty z ${ displaystyle omega _ { psi}}$. Definovat ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {H}})}$ a ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {G}} cdot { widetilde {H}})}$podobně.

The Howe dualita domněnka tvrdí to ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {G}} cdot { widetilde {H}})}$ je graf bijekce mezi ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {G}})}$ a ${ displaystyle { mathcal {R}} ({ widetilde {H}})}$.

Howeova dualita domněnka pro archimedean místní pole byla prokázána Roger Howe.^[3] Pro ${ displaystyle p}$-adic místní pole s ${ displaystyle p}$ zvláštní to bylo prokázáno Jean-Loup Waldspurger.^[4] Alberto Mínguez později poskytl důkaz pro dvojice dvojic typu II, jmenovitě páry obecné lineární skupiny, který pracuje pro libovolnou charakteristiku zbytku. .^[5] U ortogonálně-symplektických nebo unitárních dvojic bylo prokázáno Wee Teck Gan a Shuichiro Takeda. ^[6] Poslední případ kvaternionových dvojic byl dokončen Wee Teck Gan a Binyong Sun.^[7]

Viz také

• Redukční dvojice
• Metaplektická skupina

Reference

Bibliografie

• Gan, Wee Teck; Takeda, Shuichiro (2016), „Důkaz domněnky o dualitě Howe“, J. Amer. Matematika. Soc., 29 (2): 473–493
• Gan, Wee Teck; Slunce, Binyong (2017), „The Howe duality doctionure: quaternionic case“, in Cogdell, J .; Kim, J.-L .; Zhu, C.-B. (eds.), Teorie reprezentace, teorie čísel a neměnná teorie, Progr. Math., 323, Birkhäuser / Springer, str. 175–192.
• Howe, Roger E. (1979), „θ-series and invariant theory“, in Borel, A.; Casselman, W. (eds.), Automorfní formy, reprezentace a funkce L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), část 1, Proc. Symposy. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 275–285, ISBN  978-0-8218-1435-2, PAN  0546602
• Howe, Roger E. (1989), „Transcending klasický invariantní teorie“, J. Amer. Matematika. Soc., 2 (3): 535–552, doi:10.2307/1990942, JSTOR  1990942
• Kudla, Stephen S. (1986), „O místní theta-korespondenci“, Vymyslet. Matematika., 83 (2): 229–255
• Mínguez, Alberto (2008), „Correspondance de Howe explicite: paires duales de type II“, Ann. Sci. Éc. Norma. Supér., 4, 41 (5): 717–741
• Mœglin, Colette; Vignéras, Marie-Francie; Waldspurger, Jean-Loup (1987), Korespondence de Howe sur un corps p-adiquePřednášky z matematiky, 1291, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0082712, ISBN  978-3-540-18699-1, PAN  1041060
• Rallis, Stephen (1984), „O domněnce duality Howe“, Složení matematiky., 51 (3): 333–399
• Waldspurger, Jean-Loup (1980), „Correspondance de Shimura“, J. Math. Pures Appl., 59 (9): 1–132
• Waldspurger, Jean-Loup (1990), „Démonstration d'une conjecture de dualité de Howe dans le cas p-adique, p ≠ 2“, Festschrift na počest I. I. Piatetski-Shapiro u příležitosti jeho šedesátých narozenin, I. část, Israel Math. Konf. Proc., 2: 267–324
• Waldspurger, Jean-Loup (1991), „Correspondances de Shimura et quaternions“, Matematika fóra., 3 (3): 219–307, doi:10.1515 / forma.1991.3.219
• Weil, André (1964), „Sur certains groupes d'opérateurs unitaires“, Acta Math., 111: 143–211, doi:10.1007 / BF02391012