Steinerův řetěz - Steiner chain
v geometrie, a Steinerův řetěz je sada n kruhy, které jsou všechny tečné ke dvěma daným neprotínajícím se kruhům (modré a červené na obrázku 1), kde n je konečný a každý kruh v řetězci je tečný k předchozímu a dalšímu kruhu v řetězci. Obvykle Zavřeno Steinerovy řetězy, první a poslední (nth) kruhy jsou také navzájem tečné; naopak, v otevřeno Steinerovy řetězy, nemusí být. Dané kruhy α a β neprotínají se, ale jinak jsou neomezené; menší kruh může ležet úplně uvnitř nebo vně většího kruhu. V těchto případech leží středy kruhů Steinerova řetězce na elipsa nebo a hyperbola, resp.
Steinerovy řetězy jsou pojmenovány po Jakob Steiner, který je definoval v 19. století a objevil mnoho z jejich vlastností. Zásadním výsledkem je Steiner porismus, které státy:
- Pokud alespoň jeden uzavřený Steinerův řetězec n kruhy existují pro dva dané kruhy α a β, pak existuje nekonečné množství uzavřených Steinerových řetězců n kruhy; a jakýkoli kruh dotýkající se α a β stejným způsobem je členem takového řetězce.
„Tečna stejným způsobem“ znamená, že libovolná kružnice je interně nebo externě tečna stejným způsobem jako kružnice původního Steinerova řetězce. Porismus je typ věty týkající se počtu řešení a podmínek na něm. Porismy často popisují geometrický útvar, který nemůže existovat, pokud není splněna podmínka, ale jinak může existovat v nekonečném počtu; dalším příkladem je Ponceletův porismus.
Metoda inverze kruhu je užitečné při léčbě Steinerových řetězů. Jelikož zachovává tangenty, úhly a kružnice, inverze transformuje jeden Steinerův řetězec na jiný se stejným počtem kruhů. Jedna konkrétní volba inverze transformuje dané kruhy α a β do soustředných kruhů; v takovém případě mají všechny kruhy Steinerova řetězce stejnou velikost a mohou se „otáčet“ kolem v prstenec mezi kruhy podobné kuličková ložiska. Tato standardní konfigurace umožňuje odvodit několik vlastností Steinerových řetězců, např. Body dotyčnic vždy leží na kruhu. Existuje několik zevšeobecnění Steinerových řetězců, zejména Soddyho hexlet a Pappusovy řetězy.[1]
Definice a typy tečnosti
Sedm kruhů tohoto Steinerova řetězce (černá) je z vnější strany tečna k danému vnitřnímu kruhu (červená), ale vnitřně tečná k vnějšímu danému kruhu (modrá).
Sedm kruhů tohoto Steinerova řetězce (černá) je externě tečna k oběma daným kruhům (červené a modré), které leží mimo sebe.
Sedm z 8 kruhů tohoto Steinerova řetězce (černé) je externě tečné k oběma daným kruhům (červené a modré); 8. kruh je vnitřně tečný k oběma.
Dva dané kruhy α a β nemůže protínat; menší kruh tedy musí ležet uvnitř nebo vně většího. Kruhy se obvykle zobrazují jako prstenec, tj. s menším daným kruhem uvnitř většího. V této konfiguraci jsou kruhy Steinerova řetězce externě tečné k vnitřní dané kružnici a interně tečné k vnější kružnici. Menší kruh však může také ležet úplně mimo ten větší (obrázek 2). Černé kruhy na obrázku 2 splňují podmínky pro uzavřený Steinerův řetězec: všechny jsou tečné ke dvěma daným kruhům a každá je tečná ke svým sousedům v řetězci. V této konfiguraci mají kruhy Steinerova řetězce stejný typ tečnosti k oběma daným kružnicím, buď externě nebo interně tečně k oběma. Pokud jsou dvě dané kružnice tečné v bodě, stane se Steinerův řetězec nekonečným Řetěz Pappus, o kterém se často diskutuje v kontextu arbelos (obuvnický nůž), geometrický útvar vytvořený ze tří kruhů. Neexistuje obecný název pro posloupnost kružnic tečny ke dvěma daným kružnicím, které se protínají ve dvou bodech.
Uzavřené, otevřené a multicyklické
Uzavřený Steinerův řetězec devíti kruhů. První a 9. kruh jsou tečny.
Otevřete Steinerův řetězec devíti kruhů. 1. a 9. kruh se překrývají.
Multicyklický Steinerův řetězec 17 kruhů ve 2 zábalech. 1. a 17. kruh se dotýkají.
Dva dané kruhy α a β dotkněte se n kruhy Steinerova řetězce, ale každý kruh Ck Steinerova řetězce se dotkne pouze čtyř kruhů: α, βa jeho dva sousedé, Ck−1 a Ck+1. Ve výchozím nastavení se předpokládá, že Steinerovy řetězy jsou Zavřeno, tj. první a poslední kruh jsou navzájem tečny. Naproti tomu otevřeno Steinerův řetězec je ten, ve kterém první a poslední kruh, C1 a Cn, nejsou navzájem tečna; tyto kruhy jsou tečny pouze k tři kruhy. Multicyklické Steinerovy řetězy se před uzavřením vícekrát obtočí kolem vnitřního kruhu, tj. Před tečnou k počátečnímu kruhu.
Uzavřené Steinerovy řetězce jsou systémy kruhů získané jako věta o kruhu zastoupení a bipyramid.
Kruhový případ a kritérium proveditelnosti
n = 3
n = 6
n = 9
n = 12
n = 20
Nejjednodušší typ Steinerova řetězce je uzavřený řetězec n kruhy stejné velikosti obklopující vepsaný kruh o poloměru r; řetěz kruhů je sám obklopen ohraničenou kružnicí o poloměru R. Napsané a ohraničené dané kruhy jsou soustředné a kruhy Steinerova řetězce leží v prstenec mezi nimi. Symetricky, úhel 2θ mezi středy kruhů Steinerova řetězu je 360 ° /n. Protože Steinerovy kruhové řetězce jsou navzájem tečny, vzdálenost mezi jejich středy se rovná součtu jejich poloměrů, zde dvakrát jejich poloměru ρ. Úsečka (na obrázku zelená) vytváří dva pravé trojúhelníky se středním úhlem θ = 180°/n. The sinus tohoto úhlu lze zapsat jako délku jeho protilehlého segmentu dělenou přeponou pravého trojúhelníku
Od té doby θ je známo z n, poskytuje rovnici pro neznámý poloměr ρ kruhů Steinerova řetězu
Tečné body Steinerova kruhového řetězce s vnitřními a vnějšími danými kruhy leží na přímce, která prochází jejich společným středem; tedy vnější poloměr R = r + 2ρ.
Tyto rovnice poskytují kritérium pro proveditelnost Steinerova řetězce pro dva dané soustředné kruhy. Uzavřený Steinerův řetězec n kruhy vyžaduje poměr poloměrů R/r daných kruhů přesně odpovídá
Jak je znázorněno níže, toto kritérium poměru poloměrů pro soustředné dané kruhy lze rozšířit na všechny typy daných kruhů inverzní vzdálenost δ ze dvou daných kruhů. Pro soustředné kruhy je tato vzdálenost definována jako logaritmus jejich poměru poloměrů
Pomocí řešení pro soustředné kruhy je obecným kritériem pro Steinerův řetězec n lze psát kruhy
Pokud má multicyklický prstencový řetěz Steiner n celkem kruhů a obtočení m krát před uzavřením se úhel mezi kruhy Steinerova řetězce rovná
V ostatních ohledech se kritérium proveditelnosti nemění.
Vlastnosti v inverzi
Dva kruhy (růžové a azurové), které jsou vnitřně tečné k oběma daným kruhům a jejichž středy jsou kolineární se středem daných kruhů, se protínají pod úhlem 2θ.
Při inverzi se z těchto čar a kruhů stanou kruhy se stejným úhlem průniku, 2θ. Zlaté kruhy protínají dva dané kruhy v pravých úhlech, tj. Kolmo.
Kruhy procházející vzájemnými tečnými body kruhů Steinerova řetězce jsou kolmé ke dvěma daným kruhům a protínají se navzájem v násobcích úhlu 2θ.
Kruhy procházející tečnými body kružnic Steinerova řetězce se dvěma danými kružnicemi jsou vůči nim kolmé a protínají se v násobcích úhlu 2θ.
Inverze kruhu transformuje jeden Steinerův řetězec na jiný se stejným počtem kruhů.
V transformovaném řetězci leží tečné body mezi sousedními kružnicemi Steinerova řetězce na kruhu, a to soustředný kruh uprostřed mezi dvěma pevnými soustřednými kružnicemi. Protože tečny a kružnice jsou zachovány pod inverzí, tato vlastnost všech tečen ležících na kružnici platí také v původním řetězci. Tato vlastnost je také sdílena s Řetěz Pappus kruhů, které lze vyložit jako zvláštní omezující případ Steinerova řetězce.
V transformovaném řetězci tečny z Ó k Steinerově řetězci jsou kruhy odděleny stejnými úhly. V původním řetězci to odpovídá stejným úhlům mezi tečnými kružnicemi, které procházejí středem inverze, použitým k transformaci původních kruhů na soustřednou dvojici.
V transformovaném řetězci je n procházejí čáry spojující dvojice tečných bodů Steinerových kruhů se soustřednými kružnicemi Ó, společné centrum. Podobně n procházejí také čáry tečné ke každému páru sousedních kruhů v Steinerově řetězci Ó. Vzhledem k tomu, že čáry procházející středem inverze jsou invariantní pod inverzí a protože tečnost a souběh jsou zachovány pod inverzí, 2n čáry spojující odpovídající body v původním řetězci také procházejí jediným bodem, Ó.
Nekonečná rodina
Steinerův řetězec mezi dvěma neprotínajícími se kruhy lze vždy transformovat do jiného Steinerova řetězce stejně velkých kruhů vložených mezi dva soustředné kruhy. Proto jakýkoli takový Steinerův řetězec patří do nekonečné rodiny Steinerových řetězců souvisejících rotací transformovaného řetězce kolem Ó, společný střed transformovaných ohraničujících kruhů.
Eliptický / hyperbolický lokus center
Středy kruhů Steinerova řetězce leží na a kuželovitý řez. Například pokud menší daný kruh leží uvnitř většího, středy leží na elipsa. To platí pro jakoukoli sadu kruhů, které jsou vnitřně tečné k jedné dané kružnici a externě tečné k druhé; takové systémy kruhů se objevují v Řetěz Pappus, problém Apollónia a trojrozměrný Soddyho hexlet. Podobně, pokud jsou některé kruhy Steinerova řetězce externě tečné k oběma daným kruhům, jejich středy musí ležet na hyperbole, zatímco ty, které jsou interně tečné k oběma, leží na jiné hyperbole.
Kruhy Steinerova řetězce jsou tečny ke dvěma pevným kruhům, zde označeným jako α a β, kde β je uzavřenα. Nechť jsou poloměry těchto dvou kruhů označeny jako rα a rβ, respektive, a nechť jejich příslušná centra jsou body A a B. Nechte poloměr, průměr a střed bodu kth kruh Steinerova řetězce bude označen jako rk, dk a Pk, resp.
Všechny středy kruhů v Steinerově řetězci jsou umístěny na společné elipsa, z následujícího důvodu.[2] Součet vzdáleností od středu bodu kth kruh Steinerova řetězce do dvou středů A a B pevných kruhů se rovná konstantě
Součet vzdáleností k pro všechny středy kruhů Steinerova řetězce A a B se rovná stejné konstantě, rα + rβ. To definuje elipsu, jejíž dvě ohniska jsou body A a B, středy kruhů, α a β, že sendvič Steiner řetěz kruhů.
Součet vzdáleností k ohniskům se rovná dvojnásobku poloviční hlavní osa A elipsy; proto,
Nechat p rovná se vzdálenost mezi ložisky, A a B. Poté excentricita E je definován 2 ae = pnebo
Z těchto parametrů je poloviční vedlejší osa b a semi-latus rectum L lze určit
Elipsu lze proto popsat pomocí rovnice, pokud jde o její vzdálenost d na jedno zaměření
kde θ je úhel s přímkou spojující dvě ohniska.
Konjugované řetězy
Steinerův řetěz se dvěma danými kruhy zobrazenými červeně a modře.
Stejná sada kruhů, ale s jinou volbou daných kruhů.
Stejná sada kruhů, ale s ještě dalším výběrem daných kruhů.
Pokud má Steinerův řetězec sudý počet kruhů, lze libovolné dva diametrálně protilehlé kruhy v řetězci považovat za dva dané kruhy nového Steinerova řetězce, ke kterému původní kruhy patří. Pokud má původní řetěz Steiner n kruhy v m zábaly a nový řetěz má p kruhy v q obtékání, pak platí rovnice
Jednoduchý příklad nastává pro Steinerovy řetězce čtyř kruhů (n = 4) a jeden zábal (m = 1). V tomto případě jsou dané kružnice a kruhy Steinerova řetězce ekvivalentní v tom, že oba typy kružnic jsou tečné ke čtyřem dalším; obecněji jsou kruhy Steinerova řetězce tečné ke čtyřem kruhům, ale dva dané kruhy jsou tečné n kruhy. V tomto případě může být jakákoli dvojice protilehlých členů Steinerova řetězce vybrána jako dané kruhy jiného Steinerova řetězce, který zahrnuje původní dané kruhy. Od té doby m = p = 1 a n = q = 4, Steinerova rovnice je splněna:
Zobecnění
Nejjednodušší zobecnění Steinerova řetězce je umožnit dotyčným kruhům vzájemně se dotýkat nebo protínat. V prvním případě to odpovídá a Řetěz Pappus, který má nekonečné množství kruhů.
Soddyho hexlet je trojrozměrné zobecnění Steinerova řetězce šesti kruhů. Středy šesti sfér ( hexlet) cestovat podél stejné elipsy jako středy příslušného Steinerova řetězce. Obálka hexletových koulí je a Dupin cyklid, inverze a torus. Šest koulí je tečna nejen vnitřní a vnější sféry, ale také dvou dalších koulí, které jsou soustředěny nad a pod rovinou středů hexletů.
Několik prstenců Steinerových řetězů je dalším zevšeobecněním. Obyčejný Steinerův řetězec se získá převrácením prstencového řetězce tečných kruhů ohraničených dvěma soustřednými kružnicemi. To lze zobecnit na převrácení tří nebo více soustředných kruhů, které sendvičují prstencové řetězce tečných kruhů.
Hierarchické Steinerovy řetězce jsou dalším zobecněním. Pokud jsou dva dané kruhy běžného Steinerova řetězce vnořeny, tj. Pokud jeden leží zcela uvnitř druhého, pak větší daný kruh popisuje Steinerovy řetězce. V hierarchickém Steinerově řetězci je každý kruh Steinerova řetězce sám popisujícím daným kruhem jiného Steinerova řetězce v něm; tento proces může být opakován na neurčito, tvořící a fraktální.
Viz také
Reference
Bibliografie
- Ogilvy, C. S. (1990). Exkurze v geometrii. Doveru. str.51–54. ISBN 0-486-26530-7.
- Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967). Geometrie Revisited. Nová matematická knihovna. 19. Washington: MAA. str. 123–126, 175–176, 180. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402.
- Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: Elementární pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu (dotisk edice z roku 1929 Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. str. 113–115. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Wells D (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.244–245. ISBN 0-14-011813-6.
Další čtení
- Eves H (1972). Přehled geometrie (přepracované vydání). Boston: Allyn a Bacon. str. 134–135. ISBN 978-0-205-03226-6.
- Pedoe D (1970). Kurz geometrie pro vysoké školy a univerzity. Cambridge University Press. 97–101. ISBN 978-0-521-07638-8.
- Coolidge JL (1916). Pojednání o kruhu a sféře. Oxford: Clarendon Press. 31–37.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Steinerův řetěz“. MathWorld.
- Interaktivní animace Steinerova řetězce, CodePen
- Interaktivní applet Michael Borcherds ukazující animaci Steinerova řetězce s proměnným počtem kruhů vytvořených pomocí GeoGebra.