Energie Willmore - Willmore energy

"Willmore Surface" socha na Durham University na památku Thomase Willmora

v diferenciální geometrie, Energie Willmore je kvantitativní měřítko toho, kolik je dáno povrch odchyluje se od kola koule. Matematicky je Willmoreova energie a hladký uzavřený povrch vložený v trojrozměrném Euklidovský prostor je definován jako integrální náměstí náměstí střední zakřivení minus Gaussovo zakřivení. Je pojmenován po anglickém geometru Thomas Willmore.

Definice

Symbolicky vyjádřeno, Willmoreova energie S je:

${ displaystyle { mathcal {W}} = int _ {S} H ^ {2} , dA- int _ {S} K , dA}$

kde ${ displaystyle H}$ je střední zakřivení, ${ displaystyle K}$ je Gaussovo zakřivení, a dA je oblastní forma S. U uzavřeného povrchu pomocí Věta o Gauss-Bonnetovi, integrál Gaussova zakřivení lze vypočítat z hlediska Eulerova charakteristika ${ displaystyle chi (S)}$ povrchu, takže

${ displaystyle int _ {S} K , dA = 2 pi chi (S),}$

což je topologický invariant a tedy nezávislé na konkrétním vložení do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ to bylo vybráno. Energii Willmore lze tedy vyjádřit jako

${ displaystyle { mathcal {W}} = int _ {S} H ^ {2} , dA-2 pi chi (S)}$

Alternativní, ale ekvivalentní vzorec je

${ displaystyle { mathcal {W}} = {1 nad 4} int _ {S} (k_ {1} -k_ {2}) ^ {2} , dA}$

kde ${ displaystyle k_ {1}}$ a ${ displaystyle k_ {2}}$ jsou hlavní zakřivení povrchu.

Vlastnosti

Energie Willmore je vždy větší nebo rovna nule. Kolem koule má nulovou Willmore energii.

Energii Willmore lze považovat za funkční v prostoru vložení daného povrchu ve smyslu variační počet, a je možné měnit vložení povrchu a ponechat jej topologicky nezměněný.

Kritické body

Základní problém v variační počet je najít kritické body a minima funkčního.

Pro daný topologický prostor je to ekvivalentní nalezení kritických bodů funkce

${ displaystyle int _ {S} H ^ {2} , dA}$

protože Eulerova charakteristika je konstantní.

Lze najít (místní) minima pro energii Willmore podle klesání, který se v této souvislosti nazývá Willmore flow.

Pro vložení koule do 3 prostoru byly kritické body klasifikovány:^[1] všichni jsou konformní transformace z minimální povrchy, kulatá koule je minimum a všechny ostatní kritické hodnoty jsou celá čísla větší nebo rovná 4${ displaystyle pi}$. Nazývají se povrchy Willmore.

Willmore teče

The Willmore teče je geometrický tok odpovídá energii Willmore; je to ${ displaystyle L ^ {2}}$-gradientní tok.

${ displaystyle e [{ mathcal {M}}] = { frac {1} {2}} int _ { mathcal {M}} H ^ {2} , mathrm {d} A}$

kde H znamená střední zakřivení z potrubí ${ displaystyle { mathcal {M}}}$.

Průtoková potrubí splňují diferenciální rovnici:

${ displaystyle částečné _ {t} x (t) = - nabla { mathcal {W}} [x (t)] ,}$

kde ${ displaystyle x}$ je bod náležející k povrchu.

Tento tok vede k problému evoluce v diferenciální geometrie: povrch ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ se vyvíjí v čase, aby sledoval variace nejstrmějšího sestupu energie. Jako povrchová difúze je to tok čtvrtého řádu, protože variace energie obsahuje deriváty čtvrtého řádu.

Aplikace

• Buněčné membrány mají tendenci se umisťovat tak, aby minimalizovali Willmoreovu energii.^[2]
• Energie Willmore se používá při konstrukci třídy optima koule eversions, minimax eversions.

Viz také

• Willmore domněnka

Poznámky

Reference

• Willmore, T. J. (1992), „An survey on Willmore imerions“, Geometrie and Topology of Submanifolds, IV (Leuven, 1991)„River Edge, NJ: World Scientific, s. 11–16, PAN  1185712.