N-připojený prostor - N-connected space

V matematický pobočka algebraická topologie konkrétně teorie homotopy, n- propojenost (někdy, n- jednoduchá propojenost) zobecňuje pojmy propojenost cest a jednoduchá propojenost. Říct, že prostor je n-connected znamená říci, že je to první n homotopy skupiny jsou triviální, a říci, že mapa je n-připojeno znamená, že se jedná o izomorfismus "do dimenze n, v homotopy ".

n- propojený prostor

A topologický prostor X se říká, že je n-připojeno (pro pozitivní n) pokud není prázdný, spojeno s cestou a jeho první n homotopické skupiny zmizí stejně, to znamená

{displaystyle pi _ {i} (X) cong 0, quad 1leq ileq n,}

kde ${displaystyle pi _ {i} (X)}$ označuje i-th homotopická skupina a 0 označuje triviální skupinu.^[1]

Požadavky na neprázdnost a připojení k cestě lze interpretovat jako (-1) -připojeno a 0 připojeno, což je užitečné při definování 0-spojených a 1-spojených map, jak je uvedeno níže. 0-th homotopy set lze definovat jako:

{displaystyle pi _ {0} (X, *): = [(S ^ {0}, *), (X, *)].}

Toto je jen a špičatá sada, ne skupina, pokud X je sám o sobě topologická skupina; rozlišující bod je třída triviální mapy, odesílání S⁰ do základního bodu X. Pomocí této sady je prostor připojen k 0 právě tehdy, když je 0. sada homotopy sadou jednoho bodu. Definice skupin homotopy a tato sada homotopy to vyžadují X být špičatý (mít vybraný základní bod), což nelze provést, pokud X je prázdný.

Topologický prostor X je spojeno s cestou právě když jeho 0-ta homotopická skupina zmizí shodně, protože spojitost cesty znamená, že jakékoli dva body X₁ a X₂ v X lze spojit s a kontinuální cesta který začíná v X₁ a končí v X₂, což odpovídá tvrzení, že každý mapování z S⁰ (A diskrétní sada dvou bodů) až X lze průběžně deformovat na konstantní mapu. S touto definicí můžeme definovat X být n-připojeno kdyby a jen kdyby

{displaystyle pi _ {i} (X) simeq 0, quad 0leq ileq n.}

Příklady

Prostor X je (−1) připojeno právě tehdy, pokud není prázdné.
Prostor X je připojen 0, pouze pokud není prázdný a spojeno s cestou.
Prostor je propojen 1, pokud a pouze pokud je jednoduše připojeno.
An n-koule je (n - 1) -připojeno.

n-připojená mapa

Korespondence relativní pojem k absolutní pojem n-připojeno prostor je n-připojeno mapa, který je definován jako mapa, jejíž homotopy vlákno Ff je (n - 1) propojený prostor. Pokud jde o homotopické skupiny, znamená to, že mapa ${displaystyle fcolon X o Y}$ je n-připojeno tehdy a jen tehdy, když:

${displaystyle pi _ {i} (f) dvojtečka pi _ {i} (X) {přesahující {sim} {o}} pi _ {i} (Y)}$ je izomorfismus pro ${displaystyle i$ , a
${displaystyle pi _ {n} (f) dvojtečka pi _ {n} (X) šipka vpravo pi _ {n} (Y)}$ je surjection.

Poslední podmínka je často matoucí; je to proto, že zmizení (n - 1) - první homotopická skupina homotopy vlákno Ff odpovídá podezření na n^th homotopické skupiny, v přesném pořadí:

{displaystyle pi _ {n} (X) {overset {pi _ {n} (f)} {o}} pi _ {n} (Y) o pi _ {n-1} (Ff).}

Pokud je skupina napravo ${displaystyle pi _ {n-1} (Ff)}$ zmizí, pak je mapa vlevo překvapením.

Nízkodimenzionální příklady:

Připojená mapa (0-připojená mapa) je ta, která je na komponentách cesty (0. skupina homotopy); to odpovídá tomu, že vlákno homotopy není prázdné.
Jednoduše připojená mapa (1-propojená mapa) je ta, která je izomorfismem na komponentách cesty (0. skupina homotopy) a na základní skupinu (1. skupina homotopy).

n-konektivitu pro prostory lze zase definovat z hlediska n-konektivita map: prostor X s základním bodem X₀ je n- propojený prostor právě tehdy, pokud je zahrnut základní bod ${displaystyle x_ {0} hookrightarrow X}$ je n-připojená mapa. Sada jediného bodu je stahovatelná, takže všechny její homotopické skupiny zmizí, a tedy „izomorfismus níže n a dále v n"odpovídá prvnímu n homotopické skupiny X mizející.

Výklad

To je poučné pro podmnožinu: an npropojené začlenění ${displaystyle Ahookrightarrow X}$ je takový, že až do dimenze n - 1, homotopie ve větším prostoru X lze v podskupině homotopovat na homotopie A.

Například pro mapu zařazení ${displaystyle Ahookrightarrow X}$ pro 1-připojení, musí být:

na ${displaystyle pi _ {0} (X),}$
jeden na jednoho ${displaystyle pi _ {0} (A) o pi _ {0} (X),}$ a
na ${displaystyle pi _ {1} (X).}$

Jeden na jednoho ${displaystyle pi _ {0} (A) o pi _ {0} (X)}$ znamená, že pokud existuje cesta spojující dva body ${displaystyle a, bin A}$ průchodem X, tam je cesta dovnitř A spojovat je, zatímco na ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ znamená, že ve skutečnosti cesta dovnitř X je homotopický k cestě dovnitř A.

Jinými slovy, funkce, na které je izomorfismus ${displaystyle pi _ {n-1} (A) o pi _ {n-1} (X)}$ znamená pouze to, že všechny prvky ${displaystyle pi _ {n-1} (A)}$ které jsou homotopické v X jsou abstraktně homotopický v A - homotopie v A nemusí souviset s homotopií v X - zatímco je n-připojeno (tedy také na ${displaystyle pi _ {n} (X)}$ ) znamená, že (až do dimenze n - 1) homotopie v X lze vložit do homotopií v A.

To poskytuje konkrétnější vysvětlení užitečnosti definice n- propojenost: například prostor, kde je zahrnuto kkostra je n-připojeno (pro n > k) - například zahrnutí bodu do n-sphere - má vlastnost, že mezi nimi jsou všechny buňky v rozměrech k a n neovlivňují typy homotopy nižší dimenze.

Aplikace

Koncept n- propojenost se používá v Hurewiczova věta který popisuje vztah mezi singulární homologie a vyšší homotopické skupiny.

v geometrická topologie, případy, kdy zahrnutí geometricky definovaného prostoru, například prostoru ponoření ${displaystyle M o N,}$ do obecnějšího topologického prostoru, jako je prostor všech spojitých map mezi dvěma přidruženými prostory ${displaystyle X (M) o X (N),}$ jsou n- propojené se říká, že splňují a princip homotopy nebo „h-princip“. Existuje řada výkonných obecných technik pro prokázání principů h.

Viz také

Reference

^ "n-připojený prostor v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-09-18.

[1] "n-připojený prostor v nLab". ncatlab.org. Citováno 2017-09-18.

[1]