Étale algebra - Étale algebra

v komutativní algebra, an étale nebo oddělitelný algebra je speciální typ algebry, který je izomorfní s konečným produktem oddělitelných rozšíření.

Definice

Nechat ${ displaystyle K}$ být pole a nechte ${ displaystyle L}$ být ${ displaystyle K}$-algebra. Pak ${ displaystyle L}$ je nazýván étale nebo oddělitelný -li ${ displaystyle L otimes _ {K} Omega simeq Omega ^ {n}}$ tak jako ${ displaystyle K}$-algebry, kde ${ displaystyle Omega}$ je algebraicky uzavřeno rozšíření ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle n geq 0}$ je celé číslo (Bourbaki 1990, strana A.V.28-30).

Ekvivalentně ${ displaystyle L}$ je étale, pokud je izomorfní s konečným produktem oddělitelných rozšíření ${ displaystyle K}$. Když jsou tyto rozšíření konečného stupně, ${ displaystyle L}$ se říká, že je konečný étale; v tomto případě lze nahradit ${ displaystyle Omega}$ s konečným oddělitelným prodloužením ${ displaystyle K}$ ve výše uvedené definici.

Třetí definice říká, že étale algebra je konečná dimenzionální komutativní algebra, jejíž stopová forma (X,y) = Tr (xy) je nedegenerovaný.

Název „algebra étale“ pochází ze skutečnosti, že konečná dimenzionální komutativní algebra nad polem je étale právě tehdy ${ displaystyle mathrm {Spec} , L to mathrm {Spec} , K}$ je étale morphism.

Příklady

Zvažte ${ displaystyle mathbb {Q}}$-algebra ${ displaystyle mathbb {Q} (i)}$. Toto je etal, protože se jedná o oddělitelné rozšíření pole.

Jednoduchý příklad není uveden v ${ displaystyle mathbb {R} [x] / (x ^ {2})}$ od té doby ${ displaystyle mathbb {R} [x] / (x ^ {2}) otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} cong mathbb {C} [x] / (x ^ {2 })}$.

Vlastnosti

Kategorie algebry étale nad polem k je ekvivalentní kategorii konečných G-sady (s nepřetržitým G-action), kde G je absolutní skupina Galois z k. Zejména étale algebry dimenze n jsou klasifikovány třídami konjugace spojitých homomorfismů z absolutní skupiny Galois do skupiny symetrické S_n.

Reference

• Bourbaki, N. (1990), Algebra. II. Kapitoly 4–7., Elements of Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  3-540-19375-8, PAN  1080964
• Milne, James, Teorie pole http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf