Střední kvadratická - Root mean square

v matematika a jeho aplikace, střední kvadratická (RMS nebo rms) je definován jako odmocnina z střední čtverec (dále jen aritmetický průměr z čtverce a soubor čísel).^[1]RMS je také známý jako kvadratický průměr^[2]^[3] a je konkrétním případem zobecněný průměr s exponentem 2. RMS lze také definovat pro kontinuálně se měnící funkce ve smyslu integrální čtverců okamžitých hodnot během cyklu.

Pro střídavý elektrický proud, RMS se rovná hodnotě stejnosměrný proud který by produkoval stejný průměrný ztrátový výkon v a odporová zátěž.^[1]

v teorie odhadu, odchylka od odmocniny odhadce je míra nedokonalosti přizpůsobení odhadce datům.

Definice

Hodnota RMS sady hodnot (nebo a nepřetržitý čas křivka ) je druhá odmocnina aritmetického průměru druhých mocnin hodnot nebo druhá mocnina funkce, která definuje spojitý tvar vlny. Ve fyzice lze hodnotu proudu RMS definovat také jako „hodnotu stejnosměrného proudu, který rozptyluje stejnou sílu v rezistoru“.

V případě souboru n hodnoty ${ displaystyle {x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n} }}$ , RMS je

{ displaystyle x _ { text {RMS}} = { sqrt {{ frac {1} {n}} vlevo (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} right)}}.}

Odpovídající vzorec pro spojitou funkci (nebo tvar vlny) F(t) definované v daném intervalu ${ displaystyle T_ {1} leq t leq T_ {2}}$ je

{ displaystyle f _ { text {RMS}} = { sqrt {{1 nad {T_ {2} -T_ {1}}} { int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} { [f (t)]} ^ {2} , dt}}},}

a RMS pro funkci po celou dobu je

{ displaystyle f _ { text {RMS}} = lim _ {T rightarrow infty} { sqrt {{1 over {T}} { int _ {0} ^ {T} {[f (t )]} ^ {2} , dt}}}.}

RMS po celou dobu a periodická funkce se rovná RMS jedné periody funkce. Hodnotu RMS spojité funkce nebo signálu lze aproximovat odebráním RMS vzorku sestávajícího ze stejně rozložených pozorování. Kromě toho lze RMS hodnotu různých tvarů vln také určit bez počet, jak ukazuje Cartwright.^[4]

V případě statistiky RMS a náhodný proces, očekávaná hodnota místo průměru se používá.

V běžných křivkách

Sinus, náměstí, trojúhelník, a pilovitý křivky.

Obdélníková pulzní vlna pracovního cyklu D, poměr mezi dobou trvání pulzu (

{ displaystyle tau}

) a období (T); zde ilustrováno pomocí A = 1.

Graf napětí sinusové vlny vs. čas (ve stupních), ukazující napětí RMS, špička (PK) a špička-špička (PP).

Pokud křivka je čistý sinusoida, vztahy mezi amplitudami (špička-špička, špička) a RMS jsou pevné a známé, stejně jako u jakékoli spojité periodicky mávat. To však neplatí pro libovolný průběh, který nemusí být periodický nebo spojitý. U nulové střední sinusové vlny je vztah mezi RMS a amplitudou špička-špička:

Vrchol

{ displaystyle = 2 { sqrt {2}} krát { text {RMS}} přibližně 2,8 krát { text {RMS}}.}

U jiných tvarů vln nejsou vztahy stejné jako u sinusových vln. Například pro trojúhelníkovou nebo pilovitou vlnu

Vrchol

{ displaystyle = 2 { sqrt {3}} krát { text {RMS}} přibližně 3,5 krát { text {RMS}}.}

Křivka	Proměnné a operátory	RMS
DC	${ displaystyle y = A_ {0} ,}$	${ displaystyle A_ {0} ,}$
Sinusoida	${ displaystyle y = A_ {1} sin (2 pi ft) ,}$	${ displaystyle { frac {A_ {1}} { sqrt {2}}}}$
Čtvercová vlna	${ displaystyle y = { begin {cases} A_ {1} & operatorname {frac} (ft) <0,5 - A_ {1} & operatorname {frac} (ft)> 0,5 end {cases}} }$	${ displaystyle A_ {1} ,}$
DC posunutá obdélníková vlna	${ displaystyle y = A_ {0} + { begin {cases} A_ {1} & operatorname {frac} (ft) <0,5 - A_ {1} & operatorname {frac} (ft)> 0,5 konec {případů}}}$	${ displaystyle { sqrt {A_ {0} ^ {2} + A_ {1} ^ {2}}} ,}$
Modifikovaná sinusová vlna	${ displaystyle y = { begin {cases} 0 & operatorname {frac} (ft) <0,25 A_ {1} & 0,25 < operatorname {frac} (ft) <0,5 0 & 0,5 < operatorname {frac} (ft) <0,75 - A_ {1} & operatorname {frac} (ft)> 0,75 end {případů}}}$	${ displaystyle { frac {A_ {1}} { sqrt {2}}}}$
Vlna trojúhelníku	${ displaystyle y = left \| 2A_ {1} operatorname {frac} (ft) -A_ {1} right \|}$	${ displaystyle A_ {1} nad { sqrt {3}}}$
Pilovitá vlna	${ displaystyle y = 2A_ {1} operatorname {frac} (ft) -A_ {1} ,}$	${ displaystyle A_ {1} nad { sqrt {3}}}$
Pulzní vlna	${ displaystyle y = { begin {cases} A_ {1} & operatorname {frac} (ft) D end {cases}}}$	${ displaystyle A_ {1} { sqrt {D}}}$
Napětí mezi fázemi	${ displaystyle y = A_ {1} sin (t) -A_ {1} sin left (t - { frac {2 pi} {3}} right) ,}$	${ displaystyle A_ {1} { sqrt { frac {3} {2}}}}$
kde: y je posunutí, t je čas, F je frekvence, A_i je amplituda (špičková hodnota), D je pracovní cyklus nebo podíl časového období (1 /F) utratil vysoko, frac (r) je zlomková část z r.

V kombinacích křivek

Křivky vytvořené sečtením známých jednoduchých křivek mají hodnotu RMS, která je kořenem součtu čtverců hodnot RMS složky, pokud jsou křivky složky ortogonální (to znamená, že je-li průměr součinu jednoho jednoduchého průběhu s jiným nulový pro všechny páry jiné než samotný čas průběhu).^[5]

{ displaystyle { text {RMS}} _ { text {Total}} = { sqrt {{ text {RMS}} _ {1} ^ {2} + { text {RMS}} _ {2} ^ {2} + cdots + { text {RMS}} _ {n} ^ {2}}}}

Alternativně, pro křivky, které jsou dokonale pozitivně korelované nebo „ve fázi“ navzájem, se jejich RMS hodnoty přímo sečtou.

Použití

V elektrotechnice

Napětí

Zvláštní případ RMS kombinací křivek je:^[6]

{ displaystyle { text {RMS}} _ { text {AC + DC}} = { sqrt {{ text {RMS}} _ { text {DC}} ^ {2} + { text {RMS }} _ { text {AC}} ^ {2}}}}

kde ${ displaystyle { text {RMS}} _ { text {DC}}}$ Odkazuje na stejnosměrný proud nebo průměrná složka signálu a ${ displaystyle { text {RMS}} _ { text {AC}}}$ je střídavý proud složka signálu.

Průměrná elektrická energie

Elektrotechnici často potřebují znát Napájení, P, rozptýleno an elektrický odpor, R. Je snadné provést výpočet, když existuje konstanta proud, Jáprostřednictvím odporu. Pro náklad R ohm, výkon je definován jednoduše jako:

{ displaystyle P = I ^ {2} R.}

Pokud je však proud časově proměnná funkce, Já(t), tento vzorec musí být rozšířen, aby odrážel skutečnost, že proud (a tedy okamžitý výkon) se v průběhu času mění. Pokud je funkce periodická (například střídavé napájení v domácnosti), je stále smysluplné o ní diskutovat průměrný ztrátový výkon v průběhu času, který se vypočítá z průměrného ztrátového výkonu:

{ displaystyle { begin {aligned} P_ {av} & = left (I (t) ^ {2} R right) _ {av} && { text {where}} left ( cdots right) _ {av} { text {označuje časový průměr funkce}} [3pt] & = left (I (t) ^ {2} right) _ {av} R && { text {(as} } R { text {se časem nemění, lze to započítat)}} [3pt] & = I _ { text {RMS}} ^ {2} R && { text {podle definice kořenového průměru -square}} end {zarovnáno}}}

Takže hodnota RMS, Já_RMS, funkce Já(t) je konstantní proud, který poskytuje stejný ztrátový výkon jako časově zprůměrovaný ztrátový výkon proudu Já(t).

Průměrný výkon lze také zjistit pomocí stejné metody jako v případě časově proměnného Napětí, PROTI(t), s hodnotou RMS PROTI_RMS,

{ displaystyle P _ { text {Prům.}} = {V _ { text {RMS}} ^ {2} přes R}.}

Tuto rovnici lze použít pro jakoukoli periodiku křivka, jako je a sinusový nebo pilovitý průběh, což nám umožňuje vypočítat střední výkon dodaný do specifikovaného zatížení.

Když vezmeme druhou odmocninu obou těchto rovnic a vynásobíme je společně, zjistíme, že síla je:

{ displaystyle P _ { text {Avg}} = V _ { text {RMS}} I _ { text {RMS}}.}

Obě derivace závisí na proporcionálním napětí a proudu (tj. Zatížení, R, je čistě odporový). Reaktivní zátěže (tj. zátěže schopné nejen rozptýlit energii, ale také ji akumulovat) jsou diskutovány v tématu Střídavé napájení.

V běžném případě střídavý proud když Já(t) je sinusový proudu, jak je přibližně pravdivé pro napájení ze sítě, lze RMS hodnotu snadno vypočítat z výše uvedené rovnice spojitého případu. Li Já_p je definován jako špičkový proud, pak:

{ displaystyle I _ { text {RMS}} = { sqrt {{1 nad {T_ {2} -T_ {1}}} int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} vlevo [I _ { text {p}} sin ( omega t) right] ^ {2} dt}},}

kde t je čas a ω je úhlová frekvence (ω = 2 $π$ /T, kde T je období vlny).

Od té doby Já_p je kladná konstanta:

{ displaystyle I _ { text {RMS}} = I _ { text {p}} { sqrt {{1 nad {T_ {2} -T_ {1}}} { int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} { sin ^ {2} ( omega t)} , dt}}}.}

Používat trigonometrická identita pro eliminaci kvadratury trig funkce:

{ displaystyle { begin {aligned} I _ { text {RMS}} & = I _ { text {p}} { sqrt {{1 over {T_ {2} -T_ {1}}} { int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {1- cos (2 omega t) nad 2} , dt}}} [3pt] & = I _ { text {p}} { sqrt {{1 nad {T_ {2} -T_ {1}}} vlevo [{t nad 2} - { sin (2 omega t) nad 4 omega} vpravo] _ { T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} end {zarovnáno}}}

ale protože interval je celý počet úplných cyklů (podle definice RMS), termíny hříchu se zruší a zanechají:

{ displaystyle I _ { text {RMS}} = I _ { text {p}} { sqrt {{1 nad {T_ {2} -T_ {1}}} vlevo [{t nad 2} vpravo] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} = I _ { text {p}} { sqrt {{1 přes {T_ {2} -T_ {1}}} {{T_ {2} -T_ {1}} přes 2}}} = {I _ { text {p}} přes { sqrt {2}}}.}

Podobná analýza vede k analogické rovnici pro sinusové napětí:

{ displaystyle V _ { text {RMS}} = {V _ { text {p}} přes { sqrt {2}}},}

kde Já_P představuje špičkový proud a PROTI_P představuje špičkové napětí.

Kvůli jejich užitečnosti při provádění výpočtů výkonu jsou uvedeny napětí pro zásuvky (například 120 V v USA nebo 230 V v Evropě) jsou téměř vždy uváděny v hodnotách RMS, a nikoli ve špičkových hodnotách. Špičkové hodnoty lze vypočítat z hodnot RMS z výše uvedeného vzorce, z čehož vyplývá PROTI_P = PROTI_RMS × √2, za předpokladu, že zdrojem je čistá sinusová vlna. Špičková hodnota síťového napětí v USA je tedy asi 120 ×√2nebo asi 170 voltů. Špičkové napětí, které je dvojnásobné, je asi 340 voltů. Podobný výpočet naznačuje, že špičkové síťové napětí v Evropě je přibližně 325 voltů a špičkové síťové napětí přibližně 650 voltů.

Množství RMS, jako je elektrický proud, se obvykle počítají během jednoho cyklu. Pro některé účely je však při výpočtu ztrát přenosového výkonu vyžadován proud RMS po delší dobu. Stejný princip platí a (například) proud 10 ampérů používaný po dobu 12 hodin každý 24hodinový den představuje průměrný proud 5 ampérů, ale dlouhodobě proud RMS 7,07 ampérů.

Termín RMS výkon je někdy v audio průmyslu chybně používán jako synonymum pro střední moc nebo průměrný výkon (je úměrná druhé mocnině RMS napětí nebo RMS proudu v odporové zátěži). Diskuse o měření výkonu zvuku a jejich nedostatcích viz Zvukový výkon.

Rychlost

V fyzika z plyn molekuly, rychlost střední kvadratické hodnoty je definována jako druhá odmocnina průměrné čtvercové rychlosti. Rychlost RMS ideálního plynu je vypočteno pomocí následující rovnice:

{ displaystyle v _ { text {RMS}} = { sqrt {3RT přes M}}}

kde R představuje plynová konstanta, 8,144 J / (mol · K), T je teplota plynu v kelvinů, a M je molární hmotnost plynu v kilogramech na mol. Obecně přijímaná terminologie rychlosti ve srovnání s rychlostí spočívá v tom, že první je skalární velikostí druhé. Ačkoli je průměrná rychlost mezi nulou a rychlostí RMS, je průměrná rychlost pro stacionární plyn nulová.

Chyba

Když jsou porovnány dva soubory dat - jeden z teoretické predikce a druhý ze skutečného měření nějaké fyzikální proměnné - RMS párových rozdílů dvou datových souborů může sloužit jako měřítko, jak daleko je průměrná chyba od 0. The znamenat U párových rozdílů se nemění variabilita rozdílu a variabilita uvedená v standardní odchylka je kolem průměru místo 0. Proto je RMS rozdílů smysluplným měřítkem chyby.

Ve frekvenční doméně

RMS lze vypočítat ve frekvenční doméně pomocí Parsevalova věta. Pro vzorkovaný signál ${ displaystyle x [n] = x (t = nT)}$ , kde ${ displaystyle T}$ je doba vzorkování,

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {x ^ {2} [n]} = { frac {1} {N}} sum _ {m = 1} ^ {N} vlevo | X [m] vpravo | ^ {2},}

kde ${ displaystyle X [m] = operatorname {FFT} {x [n] }}$ a N je velikost vzorku, tj. počet pozorování ve vzorku a koeficienty FFT.

V tomto případě je RMS vypočítaný v časové doméně stejný jako ve frekvenční doméně:

{ displaystyle { text {RMS}} {x [n] } = { sqrt {{ frac {1} {N}} součet _ {n} {x ^ {2} [n]}} } = { sqrt {{ frac {1} {N ^ {2}}} sum _ {m} {{ bigl |} X [m] { bigr |}} ^ {2}}} = { sqrt { sum _ {m} { vlevo | { frac {X [m]} {N}} vpravo | ^ {2}}}}.}

Vztah k jiným statistikám

Geometrický důkaz beze slov že max (A,b) > kvadratický průměr nebo střední kvadratická (QM) > aritmetický průměr (DOPOLEDNE) > geometrický průměr (GM) > harmonický průměr (HM) > min (A,b) dvou kladných čísel A a b ^[7]

Li ${ displaystyle { bar {x}}}$ je aritmetický průměr a ${ displaystyle sigma _ {x}}$ je standardní odchylka a populace nebo a křivka, pak:^[8]

{ displaystyle x _ { text {rms}} ^ {2} = { overline {x}} ^ {2} + sigma _ {x} ^ {2} = { overline {x ^ {2}}} .}

Z toho je zřejmé, že hodnota RMS je vždy větší nebo rovna průměru, protože RMS zahrnuje také odchylku „chyba“ / druhou mocninu.

Fyzikální vědci tento termín často používají střední kvadratická jako synonymum pro standardní odchylka když lze předpokládat, že vstupní signál má nulový průměr, tj. s odkazem na druhou odmocninu střední kvadratické odchylky signálu od dané základní linie nebo fit.^[9]^[10] To je užitečné pro elektrotechniky při výpočtu RMS signálu „pouze AC“. Směrodatná odchylka je RMS variace signálu o střední hodnotě, spíše než o 0, DC komponenta je odstraněn (tj. RMS (signál) = stdev (signál), pokud je střední signál 0).

Viz také

Reference

^ ^A ^b Slovník fyziky (6. vyd.). Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199233991.
^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Snadný výpočet. Macmillan International Higher Education. str. 185. ISBN 9781349004874. Citováno 5. července 2020.
^ Jones, Alan R. (2018). Pravděpodobnost, statistika a další děsivé věci. Routledge. str. 48. ISBN 9781351661386. Citováno 5. července 2020.
^ Cartwright, Kenneth V (podzim 2007). „Stanovení efektivního nebo RMS napětí různých průběhů bez počtu“ (PDF). Technologické rozhraní. 8 (1): 20 stránek.
^ Nastase, Adrian S. „Jak odvodit hodnotu RMS pulzních a čtvercových průběhů“. MasteringElectronicsDesign.com. Citováno 21. ledna 2015.
^ „Proveďte lepší měření AC RMS pomocí digitálního multimetru“ (PDF). Keysight. Keysight. Citováno 15. ledna 2019.
^ Pokud AC = A a BC = b. OC = DOPOLEDNE z A a ba poloměr r = QO = OG.
Použitím Pythagorova věta, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Pomocí Pythagorovy věty OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
Použitím podobné trojúhelníky, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.
^ Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Digitální přenos signálu (2. vyd.). Cambridge University Press. str. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
^ Weisstein, Eric W. "Střední kvadratická". MathWorld.
^ „ROOT, TH1: GetRMS“.

externí odkazy

[dicphys-1] A ^b Slovník fyziky (6. vyd.). Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199233991.

[2] Thompson, Sylvanus P. (1965). Snadný výpočet. Macmillan International Higher Education. str. 185. ISBN 9781349004874. Citováno 5. července 2020.

[3] Jones, Alan R. (2018). Pravděpodobnost, statistika a další děsivé věci. Routledge. str. 48. ISBN 9781351661386. Citováno 5. července 2020.

[4] Cartwright, Kenneth V (podzim 2007). „Stanovení efektivního nebo RMS napětí různých průběhů bez počtu“ (PDF). Technologické rozhraní. 8 (1): 20 stránek.

[5] Nastase, Adrian S. „Jak odvodit hodnotu RMS pulzních a čtvercových průběhů“. MasteringElectronicsDesign.com. Citováno 21. ledna 2015.

[6] „Proveďte lepší měření AC RMS pomocí digitálního multimetru“ (PDF). Keysight. Keysight. Citováno 15. ledna 2019.

[7] Pokud AC = A a BC = b. OC = DOPOLEDNE z A a ba poloměr r = QO = OG.
Použitím Pythagorova věta, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Pomocí Pythagorovy věty OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
Použitím podobné trojúhelníky, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

[8] Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Digitální přenos signálu (2. vyd.). Cambridge University Press. str. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.

[9] Weisstein, Eric W. "Střední kvadratická". MathWorld.

[10] „ROOT, TH1: GetRMS“.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]