v komplexní analýza, a částečná expanze zlomku je způsob psaní a meromorfní funkce f (z) jako nekonečný součet racionální funkce a polynomy. Když f (z) je racionální funkce, to se redukuje na obvyklou metoda parciálních zlomků.
Motivace
Používáním polynomiální dlouhé dělení a technikou parciálních zlomků z algebry lze jakoukoli racionální funkci zapsat jako součet výrazů ve tvaru 1 / (az + b)k + p (z), kde A a b jsou složité, k je celé číslo a p (z) je polynom. Stejně jako polynomiální faktorizace lze zobecnit na Weierstrassova faktorizační věta, existuje analogie s expanzí částečných zlomků pro určité meromorfní funkce.
Správná racionální funkce, tj. Funkce, pro kterou stupeň jmenovatele je větší než stupeň čitatele, má částečnou expanzi zlomku bez polynomiálních členů. Podobně meromorfní funkce f (z) pro které |f (z)| jde na 0 jako z jde do nekonečna alespoň tak rychle jako |1 / z|, má expanzi bez polynomiálních výrazů.
Výpočet
Nechat f (z) být funkcí meromorfní v konečné komplexní rovině s póly na λ1, λ2, ..., a nechte (Γ1, Γ2, ...) být posloupností jednoduchých uzavřených křivek tak, aby:
- Počátek leží uvnitř každé křivky Γk
- Žádná křivka neprochází pólem F
- Γk leží uvnitř Γk + 1 pro všechny k
- , kde d (Γk) udává vzdálenost od křivky k počátku
Předpokládejme také, že existuje celé číslo p takhle
Psaní PP (f (z); z = λk) pro hlavní část z Laurentova expanze z F o věci λk, my máme
-li p = -1, a pokud p> -1,
kde koeficienty Cj, k jsou dány
λ0 by měl být nastaven na 0, protože i když f (z) sám nemá pól na 0, zbytky z f (z) / zj + 1 na z = 0 musí být stále zahrnuto do součtu.
Všimněte si, že v případě λ0 = 0, můžeme použít Laurentovo rozšíření o f (z) o původu získat
takže polynomiální pojmy, které přispěly, jsou přesně běžná součást série Laurent až zp.
Pro ostatní póly λk kde k ≥ 1, 1 / zj + 1 lze vytáhnout z zbytek výpočty:
Aby se předešlo problémům s konvergencí, měly by být póly uspořádány tak, že pokud λk je uvnitř Γn, pak λj je také uvnitř Γn pro všechny j < k.
Příklad
Nejjednodušší příklady meromorfních funkcí s nekonečným počtem pólů jsou necelé trigonometrické funkce, takže vezměte funkci tan (z). opálení(z) je meromorfní s póly v (n + 1/2) π, n = 0, ± 1, ± 2, ... Obrysy Γk budou čtverce s vrcholy v ± πk ± πki přejet proti směru hodinových ručiček, k > 1, které lze snadno vidět, aby splňovaly nezbytné podmínky.
Na vodorovných stranách Γk,
tak
sinh (X) X) pro všechny skutečné X, který přináší
Pro X > 0, coth (X) je spojitý, zmenšuje se a je ohraničen o 1, takže z toho vyplývá, že na vodorovných stranách Γk, | opálení (z) | π). Podobně lze ukázat, že | tan (z) | <1 na svislých stranách Γk.
S touto vazbou na | tan (z) | to vidíme
(Maximálně | 1 /z| na Γk vyskytuje se minimálně |z|, což je kπ).
Proto p = 0 a částečná expanze frakce tan (z) vypadá jako
Hlavní části a zbytky jsou snadno vypočítatelné, protože všechny póly opálení (z) jsou jednoduché a mají zbytek -1:
Můžeme to ignorovat λ0 = 0, protože oba opálení (z) a opálení (z)/z jsou analytické na 0, takže neexistuje žádný příspěvek k součtu a řazení pólů λk aby λ1 = π/2, λ2 = -π/2, λ3 = 3π/ 2 atd., Dává
Aplikace
Nekonečné produkty
Protože expanze částečné frakce často přináší součty 1 / (a + bz), může být užitečné při hledání způsobu, jak napsat funkci jako nekonečný produkt; integrace obou stran dává součet logaritmů a umocňování dává požadovaný produkt:
Uplatnění některých pravidel logaritmu,
který nakonec dává
Laurentova řada
Expanzi parciálních zlomků pro funkci lze také použít k vyhledání Laurentovy řady jednoduchým nahrazením racionálních funkcí v součtu jejich Laurentovou řadou, které často není obtížné psát v uzavřené formě. To může také vést k zajímavým identitám, pokud je již známá série Laurent.
Odvolej to
Summand můžeme rozšířit pomocí geometrické řady:
Nahrazení zpět,
což ukazuje, že koeficienty An v seriálu Laurent (Taylor) z opálení (z) o z = 0 jsou
kde Tn jsou tečná čísla.
Naopak můžeme tento vzorec porovnat s Taylorovou expanzí pro opálení (z) asi z = 0 pro výpočet nekonečných součtů:
Viz také
Reference
- Markushevich, A.I. Teorie funkcí komplexní proměnné. Trans. Richard A. Silverman. Sv. 2. Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, 1965.