Poměrové rozdělení - Ratio distribution

A poměrové rozdělení (také známý jako rozdělení podílů) je rozdělení pravděpodobnosti konstruována jako distribuce poměr z náhodné proměnné mít dvě další známé distribuce. Dané dvě (obvykle nezávislý ) náhodné proměnné X a Y, rozdělení náhodné proměnné Z který je vytvořen jako poměr Z = X/Y je poměrové rozdělení.

Příkladem je Cauchyovo rozdělení (nazývané také normální poměrové rozdělení),^{[Citace je zapotřebí ]} což je poměr dvou normálně distribuováno proměnné s nulovým průměrem. Dvě další distribuce často používané v testovací statistice jsou také poměrové distribuce: t-rozdělení vychází z a Gaussian náhodná proměnná dělená nezávislou chi-distribuovaný náhodná proměnná, zatímco F-rozdělení vychází z poměru dvou nezávislých chi-kvadrát distribuován náhodné proměnné. Obecnější rozdělení poměrů bylo v literatuře zvažováno.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Poměrová rozdělení jsou často těžký ocas, a může být obtížné s takovými distribucemi pracovat a vyvinout přidružené statistický test Metoda založená na medián bylo navrženo jako „řešení problému“.^[10]

Algebra náhodných proměnných

Poměr je jeden typ algebry pro náhodné proměnné: Související s poměrným rozdělením jsou distribuce produktu, rozdělení částky a rozdílové rozdělení. Obecněji lze hovořit o kombinacích součtů, rozdílů, součinů a poměrů. Mnoho z těchto rozdělení je popsáno v Melvin D. Springer kniha z roku 1979 Algebra náhodných proměnných.^[8]

Algebraická pravidla známá u běžných čísel neplatí pro algebru náhodných proměnných. Například pokud je produkt C = AB a poměr je D = C / A to nutně neznamená, že distribuce D a B jsou stejní. Ve skutečnosti se jedná o zvláštní účinek Cauchyovo rozdělení: Produkt a poměr dvou nezávislých Cauchyho distribucí (se stejným parametrem měřítka a parametrem umístění nastaveným na nulu) poskytne stejné rozdělení.^[8]To se stává zřejmým, pokud jde o Cauchyovo rozdělení jako takové o poměrné rozdělení dvou Gaussových rozdělení nulových průměrů: Vezměme si dvě Cauchyho náhodné proměnné ${displaystyle C_ {1}}$ a ${displaystyle C_ {2}}$ každý zkonstruovaný ze dvou Gaussových distribucí ${displaystyle C_ {1} = G_ {1} / G_ {2}}$ a ${displaystyle C_ {2} = G_ {3} / G_ {4}}$ pak

{displaystyle {frac {C_ {1}} {C_ {2}}} = {frac {{G_ {1}} / {G_ {2}}} {{G_ {3}} / {G_ {4}}} } = {frac {G_ {1} G_ {4}} {G_ {2} G_ {3}}} = {frac {G_ {1}} {G_ {2}}} je {frac {G_ {4}} {G_ {3}}} = C_ {1} je C_ {3},}

kde ${displaystyle C_ {3} = G_ {4} / G_ {3}}$ . První člen je poměr dvou Cauchyho rozdělení, zatímco poslední člen je produktem dvou takových rozdělení.

Derivace

Způsob odvození rozdělení poměru ${displaystyle Z = X / Y}$ ze společného rozdělení dvou dalších náhodných proměnných X, Y , se společným pdf ${displaystyle p_ {X, Y} (x, y)}$ , je integrací následujícího formuláře^[3]

{displaystyle p_ {Z} (z) = int _ {- infty} ^ {+ infty} | y |, p_ {X, Y} (zy, y), dy.}

Pokud jsou tyto dvě proměnné nezávislé, pak ${displaystyle p_ {XY} (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y)}$ a toto se stává

{displaystyle p_ {Z} (z) = int _ {- infty} ^ {+ infty} | y |, p_ {X} (zy) p_ {Y} (y), dy.}

To nemusí být jednoduché. Jako příklad si vezměte klasický problém poměru dvou standardních Gaussových vzorků. Společný soubor PDF je

{displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = {frac {1} {2pi}} exp (- {frac {x ^ {2}} {2}}) exp (- {frac {y ^ {2 }} {2}})}

Definování ${displaystyle Z = X / Y}$ my máme

{displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty}, | y |, exp (- {frac {(zy) ^ {2}} {2 }}), exp (- {frac {y ^ {2}} {2}}), dy}

{displaystyle ;;;; = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty}, | y |, exp (- {frac {y ^ {2} (z ^ {2} +1 )} {2}}), dy}

Použití známého určitého integrálu ${displaystyle int _ {0} ^ {infty}, x, exp (-cx ^ {2}) dx = {frac {1} {2c}}}$ dostaneme

{displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {pi (z ^ {2} +1)}}}

což je Cauchyovo rozdělení nebo Studentovo rozdělení t distribuce s n = 1

The Mellinova transformace bylo také navrženo pro odvození poměrného rozdělení.^[8]

V případě pozitivních nezávislých proměnných postupujte následovně. Diagram ukazuje oddělitelné dvojrozměrné rozdělení ${displaystyle f_ {x, y} (x, y) = f_ {x} (x) f_ {y} (y)}$ který má podporu v kladném kvadrantu ${displaystyle x, y> 0}$ a chtěli bychom najít pdf poměru ${displaystyle R = X / Y}$ . Šrafovaný objem nad čarou ${displaystyle y = x / R}$ představuje kumulativní rozdělení funkce ${displaystyle f_ {x, y} (x, y)}$ vynásobeno logickou funkcí ${displaystyle X / Yleq R}$ . Hustota je nejprve integrována do vodorovných pruhů; vodorovný pás ve výšce y sahá od X = 0 až x = Ry a má přírůstkovou pravděpodobnost ${displaystyle f_ {y} (y) dyint _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx}$ .
Zadruhé, integrace vodorovných pruhů nahoru přes všechny y získá objem pravděpodobnosti nad hranicí

{displaystyle F_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) left (int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dxight) dy}

Nakonec rozlišujte ${displaystyle F_ {R} (R) {ext {wrt. }} R}$ získat pdf ${displaystyle f_ {R} (R)}$ .

{displaystyle f_ {R} (R) = {frac {d} {dR}} vlevo [int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) vlevo (int _ {0} ^ {Ry} f_ { x} (x) dxight) dyight]}

Přesuňte diferenciaci uvnitř integrálu:

{displaystyle f_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) left ({frac {d} {dR}} int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dxight) dy}

a od té doby

{displaystyle {frac {d} {dR}} int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = yf_ {x} (Ry)}

pak

{displaystyle f_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y); f_ {x} (Ry); y; dy}

Jako příklad najděte pdf poměru R když

{displaystyle f_ {x} (x) = alfa e ^ {- alfa x}, ;;;; f_ {y} (y) = eta e ^ {- eta y}, ;;; x, ygeq 0}

Hodnocení kumulativního rozdělení poměru

My máme

{displaystyle int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = -e ^ {- alfa x} vert _ {0} ^ {Ry} = 1-e ^ {- alfa Ry}}

tím pádem

{displaystyle {egin {aligned} F_ {R} (R) & = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) left (1-e ^ {- alpha Ry} ight) dy = int _ { 0} ^ {infty} eta e ^ {- eta y} vlevo (1-e ^ {- alfa Ry} ight) dy & = 1- {frac {alpha R} {eta + alfa R}} = = frac {R} {{frac {eta} {alpha}} + R}} konec {zarovnáno}}}

Diferenciace wrt. R dává pdf R

{displaystyle f_ {R} (R) = {frac {d} {dR}} vlevo ({frac {R} {{frac {eta} {alpha}} + R}} ight) = {frac {frac {eta} {alpha}} {left ({frac {eta} {alpha}} + Right) ^ {2}}}}

Okamžiky náhodných poměrů

Z Mellinova transformace teorie, pro distribuce existující pouze na kladné polovině ${displaystyle xgeq 0}$ , máme identitu produktu ${displaystyle operatorname {E} [(UV) ^ {p}] = operatorname {E} [U ^ {p}] ;; operatorname {E} [V ^ {p}]}$ pokud ${displaystyle U,; V}$ jsou nezávislé. Pro případ poměru vzorků jako ${displaystyle operatorname {E} [(X / Y) ^ {p}]}$ Aby bylo možné tuto identitu využít, je nutné použít momenty inverzní distribuce. Soubor ${displaystyle 1 / Y = Z}$ takhle ${displaystyle operatorname {E} [(XZ) ^ {p}] = operatorname {E} [X ^ {p}]; operatorname {E} [Y ^ {- p}]}$ .Pokud tedy okamžiky ... ${displaystyle X ^ {p} {ext {and}} Y ^ {- p}}$ lze určit samostatně, pak momenty ${displaystyle X / Y}$ Může být nalezeno. Okamžiky ${displaystyle Y ^ {- p}}$ jsou určeny z inverzního pdf souboru ${displaystyle Y}$ , často přitahovatelné cvičení. V nejjednodušším případě ${displaystyle operatorname {E} [Y ^ {- p}] = int _ {0} ^ {infty} y ^ {- p} f_ {y} (y), dy}$ .

Pro ilustraci dovolte ${displaystyle X}$ být odebírány ze standardní distribuce gama

{displaystyle x ^ {alpha -1} e ^ {- x} / Gamma (alfa) {ext {jehož}} p ^ {th}}

moment je

{displaystyle Gamma (alfa + p) / gama (alfa)}

.

${displaystyle Z = Y ^ {- 1}}$ je vzorkováno z inverzní distribuce gama s parametrem ${displaystyle eta}$ a má pdf ${displaystyle; Gamma ^ {- 1} (eta) z ^ {1+ eta} e ^ {- 1 / z}}$ . Okamžiky tohoto pdf jsou

{displaystyle operatorname {E} [Z ^ {p}] = operatorname {E} [Y ^ {- p}] = {frac {Gamma (eta -p)} {Gamma (eta)}} ,; p

Vynásobení odpovídajících momentů dává

{displaystyle operatorname {E} [(X / Y) ^ {p}] = operatorname {E} [X ^ {p}]; operatorname {E} [Y ^ {- p}] = {frac {Gamma (alfa + p)} {Gamma (alfa)}} {frac {Gamma (eta -p)} {Gamma (eta)}} ,; p

Nezávisle je známo, že poměr dvou vzorků gama ${displaystyle R = X / Y}$ následuje distribuci Beta Prime:

{displaystyle f_ {eta ^ {'}} (r, alfa, eta) = B (alfa, eta) ^ {- 1} r ^ {alfa -1} (1 + r) ^ {- (alfa + eta)} }

jejichž momenty jsou

{displaystyle operatorname {E} [R ^ {p}] = {frac {mathrm {B} (alpha + p, eta -p)} {mathrm {B} (alfa, eta)}}}

Střídání ${displaystyle mathrm {B} (alfa, eta) = {frac {gama (alfa) gama (eta)} {gama (alfa + eta)}}}$ my máme ${displaystyle operatorname {E} [R ^ {p}] = {frac {Gamma (alpha + p) Gamma (eta -p)} {Gamma (alpha + eta)}} {Bigg /} {frac {Gamma (alfa) Gamma (eta)} {Gamma (alfa + eta)}} = {frac {Gamma (alfa + p) Gamma (eta -p)} {Gamma (alfa) Gamma (eta)}}}$ což odpovídá součinu výše uvedených momentů.

Prostředky a odchylky náhodných poměrů

V Distribuce produktu sekce a odvozeno z Mellinova transformace teorie (viz část výše), bylo zjištěno, že průměr součinu nezávislých proměnných se rovná součinu jejich průměrů. V případě poměrů máme

{displaystyle operatorname {E} (X / Y) = operatorname {E} (X) operatorname {E} (1 / Y)}

který, pokud jde o rozdělení pravděpodobnosti, je ekvivalentní k

{displaystyle operatorname {E} (X / Y) = int _ {- infty} ^ {infty} xf_ {x} (x), dx imes int _ {- infty} ^ {infty} y ^ {- 1} f_ { y} (y), dy}

Všimněte si, že ${displaystyle operatorname {E} (1 / Y) eq {frac {1} {operatorname {E} (Y)}} {ext {tj. }} int _ {- infty} ^ {infty} y ^ {- 1} f_ {y} (y), dyeq {frac {1} {int _ {- infty} ^ {infty} yf_ {y} (y) , dy}}}$

Rozptyl poměru nezávislých proměnných je

{displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X / Y) & = operatorname {E} ([X / Y] ^ {2}) - operatorname {E ^ {2}} (X / Y) & = operatorname {E} (X ^ {2}) operatorname {E} (1 / Y ^ {2}) - operatorname {E} ^ {2} (X) operatorname {E} ^ {2} (1 / Y) konec {zarovnaný}}}

Normální poměrné rozdělení

Nekorelovaný centrální normální poměr

Když X a Y jsou nezávislí a mají Gaussovo rozdělení s nulovým průměrem je forma jejich poměrného rozdělení a Cauchyovo rozdělení To lze odvodit nastavením ${displaystyle Z = X / Y = an heta}$ pak to ukázat ${displaystyle heta}$ má kruhovou symetrii. Pro dvojrozměrné nekorelované Gaussovo rozdělení máme

{displaystyle {egin {aligned} p (x, y) & = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} x ^ {2}} imes {frac { 1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} y ^ {2}} & = {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {1} { 2}} (x ^ {2} + y ^ {2})} & = {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {1} {2}} r ^ {2}} {ext {with}} r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} konec {zarovnáno}}}

Li ${displaystyle p (x, y)}$ je pouze funkcí r pak ${displaystyle heta}$ je rovnoměrně rozloženo na ${displaystyle [0,2pi] {ext {s hustotou}} 1 / 2pi}$ takže problém se redukuje na zjištění rozdělení pravděpodobnosti Z pod mapováním

{displaystyle Z = X / Y = an heta}

Zachovali jsme pravděpodobnost

{displaystyle p_ {z} (z) | dz | = p_ {heta} (heta) | d heta |}

a od té doby ${displaystyle dz / d heta = 1 / cos ^ {2} heta}$

{displaystyle p_ {z} (z) = {frac {p_ {heta} (heta)} {| dz / d heta |}} = {frac {1} {2pi}} {cos ^ {2} heta}}

a nastavení ${displaystyle cos ^ {2} heta = {frac {1} {1+ (an heta) ^ {2}}} = {frac {1} {1 + z ^ {2}}}}$ dostaneme

{displaystyle p_ {z} (z) = {frac {1 / 2pi} {1 + z ^ {2}}}}

Zde je falešný faktor 2. Ve skutečnosti dvě hodnoty ${displaystyle heta {ext {rozloženo}} pi}$ mapa na stejnou hodnotu z, hustota se zdvojnásobí a konečný výsledek je

{displaystyle p_ {z} (z) = {frac {1 / pi} {1 + z ^ {2}}}, ;; - infty

Pokud však obě distribuce mají nenulové prostředky, pak je forma distribuce poměru mnohem komplikovanější. Níže je uveden ve stručné formě předložené David Hinkley.^[6]

Nekorelovaný necentrální normální poměr

Při absenci korelace (cor (X,Y) = 0), funkce hustoty pravděpodobnosti dvou normálních proměnných X = N(μ_X, σ_X²) a Y = N(μ_Y, σ_Y²) poměr Z = X/Y je dán přesně následujícím výrazem odvozeným z několika zdrojů:^[6]

{displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {b (z) cdot d (z)} {a ^ {3} (z)}} {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma _ {x } sigma _ {y}}} doleva [Phi vlevo ({frac {b (z)} {a (z)}} vpravo) -Phi vlevo (- {frac {b (z)} {a (z)}} ight) ight] + {frac {1} {a ^ {2} (z) cdot pi sigma _ {x} sigma _ {y}}} e ^ {- {frac {c} {2}}}}

kde

{displaystyle a (z) = {sqrt {{frac {1} {sigma _ {x} ^ {2}}} z ^ {2} + {frac {1} {sigma _ {y} ^ {2}}} }}}

{displaystyle b (z) = {frac {mu _ {x}} {sigma _ {x} ^ {2}}} z + {frac {mu _ {y}} {sigma _ {y} ^ {2}}} }

{displaystyle c = {frac {mu _ {x} ^ {2}} {sigma _ {x} ^ {2}}} + {frac {mu _ {y} ^ {2}} {sigma _ {y} ^ {2}}}}

{displaystyle d (z) = e ^ {frac {b ^ {2} (z) -ca ^ {2} (z)} {2a ^ {2} (z)}}}

a ${displaystyle Phi}$ je normální kumulativní distribuční funkce:

{displaystyle Phi (t) = int _ {- infty} ^ {t}, {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} u ^ {2}} du }

.

Za určitých podmínek je možná normální aproximace s odchylkou:^[11]

{displaystyle sigma _ {z} ^ {2} = {frac {mu _ {x} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2}}} vlevo ({frac {sigma _ {x} ^ {2 }} {mu _ {x} ^ {2}}} + {frac {sigma _ {y} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2}}} hned)}

Korelovaný centrální normální poměr

Výše uvedený výraz se stává komplikovanějším, když proměnné X a Y jsou ve vzájemném vztahu. Li ${displaystyle mu _ {x} = mu _ {y} = 0 {ext {but}} sigma _ {X} eq sigma _ {Y}}$ a ${displaystyle ho eq 0}$ získá se obecnější Cauchyovo rozdělení

{displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {pi}} {frac {eta} {(z-alpha) ^ {2} + eta ^ {2}}},}

kde ρ je korelační koeficient mezi X a Y a

{displaystyle alpha = ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}},}

{displaystyle eta = {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}} {sqrt {1-ho ^ {2}}}.}

Složitá distribuce byla také vyjádřena u Kummera konfluentní hypergeometrická funkce nebo Hermitova funkce.^[9]

Korelovaný necentrální normální poměr

Aproximace korelovaného necentrálního normálního poměru

Transformaci na doménu protokolu navrhl Katz (1978) (viz binomická část níže). Nechť je poměr

{displaystyle Tsim {frac {mu _ {x} + mathbb {N} (0, sigma _ {x} ^ {2})} {mu _ {y} + mathbb {N} (0, sigma _ {y} ^ {2})}} = {frac {mu _ {x} + X} {mu _ {y} + Y}} = {frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} {frac {1 + {frac {X} {mu _ {x}}}} {1+ {frac {Y} {mu _ {y}}}}}}

.

Vezměte si protokoly a získejte

{displaystyle log _ {e} (T) = log _ {e} vlevo ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} vpravo) + log _ {e} vlevo (1+ {frac { X} {mu _ {x}}} ight) -log _ {e} left (1+ {frac {Y} {mu _ {y}}} ight)}

.

Od té doby ${displaystyle log _ {e} (1 + delta) = delta - {frac {delta ^ {2}} {2}} + {frac {delta ^ {3}} {3}} + dots}$ pak asymptoticky

{displaystyle log _ {e} (T) cca log _ {e} vlevo ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} vpravo) + {frac {X} {mu _ {x}} } - {frac {Y} {mu _ {y}}} sim log _ {e} left ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} ight) + mathbb {N} left (0 , {frac {sigma _ {x} ^ {2}} {mu _ {x} ^ {2}}} + {frac {sigma _ {y} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2} }} hned)}

.

Alternativně to navrhoval Geary (1930)

{displaystyle tapprox {frac {mu _ {y} T-mu _ {x}} {sqrt {sigma _ {y} ^ {2} T ^ {2} -2ho sigma _ {x} sigma _ {y} T + sigma _ {x} ^ {2}}}}}

má přibližně a standardní Gaussovo rozdělení:^[1]Tato transformace se nazývala Geary – Hinkleyova transformace;^[7] aproximace je dobrá, pokud Y je nepravděpodobné, že by v zásadě předpokládal záporné hodnoty ${displaystyle mu _ {y}> 3sigma _ {y}}$ .

Přesný korelovaný necentrální normální poměr

Geary ukázal, jak korelovaný poměr ${displaystyle z}$ mohl být transformován do podoby téměř Gaussovské a vytvořil aproximaci pro ${displaystyle t}$ v závislosti na pravděpodobnosti záporných hodnot jmenovatele ${displaystyle x + mu _ {x} <0}$ být mizivě malý. Fiellerova pozdější korelovaná poměrová analýza je přesná, ale je nutná opatrnost při použití s moderními matematickými balíčky a podobné problémy mohou nastat u některých Marsagliových rovnic. Pham-Ghia o těchto metodách vyčerpávajícím způsobem diskutovala. Hinkleyho korelované výsledky jsou přesné, ale níže je uvedeno, že podmínku korelovaného poměru lze jednoduše transformovat na nekorelovanou, takže jsou vyžadovány pouze výše uvedené zjednodušené Hinkleyovy rovnice, nikoli plná verze korelovaného poměru.

Nechť poměr je:

{displaystyle z = {frac {x + mu _ {x}} {y + mu _ {y}}}}

ve kterém ${displaystyle x, y}$ jsou nulové střední korelované normální proměnné s odchylkami ${displaystyle sigma _ {x} ^ {2}, sigma _ {y} ^ {2}}$ a ${displaystyle X, Y}$ mít prostředky ${displaystyle mu _ {x}, mu _ {y}.}$ Psát si ${displaystyle x '= x-ho ysigma _ {x} / sigma _ {y}}$ takhle ${displaystyle x ', y}$ stávají se nesouvisejícími a ${displaystyle x '}$ má směrodatnou odchylku

{displaystyle sigma _ {x} '= sigma _ {x} {sqrt {1-ho ^ {2}}}.}

Poměr:

{displaystyle z = {frac {x '+ ho ysigma _ {x} / sigma _ {y} + mu _ {x}} {y + mu _ {y}}}}

je neměnný v rámci této transformace a zachovává stejný pdf ${displaystyle y}$ výraz v čitateli je oddělitelný rozšířením:

{displaystyle {x '+ ho ysigma _ {x} / sigma _ {y} + mu _ {x}} = x' + mu _ {x} -ho mu _ {y} {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}} + ho (y + mu _ {y}) {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}

dostat

{displaystyle z = {frac {x '+ mu _ {x}'} {y + mu _ {y}}} + ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}

ve kterém ${extstyle mu '_ {x} = mu _ {x} -ho mu _ {y} {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$ a z se nyní stal poměrem nekorelovaných necentrálních normálních vzorků s invariantem z- ofset.

A konečně, abych byl výslovný, pdf poměru ${displaystyle z}$ pro korelované proměnné se zjistí zadáním upravených parametrů ${displaystyle sigma _ {x} ', mu _ {x}', sigma _ {y}, mu _ {y}}$ a ${displaystyle ho '= 0}$ do Hinkleyovy rovnice výše, která vrací pdf pro korelovaný poměr s konstantním posunem ${displaystyle -ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$ na ${displaystyle z}$ .

Obrysy korelovaného dvojrozměrného Gaussova rozdělení (ne v měřítku) poskytující poměr x / y

pdf Gaussova poměru z a simulace (body) pro

{displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y} = 1, mu _ {x} = 0, mu _ {y} = 0,5, ho = 0,975}

Na obrázcích výše je uveden příklad pozitivně korelovaného poměru s ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y} = 1, mu _ {x} = 0, mu _ {y} = 0,5, ho = 0,975}$ ve kterém stínované klíny představují přírůstek plochy vybrané daným poměrem ${displaystyle x / yin [r, r + delta]}$ což kumuluje pravděpodobnost tam, kde překrývají distribuci. Teoretické rozdělení odvozené z diskutovaných rovnic v kombinaci s Hinkleyho rovnicemi je vysoce konzistentní s výsledkem simulace s použitím 5 000 vzorků. Na horním obrázku je snadno pochopitelné, že pro poměr ${displaystyle z = x / y = 1}$ klín téměř úplně obchází distribuční hmotu a to se shoduje s téměř nulovou oblastí v teoretickém pdf. Naopak jako ${displaystyle x / y}$ snižuje směrem k nule řádek sbírá větší pravděpodobnost.

Tato transformace bude uznána jako stejná jako transformace použitá Gearym (1932) jako částečný výsledek v jeho eqn viii ale jejichž odvození a omezení byla stěží vysvětlena. První část Gearyho transformace na přibližnou Gaussianitu v předchozí části je tedy ve skutečnosti přesná a nezávisí na pozitivitě Y. Výsledek ofsetu je také konzistentní s „Cauchyovým“ korelovaným rozdělením nulového průměru Gaussova poměru v první části. Marsaglia použila stejný výsledek, ale k jeho dosažení použila nelineární metodu.

Složitý normální poměr

Poměr korelovaného nulového průměru kruhově symetrického komplexní normální distribuovaný proměnné stanovil Baxley et. al.^[12] Společná distribuce x, y je

{displaystyle f_ {x, y} (x, y) = {frac {1} {pi ^ {2} | Sigma |}} exp {Biggr (} - {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} ^ { H} Sigma ^ {- 1} {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} {Biggr)}}

kde

{displaystyle Sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {x} ^ {2} & ho sigma _ {x} sigma _ {y} ho ^ {*} sigma _ {x} sigma _ {y} & sigma _ {y} ^ {2} end {bmatrix}}, ;; x = x_ {r} + ix_ {i}, ;; y = y_ {r} + iy_ {i}}

${displaystyle (.) ^ {H}}$ je poustevník transponovat a

{displaystyle ho = ho _ {r} + iho _ {i} = operatorname {E} {igg (} {frac {xy ^ {*}} {sigma _ {x} sigma _ {y}}} {igg)} ;; in; left | mathbb {C} vpravo | leq 1}

PDF z ${displaystyle Z = X / Y}$ je zjištěno, že je

{displaystyle {egin {aligned} f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) & = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr (} {frac {| z | ^ {2}} {sigma _ {x} ^ {2}}} + {frac {1} {sigma _ {y} ^ { 2}}} - 2 {frac {ho _ {r} z_ {r} -ho _ {i} z_ {i}} {sigma _ {x} sigma _ {y}}} {Biggr)} ^ {- 2 } & = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr (} ;; {Biggr |} { frac {z} {sigma _ {x}}} - {frac {ho ^ {*}} {sigma _ {y}}} {Biggr |} ^ {2} + {frac {1- | ho | ^ {2 }} {sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr)} ^ {- 2} konec {zarovnáno}}}

V obvyklém případě ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y}}$ dostaneme

{displaystyle f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi left (;; | z-ho ^ {*} | ^ {2} + 1- | ho | ^ {2} ight) ^ {2}}}}

Rovněž jsou uvedeny další výsledky uzavřené formy pro CDF.

Poměrové rozdělení korelovaných komplexních proměnných, rho = 0,7 exp (i pi / 4).

Graf ukazuje pdf poměru dvou komplexních normálních proměnných s korelačním koeficientem ${displaystyle ho = 0,7exp (ipi / 4)}$ . Pík pdf se vyskytuje zhruba ve složitém konjugátu zmenšeného ${displaystyle ho}$ .

Rovnoměrné rozdělení poměru

Se dvěma nezávislými náhodnými proměnnými po a rovnoměrné rozdělení, např.

{displaystyle p_ {X} (x) = {egin {cases} 1qquad 0

rozdělení poměru se stane

{displaystyle p_ {Z} (z) = {egin {cases} 1 / 2qquad & 0

Cauchyovo rozdělení poměru

Pokud dvě nezávislé náhodné proměnné, X a Y každý následovat a Cauchyovo rozdělení s mediánem rovným nule a tvarovým faktorem ${displaystyle a}$

{displaystyle p_ {X} (x | a) = {frac {a} {pi (a ^ {2} + x ^ {2})}}}

pak rozdělení poměru pro náhodnou proměnnou ${displaystyle Z = X / Y}$ je^[13]

{displaystyle p_ {Z} (z | a) = {frac {1} {pi ^ {2} (z ^ {2} -1)}} ln (z ^ {2}).}

Tato distribuce nezávisí na ${displaystyle a}$ a výsledek uvedl Springer^[8] (str. 158 Otázka 4.6) není správná. Rozdělení poměru je podobné, ale ne stejné jako distribuce produktu náhodné proměnné ${displaystyle W = XY}$ :

{displaystyle p_ {W} (w | a) = {frac {a ^ {2}} {pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {4})}} vlevo ({frac {w ^ {2}} {a ^ {4}}} hned).}

^[8]

Obecněji, pokud dvě nezávislé náhodné proměnné X a Y každý následovat a Cauchyovo rozdělení s mediánem rovným nule a tvarovým faktorem ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ respektive pak:

1. Rozdělení poměru pro náhodnou proměnnou ${displaystyle Z = X / Y}$ je^[13]

{displaystyle p_ {Z} (z | a, b) = {frac {ab} {pi ^ {2} (b ^ {2} z ^ {2} -a ^ {2})}} vlevo dole ({frac {b ^ {2} z ^ {2}} {a ^ {2}}} hned).}

2. The distribuce produktu pro náhodnou proměnnou ${displaystyle W = XY}$ je^[13]

{displaystyle p_ {W} (w | a, b) = {frac {ab} {pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2})}} vlevo ({frac {w ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} hned).}

Výsledek rozdělení poměru lze získat z rozdělení produktu nahrazením ${displaystyle b}$ s ${displaystyle {frac {1} {b}}.}$

Poměr standardní normální k standardní uniformě

Li X má standardní normální rozdělení a Y má tedy standardní jednotné rozdělení Z = X / Y má distribuci známou jako lomítko distribuce, s funkcí hustoty pravděpodobnosti

{displaystyle p_ {Z} (z) = {egin {cases} left [varphi (0) -varphi (z) ight] / z ^ {2} quad & zeq 0 varphi (0) / 2quad & z = 0, end {případy}}}

kde φ (z) je funkce hustoty pravděpodobnosti standardního normálního rozdělení.^[14]

Distribuce chí-kvadrát, gama, beta

Nechat X být normální (0,1) distribuce, Y a Z být chi čtvercové distribuce s m a n stupně svobody respektive všechny nezávislé, s ${displaystyle f_ {chi} (x, k) = {frac {x ^ {{frac {k} {2}} - 1} e ^ {- x / 2}} {2 ^ {k / 2} gama (k / 2)}}}$ . Pak

{displaystyle {frac {X} {sqrt {Y / m}}} ​​sim t_ {m}}

the Studentova distribuce

{displaystyle {frac {Y / m} {Z / n}} = F_ {m, n}}

tj. Fisherova F-test rozdělení

{displaystyle {frac {Y} {Y + Z}} sim eta ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}})}

the beta distribuce

{displaystyle ;; {frac {Y} {Z}} sim eta '({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}})}

the beta prime distribuce

Li ${displaystyle V_ {1} sim {chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} (lambda)}$ , a necentrální distribuce chí-kvadrát, a ${displaystyle V_ {2} sim {chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$ a ${displaystyle V_ {1}}$ je nezávislý na ${displaystyle V_ {2}}$ pak

{displaystyle {frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} (lambda)}

, a necentrální F-distribuce.

${displaystyle {frac {m} {n}} F '_ {m, n} = eta' ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}) {ext {or}} F '_ {m, n} = eta' ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}, 1, {frac {n} {m}})}$ definuje ${displaystyle F '_ {m, n}}$ , Fisherovo rozdělení hustoty F, PDF poměru dvou chí-kvadrátů k m, n stupně svobody.

CDF Fisherovy hustoty nalezené v F-tables je definován v beta prime distribuce článek. Pokud zadáme F-testovací stůl s m = 3, n = 4 a 5% pravděpodobnost v pravém ocasu, kritická hodnota je 6,59. To se shoduje s integrálem

{displaystyle F_ {3,4} (6,59) = int _ {6.59} ^ {infty} eta '(x; {frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}, 1, {frac {n} {m}}) dx = 0,05}

Li ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, 1), Vsim Gamma (alfa _ {2}, 1)}$ , kde ${displaystyle Gamma (x; alpha, 1) = {frac {x ^ {alpha -1} e ^ {- x}} {Gamma (alfa)}}}$ , pak

{displaystyle {frac {U} {U + V}} sim eta (alpha _ {1}, alpha _ {2}), qquad {ext {expectation}} = {frac {alpha _ {1}} {alpha _ { 1} + alfa _ {2}}}}

{displaystyle {frac {U} {V}} sim eta '(alpha _ {1}, alpha _ {2}), qquad qquad {ext {expectation}} = {frac {alpha _ {1}} {alpha _ { 2} -1}} ;; alfa _ {2}> 1}

{displaystyle {frac {V} {U}} sim eta '(alpha _ {2}, alpha _ {1}), qquad qquad {ext {expectation}} = {frac {alpha _ {2}} {alpha _ { 1} -1}} ;; alfa _ {1}> 1}

Li ${displaystyle Usim Gamma (x; alfa, 1)}$ pak ${displaystyle heta Usim Gamma (x; alpha, heta) = {frac {x ^ {alpha -1} e ^ {- {frac {x} {heta}}}} {heta ^ {k} Gamma (alfa)}} }$

Li ${displaystyle Usim Gamma (alpha _ {1}, heta _ {1}) ;; Vsim Gamma (alpha _ {2}, heta _ {2})}$ , poté změnou měřítka ${displaystyle heta}$ parametr jednoty, který máme

{displaystyle {frac {frac {U} {heta _ {1}}} {{frac {U} {heta _ {1}}} + {frac {V} {heta _ {2}}}}} = {frac {heta _ {2} U} {heta _ {2} U + heta _ {1} V}} sim eta (alpha _ {1}, alpha _ {2})}

{displaystyle {frac {frac {U} {heta _ {1}}} {frac {V} {heta _ {2}}}} = {frac {heta _ {2}} {heta _ {1}}} { frac {U} {V}} sim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2})}

tím pádem

{displaystyle {frac {U} {V}} sim eta '(alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}}) quad {ext {and}} operatorname {E} left [{frac {U} {V}} ight] = {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}} {frac {alpha _ {1}} {alpha _ {2} -1}}}

tj. pokud

{displaystyle Xsim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1,1)}

pak

{displaystyle heta Xsim eta '(alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, heta)}

Přesněji řečeno, protože

{displaystyle eta '(x; alpha _ {1}, alpha _ {2}, 1, R) = {frac {1} {R}} eta' ({frac {x} {R}}; alpha _ {1 }, alfa _ {2})}

-li ${displaystyle Usim Gamma (alpha _ {1}, heta _ {1}), Vsim Gamma (alpha _ {2}, heta _ {2})}$ pak

{displaystyle {frac {U} {V}} sim {frac {1} {R}} eta '({frac {x} {R}}; alpha _ {1}, alpha _ {2}) = {frac { left ({frac {x} {R}} ight) ^ {alpha _ {1} -1}} {left (1+ {frac {x} {R}} ight) ^ {alpha _ {1} + alpha _ {2}}}} cdot {frac {1} {; R; B (alpha _ {1}, alpha _ {2})}}, ;; xgeq 0}

kde

{displaystyle R = {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}}, ;; B (alfa _ {1}, alfa _ {2}) = {frac {gama (alfa _ {1} ) Gamma (alfa _ {2})} {Gamma (alfa _ {1} + alfa _ {2})}}}

Rayleighovy distribuce

Li X, Y jsou nezávislé vzorky z Rayleighova distribuce ${displaystyle f_ {r} (r) = re ^ {- r ^ {2} / 2sigma ^ {2}}, ;; rgeq 0}$ , poměr Z = X / Y sleduje distribuci^[15]

{displaystyle f_ {z} (z) = {frac {2z} {(1 + z ^ {2}) ^ {2}}}, ;; zgeq 0}

a má CDF

{displaystyle F_ {z} (z) = 1- {frac {1} {1 + z ^ {2}}} = {frac {z ^ {2}} {1 + z ^ {2}}}, ;; ; zgeq 0}

Rayleighova distribuce má měřítko jako jediný parametr. Distribuce ${displaystyle Z = alfa X / Y}$ následuje

{displaystyle f_ {z} (z, alfa) = {frac {2alpha z} {(alfa + z ^ {2}) ^ {2}}}, ;; z> 0}

a má CDF

{displaystyle F_ {z} (z, alpha) = {frac {z ^ {2}} {alpha + z ^ {2}}}, ;;; zgeq 0}

Frakční distribuce gama (včetně chi, chi-kvadrát, exponenciální, Rayleigh a Weibull)

The zobecněná distribuce gama je

{displaystyle f (x; a, d, r) = {frac {r} {gama (d / r) a ^ {d}}} x ^ {d-1} e ^ {- (x / a) ^ { r}}; xgeq 0 ;;; a,; d,; r> 0}

který zahrnuje pravidelné gama, chi, chi-kvadrát, exponenciální, Rayleighovo, Nakagamiho a Weibullovo rozdělení zahrnující zlomkové síly.

Li

{displaystyle Usim f (x; a_ {1}, d_ {1}, r), ;; Vsim f (x; a_ {2}, d_ {2}, r) {ext {jsou nezávislé a}} W = U / V}

pak^[16]

{extstyle g (w) = {frac {rleft ({frac {a_ {1}} {a_ {2}}} ight) ^ {d_ {2}}} {Bleft ({frac {d_ {1}} {r }}, {frac {d_ {2}} {r}} ight)}} {frac {w ^ {- d_ {2} -1}} {left (1 + left ({frac {a_ {2}} { a_ {1}}} ight) ^ {- r} w ^ {- r} ight) ^ {frac {d_ {1} + d_ {2}} {r}}}};; w> 0}

kde

{displaystyle B (u, v) = {frac {Gamma (u) Gamma (v)} {Gamma (u + v)}}}

Modelování směsi různých faktorů škálování

Ve výše uvedených poměrech vzorky gama, U, PROTI mohou mít různé velikosti vzorků ${displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}}$ ale musí být čerpány ze stejné distribuce ${displaystyle {frac {x ^ {alpha -1} e ^ {- {frac {x} {heta}}}} {heta ^ {k} Gama (alfa)}}}$ se stejným měřítkem ${displaystyle heta}$ .

V situacích, kdy U a PROTI jsou různě škálovány, transformace proměnných umožňuje určit upravený náhodný poměr pdf. Nechat ${displaystyle X = {frac {U} {U + V}} = {frac {1} {1 + B}}}$ kde ${displaystyle Usim Gamma (alpha _ {1}, heta), Vsim Gamma (alpha _ {2}, heta), heta}$ libovolné a shora ${displaystyle Xsim Beta (alpha _ {1}, alpha _ {2}), B = V / Usim Beta '(alpha _ {2}, alpha _ {1})}$ .

Změnit měřítko PROTI libovolně, definování ${displaystyle Ysim {frac {U} {U + varphi V}} = {frac {1} {1 + varphi B}}, ;; 0leq varphi leq infty}$

My máme ${displaystyle B = {frac {1-X} {X}}}$ a substituce do Y dává ${displaystyle Y = {frac {X} {varphi + (1-varphi) X}}, dY / dX = {frac {varphi} {(varphi + (1-varphi) X) ^ {2}}}}$

Transformace X na Y dává ${displaystyle f_ {Y} (Y) = {frac {f_ {X} (X)} {| dY / dX |}} = {frac {eta (X, alpha _ {1}, alpha _ {2})} {varphi / [varphi + (1-varphi) X] ^ {2}}}}$

Konstatování ${displaystyle X = {frac {varphi Y} {1- (1-varphi) Y}}}$ konečně máme

{displaystyle f_ {Y} (Y, varphi) = {frac {varphi} {[1- (1-varphi) Y] ^ {2}}} eta vlevo ({frac {varphi Y} {1- (1-varphi) ) Y}}, alpha _ {1}, alpha _ {2} ight), ;;; 0leq Yleq 1}

Pokud tedy ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, heta _ {1})}$ a ${displaystyle Vsim Gamma (alpha _ {2}, heta _ {2})}$
pak ${displaystyle Y = {frac {U} {U + V}}}$ je distribuován jako ${displaystyle f_ {Y} (Y, varphi)}$ s ${displaystyle varphi = {frac {heta _ {2}} {heta _ {1}}}}$

Distribuce Y je zde omezen na interval [0,1]. Lze to zobecnit škálováním tak, že pokud ${displaystyle Ysim f_ {Y} (Y, varphi)}$ pak

{displaystyle Theta Ysim f_ {Y} (Y, varphi, Theta)}

kde ${displaystyle f_ {Y} (Y, varphi, Theta) = {frac {varphi / Theta} {[1- (1-varphi) Y / Theta] ^ {2}}} eta vlevo ({frac {varphi Y / Theta } {1- (1-varphi) Y / Theta}}, alpha _ {1}, alpha _ {2} ight), ;;; 0leq Yleq Theta}$

{displaystyle Theta Y}

je pak ukázkou z

{displaystyle {frac {Theta U} {U + varphi V}}}

Reciproční vzorků vzorků z beta distribucí

Ačkoli nejde o poměrové rozdělení dvou proměnných, jsou užitečné následující identity pro jednu proměnnou:

Li

{displaystyle Xsim eta (alfa, eta)}

pak

{displaystyle mathbf {x} = {frac {X} {1-X}} sim eta '(alfa, eta)}

Li

{displaystyle mathbf {Y} sim eta '(alfa, eta)}

pak

{displaystyle y = {frac {1} {mathbf {Y}}} sim eta '(eta, alpha)}

kombinace dvou posledních rovnic poskytuje výnosy

Li

{displaystyle Xsim eta (alfa, eta)}

pak

{displaystyle mathbf {x} = {frac {1} {X}} - 1sim eta '(eta, alpha)}

.

Li

{displaystyle mathbf {Y} sim eta '(alfa, eta)}

pak

{displaystyle y = {frac {mathbf {Y}} {1 + mathbf {Y}}} sim eta (alfa, eta)}

od té doby ${displaystyle {frac {1} {1 + mathbf {Y}}} = {frac {mathbf {Y} ^ {- 1}} {mathbf {Y} ^ {- 1} +1}} sim eta (eta, alfa )}$

pak

{displaystyle 1 + mathbf {Y} sim {; eta (eta, alfa);} ^ {- 1}}

, rozdělení převrácených částek

{displaystyle eta (eta, alfa)}

Vzorky.

Li ${displaystyle Usim Gamma (alfa, 1), Vsim Gamma (eta, 1) {ext {then}} {frac {U} {V}} sim eta '(alfa, eta)}$ a

{displaystyle {frac {U / V} {1 + U / V}} = {frac {U} {V + U}} sim eta (alfa, eta)}

Další výsledky lze najít v Inverzní rozdělení článek.

Li ${displaystyle X,; Y}$ jsou nezávislé exponenciální náhodné proměnné se střední hodnotou μ, pak X − Y je dvojitý exponenciál náhodná proměnná se střední hodnotou 0 a stupnicíμ.

Binomická distribuce

Tento výsledek poprvé odvozili Katz et al v roce 1978.^[17]

Předpokládat X ~ Binomické (n,p₁) a Y ~ Binomické (m,p₂) a X, Y jsou nezávislé. Nechat T = (X/n)/(Y/m).

Poté se přihlaste (T) je přibližně normálně distribuován se středním logem (p₁/p₂) a rozptyl ((1 /p₁) − 1)/n + ((1/p₂) − 1)/m.

Distribuce binomického poměru má význam v klinických studiích: pokud je distribuce T jak je uvedeno výše, lze odhadnout pravděpodobnost daného poměru vznikajícího čistě náhodou, tj. falešně pozitivní studie. Řada článků porovnává robustnost různých aproximací pro binomický poměr.^{[Citace je zapotřebí ]}

Poissonovo a zkrácené Poissonovo rozdělení

V poměru Poissonových proměnných R = X / Y je tu problém Y je nula s konečnou pravděpodobností ano R není definováno. Abychom tomu čelili, považujeme zkrácený nebo cenzurovaný poměr R '= X / Y' kde nulový vzorek Y jsou zlevněné. Navíc v mnoha průzkumech lékařského typu existují systematické problémy se spolehlivostí nulových vzorků jak X, tak Y a může být dobrým zvykem stejně nulové vzorky ignorovat.

Pravděpodobnost, že bude nulový Poissonův vzorek ${displaystyle e ^ {- lambda}}$ , obecný pdf levého zkráceného Poissonova rozdělení je

{displaystyle {ilde {p}} _ {x} (x; lambda) = {frac {1} {1-e ^ {- lambda}}} {frac {e ^ {- lambda} lambda ^ {x}} { x!}}; ;;; xin 1,2,3, cdots}

což je jednota. Sleduji Cohena^[18], pro n nezávislých studií je multidimenzionální zkrácený soubor PDF

{displaystyle {ilde {p}} (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}; lambda) = {frac {1} {(1-e ^ {- lambda}) ^ {n}} } prod _ {i = 1} ^ {n} {frac {e ^ {- lambda} lambda ^ {x_ {i}}} {x_ {i}!}}, ;; x_ {i} v 1,2 , 3, cdots}

a pravděpodobnost logu se stane

{displaystyle L = ln ({ilde {p}}) = - nln (1-e ^ {- lambda}) - nlambda + ln (lambda) součet _ {1} ^ {n} x_ {i} -ln prod _ {1} ^ {n} (x_ {i}!), ;;; x_ {i} v 1,2,3, cdots}

Na diferenciaci dostaneme

{displaystyle dL / dlambda = {frac {-n} {1-e ^ {- lambda}}} + {frac {1} {lambda}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}

a nastavení na nulu poskytuje maximální odhad pravděpodobnosti ${displaystyle {hat {lambda}} _ {ML}}$

{displaystyle {frac {{hat {lambda}} _ {ML}} {1-e ^ {- {hat {lambda}} _ {ML}}}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = {ar {x}}}

Všimněte si, že jako ${displaystyle {hat {lambda}} ightarrow 0 {ext {then}} {ar {x}} ightarrow 1}$ takže zkrácená maximální pravděpodobnost ${displaystyle lambda}$ estimate, though correct for both truncated and untruncated distributions, gives a truncated mean ${displaystyle { ar {x}}}$ value which is highly biassed relative to the untruncated one. Nevertheless it appears that ${displaystyle { ar {x}}}$ je sufficient statistic pro ${displaystyle lambda}$ od té doby ${displaystyle {hat {lambda }}_{ML}}$ depends on the data only through the sample mean ${displaystyle { ar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ in the previous equation which is consistent with the methodology of the conventional Poissonovo rozdělení.

Absent any closed form solutions, the following approximate reversion for truncated ${displaystyle lambda}$ is valid over the whole range ${displaystyle 0leq lambda leq infty ;;1leq { ar {x}}leq infty }$ .

{displaystyle {hat {lambda }}={ ar {x}}-e^{-({ ar {x}}-1)}-0.07({ ar {x}}-1)e^{-0.666({ ar {x}}-1)}+epsilon ,;;;|epsilon |<0.006}

which compares with the non-truncated version which is simply ${displaystyle {hat {lambda }}={ ar {x}}}$ . Taking the ratio ${displaystyle R={hat {lambda }}_{X}/{hat {lambda }}_{Y}}$ is a valid operation even though ${displaystyle {hat {lambda }}_{X}}$ may use a non-truncated model while ${displaystyle {hat {lambda }}_{Y}}$ has a left-truncated one.

The asymptotic large- ${displaystyle nlambda { ext{ variance of }}{hat {lambda }}}$ (a Cramér – Rao vázán ) je

{displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})geq -left(mathbb {E} left[{frac {delta ^{2}L}{delta lambda ^{2}}}ight]_{lambda ={hat {lambda }}}ight)^{-1}}

in which substituting L dává

{displaystyle {frac {delta ^{2}L}{delta lambda ^{2}}}=-nleft[{frac { ar {x}}{lambda ^{2}}}-{frac {e^{-lambda }}{(1-e^{-lambda })^{2}}}ight]}

Poté střídání ${displaystyle { ar {x}}}$ from the equation above, we get Cohen's variance estimate

{displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})geq {frac {hat {lambda }}{n}}{frac {(1-e^{-{hat {lambda }}})^{2}}{1-({hat {lambda }}+1)e^{-{hat {lambda }}}}}}

The variance of the point estimate of the mean ${displaystyle lambda}$ , na základě n trials, decreases asymptotically to zero as n se zvyšuje do nekonečna. Pro malé ${displaystyle lambda}$ it diverges from the truncated pdf variance in Springael^[19] for example, who quotes a variance of

{displaystyle mathbb {Var} (lambda )={frac {lambda /n}{1-e^{-lambda }}}left[1-{frac {lambda e^{-lambda }}{1-e^{-lambda }}}ight]}

pro n samples in the left-truncated pdf shown at the top of this section. Cohen showed that the variance of the estimate relative to the variance of the pdf, ${displaystyle mathbb {Var} ({hat {lambda }})/mathbb {Var} (lambda )}$ , ranges from 1 for large ${displaystyle lambda}$ (100% efficient) up to 2 as ${displaystyle lambda}$ approaches zero (50% efficient).

These mean and variance parameter estimates, together with parallel estimates for X, can be applied to Normal or Binomial approximations for the Poisson ratio. Samples from trials may not be a good fit for the Poisson process; a further discussion of Poisson truncation is by Dietz and Bohning^[20] a tam je Zero-truncated Poisson distribution Wikipedia entry.

Double Lomax distribution

This distribution is the ratio of two Laplace distributions.^[21] Nechat X a Y be standard Laplace identically distributed random variables and let z = X / Y. Pak rozdělení pravděpodobnosti z je

{displaystyle f(x)={frac {1}{2(1+|z|)^{2}}}}

Let the mean of the X a Y být A. Then the standard double Lomax distribution is symmetric around A.

This distribution has an infinite mean and variance.

Li Z has a standard double Lomax distribution, then 1/Z also has a standard double Lomax distribution.

The standard Lomax distribution is unimodal and has heavier tails than the Laplace distribution.

Pro 0 < A <1, A^th moment exists.

{displaystyle E(Z^{a})={frac {Gamma (1+a)}{Gamma (1-a)}}}

kde Γ je funkce gama.

Ratio distributions in multivariate analysis

Ratio distributions also appear in vícerozměrná analýza.^[22] If the random matrices X a Y následujte a Wishart distribuce then the ratio of the determinanty

{displaystyle varphi =|mathbf {X} |/|mathbf {Y} |}

is proportional to the product of independent F náhodné proměnné. V případě, že X a Y are from independent standardized Wishart distributions then the ratio

{displaystyle Lambda ={|mathbf {X} |/|mathbf {X} +mathbf {Y} |}}

má Wilksova distribuce lambda.

Ratios of Quadratic Forms involving Wishart Matrices

Probability distribution can be derived from random quadratic forms

{displaystyle r=V^{T}AV}

kde ${displaystyle V{ ext{ and/or }}A}$ are random^[23]. Li A is the inverse of another matrix B pak ${displaystyle r=V^{T}B^{-1}V}$ is a random ratio in some sense, frequently arising in Least Squares estimation problems.

In the Gaussian case if A is a matrix drawn from a complex Wishart distribution ${displaystyle Asim W_{C}(A_{0},k,p)}$ of dimensionality p x p a k degrees of freedom with ${displaystyle kgeq p{ ext{ while }}V}$ is an arbitrary complex vector with Hermitian (conjugate) transpose ${displaystyle (.)^{H}}$ , the ratio

{displaystyle r=k{frac {V^{H}A_{0}^{-1}V}{V^{H}A^{-1}V}}}

follows the Gamma distribution

{displaystyle p_{1}(r)={frac {r^{k-p}e^{-r}}{Gamma (k-p+1)}},;;;rgeq 0}

The result arises in least squares adaptive Wiener filtering - see eqn(A13) of.^[24] Note that the original article contends that the distribution is ${displaystyle p_{1}(r)=r^{k-p-1};e^{-r};/Gamma (k-p)}$ .

Similarly, Bodnar et. al^[25] show that (Theorem 2, Corollary 1), for full-rank ( ${displaystyle kgeq p)}$ real-valued Wishart matrix samples ${displaystyle Wsim W(Sigma ,k,p)}$ , a PROTI a random vector independent of Ž, the ratio

{displaystyle r={frac {V^{T}Sigma ^{-1}V}{V^{T}W^{-1}V}}sim chi _{k-p+1}^{2}}

Given complex Wishart matrix ${displaystyle Asim W_{C}(I,k,p)}$ , the ratio

{displaystyle ho ={frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-2}Vcdot V^{H}V}}}

follows the Beta distribution (see eqn(47) of^[26])

{displaystyle p_{2}(ho )=(1-ho )^{p-2}ho ^{k-p+1}{frac {k!}{(k+1-p)!(p-2)!}},;;;0leq ho leq 1}

The result arises in the performance analysis of constrained least squares filtering and derives from a more complex but ultimately equivalent ratio that if ${displaystyle Asim W_{C}(A_{0},n,p)}$ pak

{displaystyle ho ={frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-1}A_{0}A^{-1}Vcdot V^{H}A_{0}^{-1}V}}}

In its simplest form, if ${displaystyle A_{i,j}sim W_{C}(I,k,p)}$ a ${displaystyle W^{i,j}=left(W^{-1}ight)_{i,j}}$ then the ratio of the (1,1) inverse element squared to the sum of modulus squares of the whole top row elements has distribution

{displaystyle ho ={frac {left(W^{1,1}ight)^{2}}{sum _{jin 1..p}|W^{1,j}|^{2}}}sim eta (p-1,k-p+2)}

Viz také

Vztahy mezi distribucemi pravděpodobnosti
Inverzní rozdělení (also known as reciprocal distribution)
Distribuce produktu
Ratio estimator
Lomítko distribuce

Reference

^ ^A ^b Geary, R. C. (1930). "The Frequency Distribution of the Quotient of Two Normal Variates". Journal of the Royal Statistical Society. 93 (3): 442–446. doi:10.2307/2342070. JSTOR 2342070.
^ Fieller, E. C. (November 1932). "The Distribution of the Index in a Normal Bivariate Population". Biometrika. 24 (3/4): 428–440. doi:10.2307/2331976. JSTOR 2331976.
^ ^A ^b Curtiss, J. H. (December 1941). "On the Distribution of the Quotient of Two Chance Variables". Annals of Mathematical Statistics. 12 (4): 409–421. doi:10.1214/aoms/1177731679. JSTOR 2235953.
^ George Marsaglia (Duben 1964). Ratios of Normal Variables and Ratios of Sums of Uniform Variables. Obranné technické informační centrum.
^ Marsaglia, George (Březen 1965). "Ratios of Normal Variables and Ratios of Sums of Uniform Variables". Journal of the American Statistical Association. 60 (309): 193–204. doi:10.2307/2283145. JSTOR 2283145.
^ ^A ^b ^C Hinkley, D. V. (Prosinec 1969). "On the Ratio of Two Correlated Normal Random Variables". Biometrika. 56 (3): 635–639. doi:10.2307/2334671. JSTOR 2334671.
^ ^A ^b Hayya, Jacku; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (červenec 1975). „Poznámka k poměru dvou normálně distribuovaných proměnných“. Věda o řízení. 21 (11): 1338–1341. doi:10,1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Springer, Melvin Dale (1979). Algebra náhodných proměnných. Wiley. ISBN 0-471-01406-0.
^ ^A ^b Pham-Gia, T.; Turkkan, N.; Marchand, E. (2006). "Density of the Ratio of Two Normal Random Variables and Applications". Komunikace ve statistice - teorie a metody. Taylor & Francis. 35 (9): 1569–1591. doi:10.1080/03610920600683689.
^ Brody, James P.; Williams, Brian A.; Wold, Barbara J.; Quake, Stephen R. (Říjen 2002). "Significance and statistical errors in the analysis of DNA microarray data" (PDF). Proc Natl Acad Sci U S A. 99 (20): 12975–12978. doi:10.1073/pnas.162468199. PMC 130571. PMID 12235357.
^ Díaz-Francés, Eloísa; Rubio, Francisco J. (2012-01-24). "On the existence of a normal approximation to the distribution of the ratio of two independent normal random variables". Statistické dokumenty. Springer Science and Business Media LLC. 54 (2): 309–323. doi:10.1007/s00362-012-0429-2. ISSN 0932-5026.
^ Baxley, R T; Waldenhorst, B T; Acosta-Marum, G (2010). "Complex Gaussian Ratio Distribution with Applications for Error Rate Calculation in Fading Channels with Imperfect CSI". 2010 IEEE Global Telecommunications Conference GLOBECOM 2010. s. 1–5. doi:10.1109/GLOCOM.2010.5683407. ISBN 978-1-4244-5636-9.
^ ^A ^b ^C Kermond, John (2010). "An Introduction to the Algebra of Random Variables". Mathematical Association of Victoria 47th Annual Conference Proceedings – New Curriculum. New Opportunities. The Mathematical Association of Victoria: 1–16. ISBN 978-1-876949-50-1.
^ "SLAPPF". Statistical Engineering Division, National Institute of Science and Technology. Citováno 2009-07-02.
^ Hamedani, G. G. (Oct 2013). "Characterizations of Distribution of Ratio of Rayleigh Random Variables". Pakistan Journal of Statistics. 29 (4): 369–376.
^ B. Raja Rao, M. L. Garg. "A note on the generalized (positive) Cauchy distribution." Canadian Mathematical Bulletin. 12(1969), 865–868 Published:1969-01-01
^ Katz D. et al.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474
^ Cohen, A Clifford (June 1960). "Estimating the Parameter in a Conditional Poisson Distribution". Biometrie. 60 (2): 203–211.
^ Springael, Johan (2006). "On the sum of independent zero-truncated Poisson random variables" (PDF). University of Antwerp, Faculty of Business and Economics.
^ Dietz, Ekkehart; Bohning, Dankmar (2000). "On Estimation of the Poisson Parameter in Zero-Modified Poisson Models". Computational Statistics & Data Analysis (Elsevier). 34 (4): 441–459. doi:10.1016/S0167-9473(99)00111-5.
^ Bindu P a Sangita K (2015) Double Lomax distribution and its applications. Statistica LXXV (3) 331–342
^ Brennanová, LE; Reed, I S (leden 1982). "Adaptivní algoritmus zpracování signálu pro komunikaci". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-18 č. 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. doi:10.1109 / TAES.1982.309212.
^ Mathai, AM; Provost, L (1992). Kvadratické formy v náhodných proměnných. New York: Mercel Decker Inc. ISBN 0-8247-8691-2.
^ Brennanová, LE; Reed, I S (leden 1982). "Adaptivní algoritmus zpracování signálu pro komunikaci". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-18 č. 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. doi:10.1109 / TAES.1982.309212.
^ Bodnar, T; Mazur, S; Podgorski, K (2015). „Singulární inverzní distribuce Wishart s aplikací na teorii portfolia“. Lund Univj. Odbor statistik, pracovní dokument č. 2 BodnarSingularInverseWishart.pdf.
^ Reed, I S; Mallett, JD; Brennan, L E (listopad 1974). "Rychlá konvergenční rychlost v adaptivních polích". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-10 č. 6: 853–863.

externí odkazy

[GearyR1930Frequency-1] A ^b Geary, R. C. (1930). "The Frequency Distribution of the Quotient of Two Normal Variates". Journal of the Royal Statistical Society. 93 (3): 442–446. doi:10.2307/2342070. JSTOR 2342070.

[Fieller1932On-2] Fieller, E. C. (November 1932). "The Distribution of the Index in a Normal Bivariate Population". Biometrika. 24 (3/4): 428–440. doi:10.2307/2331976. JSTOR 2331976.

[CurtissJ1941On-3] A ^b Curtiss, J. H. (December 1941). "On the Distribution of the Quotient of Two Chance Variables". Annals of Mathematical Statistics. 12 (4): 409–421. doi:10.1214/aoms/1177731679. JSTOR 2235953.

[4] George Marsaglia (Duben 1964). Ratios of Normal Variables and Ratios of Sums of Uniform Variables. Obranné technické informační centrum.

[5] Marsaglia, George (Březen 1965). "Ratios of Normal Variables and Ratios of Sums of Uniform Variables". Journal of the American Statistical Association. 60 (309): 193–204. doi:10.2307/2283145. JSTOR 2283145.

[HinkleyD1969On-6] A ^b ^C Hinkley, D. V. (Prosinec 1969). "On the Ratio of Two Correlated Normal Random Variables". Biometrika. 56 (3): 635–639. doi:10.2307/2334671. JSTOR 2334671.

[HayyaJ1975On-7] A ^b Hayya, Jacku; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (červenec 1975). „Poznámka k poměru dvou normálně distribuovaných proměnných“. Věda o řízení. 21 (11): 1338–1341. doi:10,1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.

[SpringerM1979Algebra-8] A ^b ^C ^d ^E ^F Springer, Melvin Dale (1979). Algebra náhodných proměnných. Wiley. ISBN 0-471-01406-0.

[PhamGiaT2006Density-9] A ^b Pham-Gia, T.; Turkkan, N.; Marchand, E. (2006). "Density of the Ratio of Two Normal Random Variables and Applications". Komunikace ve statistice - teorie a metody. Taylor & Francis. 35 (9): 1569–1591. doi:10.1080/03610920600683689.

[10] Brody, James P.; Williams, Brian A.; Wold, Barbara J.; Quake, Stephen R. (Říjen 2002). "Significance and statistical errors in the analysis of DNA microarray data" (PDF). Proc Natl Acad Sci U S A. 99 (20): 12975–12978. doi:10.1073/pnas.162468199. PMC 130571. PMID 12235357.

[Díaz-Francés_Rubio_pp._309–323-11] Díaz-Francés, Eloísa; Rubio, Francisco J. (2012-01-24). "On the existence of a normal approximation to the distribution of the ratio of two independent normal random variables". Statistické dokumenty. Springer Science and Business Media LLC. 54 (2): 309–323. doi:10.1007/s00362-012-0429-2. ISSN 0932-5026.

[12] Baxley, R T; Waldenhorst, B T; Acosta-Marum, G (2010). "Complex Gaussian Ratio Distribution with Applications for Error Rate Calculation in Fading Channels with Imperfect CSI". 2010 IEEE Global Telecommunications Conference GLOBECOM 2010. s. 1–5. doi:10.1109/GLOCOM.2010.5683407. ISBN 978-1-4244-5636-9.

[Kermond2010-13] A ^b ^C Kermond, John (2010). "An Introduction to the Algebra of Random Variables". Mathematical Association of Victoria 47th Annual Conference Proceedings – New Curriculum. New Opportunities. The Mathematical Association of Victoria: 1–16. ISBN 978-1-876949-50-1.

[nist-14] "SLAPPF". Statistical Engineering Division, National Institute of Science and Technology. Citováno 2009-07-02.

[15] Hamedani, G. G. (Oct 2013). "Characterizations of Distribution of Ratio of Rayleigh Random Variables". Pakistan Journal of Statistics. 29 (4): 369–376.

[16] B. Raja Rao, M. L. Garg. "A note on the generalized (positive) Cauchy distribution." Canadian Mathematical Bulletin. 12(1969), 865–868 Published:1969-01-01

[Katz1978-17] Katz D. et al.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474

[18] Cohen, A Clifford (June 1960). "Estimating the Parameter in a Conditional Poisson Distribution". Biometrie. 60 (2): 203–211.

[19] Springael, Johan (2006). "On the sum of independent zero-truncated Poisson random variables" (PDF). University of Antwerp, Faculty of Business and Economics.

[20] Dietz, Ekkehart; Bohning, Dankmar (2000). "On Estimation of the Poisson Parameter in Zero-Modified Poisson Models". Computational Statistics & Data Analysis (Elsevier). 34 (4): 441–459. doi:10.1016/S0167-9473(99)00111-5.

[Bindu2015-21] Bindu P a Sangita K (2015) Double Lomax distribution and its applications. Statistica LXXV (3) 331–342

[22] Brennanová, LE; Reed, I S (leden 1982). "Adaptivní algoritmus zpracování signálu pro komunikaci". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-18 č. 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. doi:10.1109 / TAES.1982.309212.

[23] Mathai, AM; Provost, L (1992). Kvadratické formy v náhodných proměnných. New York: Mercel Decker Inc. ISBN 0-8247-8691-2.

[24] Brennanová, LE; Reed, I S (leden 1982). "Adaptivní algoritmus zpracování signálu pro komunikaci". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-18 č. 1: 124–130. Bibcode:1982ITAES..18..124B. doi:10.1109 / TAES.1982.309212.

[25] Bodnar, T; Mazur, S; Podgorski, K (2015). „Singulární inverzní distribuce Wishart s aplikací na teorii portfolia“. Lund Univj. Odbor statistik, pracovní dokument č. 2 BodnarSingularInverseWishart.pdf.

[26] Reed, I S; Mallett, JD; Brennan, L E (listopad 1974). "Rychlá konvergenční rychlost v adaptivních polích". Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. AES-10 č. 6: 853–863.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]