Inverzní rozdělení - Inverse distribution
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.duben 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, an inverzní rozdělení je distribuce reciproční náhodné proměnné. Inverzní distribuce vznikají zejména v Bayesian kontext předchozí distribuce a zadní distribuce pro parametry měřítka. V algebra náhodných proměnných, inverzní distribuce jsou speciální případy třídy poměrové rozdělení, ve kterém má náhodná proměnná čitatele a zdegenerovaná distribuce.
Vztah k původní distribuci
Obecně platí, že vzhledem k rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X s přísně pozitivní podporou je možné najít rozdělení vzájemnosti, Y = 1 / X. Pokud je distribuce X je kontinuální s funkce hustoty F(X) a kumulativní distribuční funkce F(X), pak kumulativní distribuční funkce, G(y), na oplátku se zjistí tím, že
Pak funkce hustoty Y se nalézá jako derivát kumulativní distribuční funkce:
Příklady
Reciproční distribuce
The vzájemná distribuce má hustotu funkce formuláře.[1]
kde prostředek „je úměrný“ Z toho vyplývá, že inverzní distribuce má v tomto případě tvar
což je opět vzájemná distribuce.
Inverzní rovnoměrné rozdělení
Parametry | |||
---|---|---|---|
Podpěra, podpora | |||
CDF | |||
Znamenat | |||
Medián | |||
Rozptyl |
Pokud je původní náhodná proměnná X je rovnoměrně rozloženo na intervalu (A,b), kde A> 0, pak reciproční proměnná Y = 1 / X má vzájemné rozdělení, které bere hodnoty v rozsahu (b−1 ,A−1) a funkce hustoty pravděpodobnosti v tomto rozsahu je
a jinde je nula.
Kumulativní distribuční funkce převrácené hodnoty ve stejném rozsahu je
Například pokud X je potom rovnoměrně rozloženo na interval (0,1) Y = 1 / X má hustotu a kumulativní distribuční funkce když
Inverzní t rozdělení
Nechat X být t distribuováno náhodné variace s k stupně svobody. Pak je jeho funkce hustoty
Hustota Y = 1 / X je
S k = 1, distribuce X a 1 /X jsou identické (X je tedy Cauchy distribuován (0,1)). Li k > 1 pak distribuce 1 /X je bimodální.[Citace je zapotřebí ]
Reciproční normální rozdělení

Li X je standardně distribuován proměnná pak distribuce inverzní nebo reciproční 1 /X (vzájemné standardní normální rozdělení) je bimodální,[2]a momenty prvního a vyššího řádu neexistují.[2]Pro takové inverzní rozdělení a pro poměrové rozdělení, stále lze definovat pravděpodobnosti intervalů, které lze vypočítat pomocí Simulace Monte Carlo nebo v některých případech pomocí transformace Geary – Hinkley.[3]
V obecnějším případě posunuté reciproční funkce , pro po obecném normálním rozdělení pak existují statistiky a rozptyl v a hlavní hodnota smysl, pokud je rozdíl mezi pólem a průměr má skutečnou hodnotu. Průměr této transformované náhodné proměnné (převrácené normální rozdělení) je pak skutečně zmenšen Dawsonova funkce:[4]
- .
Naproti tomu, pokud je posun je čistě složitý, střední existuje a má měřítko Faddeevova funkce, jehož přesný výraz závisí na znaménku imaginární části, V obou případech je odchylka jednoduchou funkcí průměru.[5] Proto je třeba odchylku považovat v zásadním smyslu za hodnotu, pokud je reálné, i když existuje, pokud je jeho imaginární součástí je nenulová. Tyto prostředky a odchylky jsou přesné, protože se neopakují v linearizaci poměru. Přesná kovariance dvou poměrů s dvojicí různých pólů a je podobně k dispozici.[6]Případ inverze a komplexní normální proměnná , posunuté nebo ne, vykazuje různé vlastnosti.[4]
Inverzní exponenciální rozdělení
Li je exponenciálně distribuovaná náhodná proměnná s parametrem rychlosti , pak má následující funkci kumulativní distribuce: pro . Všimněte si, že očekávaná hodnota této náhodné proměnné neexistuje. Reciproční exponenciální distribuce nachází uplatnění v analýze slábnoucích bezdrátových komunikačních systémů.
Inverzní Cauchyovo rozdělení
Li X je Cauchy distribuován (μ, σ) náhodná proměnná, pak 1 / X je Cauchy ( μ / C, σ / C ) náhodná proměnná kde C = μ2 + σ2.
Inverzní F distribuce
Li X je F(ν1, ν2 ) distribuován náhodná proměnná pak 1 / X je F(ν2, ν1 ) náhodná proměnná.
Reciproční binomické distribuce
Žádná uzavřená forma pro tuto distribuci není známa. Je známa asymptotická aproximace průměru.[7]
kde E [] je operátor očekávání, X je náhodná proměnná, O () a o () jsou velké a malé o objednávkové funkce, n je velikost vzorku, p je pravděpodobnost úspěchu a a je proměnná, která může být kladná nebo záporná, celé číslo nebo zlomková.
Reciproční trojúhelníkového rozdělení
Pro trojúhelníkové rozdělení se spodní hranicí A, horní limit b a režim C, kde A < b a A ≤ C ≤ b, průměr převrácené hodnoty je dán vztahem
a rozptyl podle
.
Oba momenty reciprocity jsou definovány pouze tehdy, když trojúhelník nepřekročí nulu, tj. Když A, b, a C jsou buď všechny pozitivní, nebo všechny negativní.
Další inverzní distribuce
Mezi další inverzní distribuce patří
- inverzní-chi-kvadrát distribuce
- inverzní gama distribuce
- inverzní Wishartova distribuce
- inverzní maticová distribuce gama
Aplikace
Inverzní distribuce jsou široce používány jako předchozí distribuce v Bayesianově odvození parametrů měřítka.
Viz také
Reference
- ^ Hamming R. W. (1970) „O rozdělení čísel“, The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625
- ^ A b Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distribuce, díl 1. Wiley. str. 171. ISBN 0-471-58495-9.
- ^ Hayya, Jacku; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (červenec 1975). „Poznámka k poměru dvou normálně distribuovaných proměnných“. Věda o řízení. 21 (11): 1338–1341. doi:10,1287 / mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.
- ^ A b Lecomte, Christophe (květen 2013). „Přesná statistika systémů s nejistotami: analytická teorie stochastických dynamických systémů první úrovně“. Journal of Sound and Vibrations. 332 (11): 2750–2776. doi:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
- ^ Lecomte, Christophe (květen 2013). „Přesná statistika systémů s nejistotami: analytická teorie stochastických dynamických systémů první úrovně“. Journal of Sound and Vibrations. 332 (11). Oddíl (4.1.1). doi:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
- ^ Lecomte, Christophe (květen 2013). „Přesná statistika systémů s nejistotami: analytická teorie stochastických dynamických systémů první úrovně“. Journal of Sound and Vibrations. 332 (11). Rovnice (39) - (40). doi:10.1016 / j.jsv.2012.12.009.
- ^ Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) Poznámka k inverzním momentům binomického variace. Brazilian Review of Econometrics 20 (2)