Základní rozsah - Essential range
v matematika, zejména teorie míry, základní rozsah a funkce je intuitivně „nezanedbatelný“ rozsah funkce: Nemění se mezi dvěma funkcemi, které jsou stejné téměř všude. Jedním ze způsobů uvažování o základním rozsahu funkce je soubor na které je rozsah funkce nejvíce „koncentrovaný“. Základní rozsah lze definovat pro měřitelný skutečné nebo komplexní funkce na a změřte prostor.
Formální definice
Nechat F být Borel měřitelný, funkce s komplexní hodnotou definovaná v a změřte prostor . Pak základní rozsah F je definována jako množina:
Jinými slovy: Základní rozsah funkce s komplexní hodnotou je množina všech komplexních čísel z tak, že inverzní obraz každého ε sousedství z pod F má pozitivní míru.
Vlastnosti
- Základní rozsah měřitelné funkce je vždy uzavřen.
- Základní rozsah ess.im (f) měřitelné funkce je vždy podmnožinou .
- Základní obraz nelze použít k rozlišení funkcí, které jsou téměř všude stejné: If drží -téměř všude, pak .
- Tato dvě fakta charakterizují základní obraz: Je to největší soubor obsažený v závěrech pro všechna g, která jsou a.e. rovná se f:
- .
- Základní rozsah uspokojuje .
- Tato skutečnost charakterizuje základní obraz: Je to nejmenší uzavřená podmnožina s touto vlastností.
- The základní supremum funkce se skutečnou hodnotou se rovná nadřazenosti jejího základního obrazu a základní infimum se rovná infimu jejího základního rozsahu. V důsledku toho je funkce v zásadě omezená právě tehdy, je-li omezen její základní rozsah.
- Základní rozsah v podstatě ohraničené funkce f se rovná spektrum kde f je považováno za prvek prvku C * -algebra .
Příklady
- Li je nulová míra, pak je základní obraz všech měřitelných funkcí prázdný.
- To také ilustruje, že i když je základní rozsah funkce podmnožinou uzavření rozsahu této funkce, nemusí platit rovnost dvou sad.
- Li je otevřeno, kontinuální a tedy opatření Lebesgue drží. Toto platí obecněji pro všechny míry Borel, které přiřazují nenulovou míru každé neprázdné otevřené sadě.
Viz také
Reference
- Walter Rudin (1974). Skutečná a komplexní analýza (2. vyd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.