Randolphův diagram - Randolph diagram

Randolphův diagram který představuje logický výrok ${ displaystyle P lor Q}$ (disjunkce ).

A Randolphův diagram (R-diagram) je jednoduchý způsob vizualizace logických výrazů a kombinací množin. Randolphovy diagramy vytvořil matematik John F. Randolph v roce 1965, když učil na University of Arkansas.

Přehled

Randolphovy diagramy lze nejjednodušší interpretovat definováním každého řádku jako patřící nebo vztahující se jeden logický výrok nebo množina. Jakákoli tečka nad řádkem označuje pravdu nebo začlenění a pod řádkem označuje nepravdu nebo vyloučení. Pomocí tohoto systému lze pomocí protínajících se čar představovat libovolnou kombinaci množin nebo logických příkazů.

Ačkoli Vennovy diagramy jsou běžněji používány k reprezentaci kombinací sad, Randolphovy diagramy mají tu výhodu, že jsou schopné čistě reprezentovat kombinace více než 3 sad. Vennovy diagramy vyžadují buď rozšíření do vyšších prostorových rozměrů, nebo použití složitějších tvarů, zatímco Randolphovy diagramy se rovnoměrně dělí pro každou další sadu.^[1] Zde je srovnání mezi Vennovým diagramem a R-diagramem pro 5 množin nebo logických příkazů:

Dějiny

Ve své úvodní práci na toto téma Křížový průzkum výrokového počtu a množinové operace,^[2] Randolph uvádí, že první použití křížků a teček k reprezentaci logických vztahů bylo zavedeno uživatelem W. S. McCulloch, neurofyziolog a Randolphův současník. Randolph upravil McCullochův systém novým způsobem reprezentace kombinací a vztahů více než dvou logických příkazů nebo sad, konkrétně rozdělení každé části R-diagramu novou diagonální čarou pro každý nový zavedený prvek. Randolphův článek naznačuje, že jeho původní představou bylo použití R-diagramů k reprezentaci logických vztahů a poté rozšířil myšlenku, která se má použít i na teorii množin. V celém příspěvku jsou použity R-diagramy ve spojení s normálními logickými a nastavenými binárními provozními symboly.

Aplikace na logickou teorii

Při aplikaci R-diagramů na logickou teorii logické výroky p, q a r se každý může stát řádkem nebo více řádky pro vizuální zobrazení platnosti každého prvku ve větším příkazu. Obecně se předpokládá, že p je reprezentováno šikmou linií nahoru (/), zatímco q je reprezentováno šikmou linií dolů (). Tečka v diagramu nad šikmou čárou označuje pravdivost tohoto tvrzení; podobně tečka dole označuje faleš. Níže jsou uvedeny R-diagramy pro p a q:

U více než dvou příkazů musí být čtyři mezery tvořené průsečíkem přímek p a q rozděleny na více řádků. V případě r je do každé ze čtyř mezer přidána jedna nahoru se svažující čára (/). R-diagram pro r je uveden níže:

Tuto metodu lze rozšířit na libovolný počet pravdivých hodnot:

, atd.

R-diagramy se primárně používají k reprezentaci logických výrazů. Vzhledem k logickému návrhu jsou R-diagramy schopny zobrazit výsledek každé možné variace každého prvku true / false a vytvořit alternativní způsob, jak reprezentovat pravdivostní tabulka.

Všechny základní logické operace, nebo spojky, lze vyjádřit pomocí R-diagramů jako snadněji čitelné alternativy k tabulce pravdivosti, jak ukazuje následující tabulka:

Základní logické operace

název	Symboly	R-diagram	Pravdivá tabulka
Negace (ne)	¬ , ~		p ¬p T F F T
Spojení (a)	& , ∧		p q p ∧ q T T T T F F F T F F F F
Disjunkce (nebo)	∨		p q p ∨ q T T T T F T F T T F F F
Materiální implikace (pokud ... pak)	${ displaystyle rightarrow}$ , ${ displaystyle Rightarrow}$, ${ displaystyle supset}$		p q p ${ displaystyle rightarrow}$ q T T T T F F F T T F F T
Biconditional (pokud a jen pokud, xnor)	${ displaystyle leftrightarrow}$, ${ displaystyle equiv}$, ${ displaystyle =}$		p q p ${ displaystyle leftrightarrow}$ q T T T T F F F T F F F T

Zjednodušení logických výrazů

R-diagramy lze použít ke snadnému zjednodušení složitých logických výrazů pomocí postupu krok za krokem. Pomocí pořadí operací se logické operátory aplikují na R-diagramy ve správném pořadí. Nakonec je výsledkem R-diagram, který lze převést zpět na jednodušší logický výraz.

Vezměte například následující výraz:

${ displaystyle (Q leftrightarrow P) lor ( lnot P land Q) ,}$

Lze jej zjednodušit pomocí R-diagramů následujícím způsobem:

${ displaystyle (}$${ displaystyle leftrightarrow}$${ displaystyle) lor (}$${ displaystyle land}$${ displaystyle)}$

${ displaystyle lor}$

což se rovná:

${ displaystyle P rightarrow Q. ,}$

Prokázání logických argumentů

Podobně lze R-diagramy použít k prokázání nebo vyvrácení logických argumentů. Vezměme si například známý argument modus ponens, známé také jako eliminace implikací:

${ displaystyle { frac {P až Q, P} { tedy Q}}}$

To lze převést na a tautologické logický výraz,

${ displaystyle ((P až Q) přistát P) až Q}$

které lze poté zjednodušit pomocí R-diagramů:

${ displaystyle ((}$${ displaystyle to}$${ displaystyle) land}$${ displaystyle) to}$

${ displaystyle (}$${ displaystyle land}$${ displaystyle) to}$

${ displaystyle to}$

Výsledkem je R-diagram, ve kterém má každý prostor tečku. To znamená, že argumentem je tautologie; je to pravda ve všech případech. R-diagram, ve kterém žádný prostor nemá tečku, je a rozpor, prohlášení, které nikdy není pravdivé.

Aplikace teorie množin

R-diagramy se také používají v teorie množin, jako alternativa k Vennovým diagramům. V teorii množin představuje každý řádek množinu namísto logického tvrzení; A nahrazuje p a B nahrazuje q. Při použití pro množiny představuje tečka nad řádkem zahrnutí, kde tečka níže představuje vyloučení. Stejně jako v logice lze základní množinové operace vizuálně znázornit pomocí R-diagramů:

Základní operace se sadou

název	Zápis	R-diagram
svaz	${ displaystyle A cup B}$
Průsečík	${ displaystyle A cap B}$
Absolutní doplněk	${ displaystyle A ^ {c}}$
Relativní doplněk (nastavený rozdíl)	${ displaystyle A smallsetminus B}$
Symetrický rozdíl	${ displaystyle A Delta B}$

R-diagramy ilustrují ekvivalenci mezi množinou teoretických a logických konceptů: průnik v teorii množin je ekvivalentní konjunkci v logice a sjednocení teorie množin je ekvivalentní logické disjunkci.

Reference