Consani – Scholten quintic - Consani–Scholten quintic

Plátek quintic Consani – Scholten

V matematických oblastech algebraická geometrie a aritmetická geometrie, Consani – Scholten quintic je algebraický nadpovrch (soubor řešení k jednomu polynomiální rovnice ve více proměnných) studoval v roce 2001 Caterina Consani a Jasper Scholten. Byl použit jako testovací případ pro Langlandsův program.^[1][2][3]

Definice

Consani a Scholten definují svoji hyperplochu z (projektivováno ) sada řešení rovnice

${ displaystyle P (x, y) = P (z, w)}$

ve čtyřech komplexních proměnných, kde

${ displaystyle P (x, y) = x ^ {5} + y ^ {5} - (5xy-5) (x ^ {2} + y ^ {2} -x-y).}$

V této formě je výsledný hyperplocha jednotné číslo: má 120 dvojité body. Své Hodge diamant je^[1][2][3]

Samotná Consani – Scholtonova kvintika je nesingulární hyperpovrch získaný pomocí vyhodit do vzduchu tyto singularity. Jako ne-singulární quintic trojí, to je Rozdělovač Calabi – Yau.^[1][2][3]

Modularita

Podle programu Langlands pro každé Calabi – Yau trojnásobné ${ displaystyle X}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$, Galois reprezentace dávat akci absolutní skupina Galois na ${ displaystyle ell}$-adic étale cohomology ${ displaystyle H ^ {3} (X _ { bar { mathbb {Q}}}, mathbb {Q} _ { ell})}$ (pro prvočísla ${ displaystyle ell}$ z dobrá redukce, což pro tuto křivku znamená, že jakékoli prvočíslo jiné než 2, 3 nebo 5) by mělo mít stejné Řada L. jako automorfní forma. Toto bylo známé pro „tuhé“ trojnásobné Calabi – Yau, pro které má rodina reprezentací Galois rozměr dva, důkazem Serreova domněnka o modularitě. Consani – Scholtonova kvintika poskytuje nestranný příklad, kde je dimenze čtyři. Consani a Scholten zkonstruovali a Hilbertova modulární forma a domníval se, že její řada L souhlasila s Galoisovými reprezentacemi pro jejich křivku; toto bylo prokázáno Dieulefait, Pacetti & Schütt (2012).^[2][3]

Reference