Odrůda Severi – Brauer - Severi–Brauer variety
v matematika, a Odrůda Severi – Brauer přes pole K. je algebraická rozmanitost PROTI který se stává izomorfní do a projektivní prostor přes algebraické uzavření z K.. Odrůdy jsou spojeny s centrální jednoduché algebry takovým způsobem, že se algebra rozdělí K. právě když má odrůda racionální bod K..[1] Francesco Severi (1932 ) studoval tyto odrůdy a jsou také pojmenovány Richard Brauer z důvodu jejich blízkého vztahu k Brauerova skupina.
V dimenzi jedna jsou odrůdy Severi – Brauer kuželosečky. Odpovídající centrální jednoduché algebry jsou čtveřice algeber. Algebra (A,b)K. odpovídá kuželosečce C(A,b) s rovnicí
a algebra (A,b)K. rozdělí se, to znamená, (A,b)K. je izomorfní s a maticová algebra přes K., právě když C(A,b) má definovaný bod nad K.: to je zase ekvivalent k C(A,b) je izomorfní s projektivní linie přes K..[1][2]
Tyto odrůdy jsou zajímavé nejen pro diofantická geometrie, ale také v Galoisova kohomologie. Představují (alespoň pokud K. je perfektní pole ) Kurzy galoisovy kohomologie vH1(PGLn),kde PGLnje projektivní lineární skupina, a n je dimenze odrůdy PROTI. Tady je krátká přesná sekvence
- 1 → GL1 → GLn → PGLn → 1
z algebraické skupiny. To znamená a spojující homomorfismus
- H1(PGLn) → H2(GL1)
na úrovni kohomologie. Tady H2(GL1) je identifikován s Brauerova skupina z K., zatímco jádro je triviální, protožeH1(GLn) = {1} o příponu Hilbertova věta 90.[3][4] Proto mohou být odrůdy Severi – Brauer věrně reprezentovány Brauerovými prvky skupiny, tj. Třídami centrální jednoduché algebry.
Lichtenbaum ukázal, že pokud X je odrůda Severi – Brauer K. pak existuje přesná sekvence
Zde mapa δ vysílá 1 do Brauerovy třídy odpovídající X.[2]
V důsledku toho vidíme, že pokud třída X má pořádek d ve skupině Brauer pak existuje a třída dělitele stupně d na X. Přidružené lineární systém definuje d-rozměrné vložení X přes štípací pole L.[5]
Viz také
Poznámka
- ^ A b Jacobson (1996) str.113
- ^ A b Gille & Szamuely (2006), s. 129
- ^ Gille & Szamuely (2006), s. 26
- ^ Berhuy, Grégory (2010), Úvod do Galoisovy kohomologie a jejích aplikací, Série přednášek London Mathematical Society, 377, Cambridge University Press, str. 113, ISBN 0-521-73866-0, Zbl 1207.12003
- ^ Gille & Szamuely (2006), s. 131
Reference
- Artin, Michael (1982), „Brauer-Severi variety“, Brauerovy skupiny v prstencové teorii a algebraické geometrii (Wilrijk, 1981), Poznámky k přednášce v matematice., 917, Poznámky A. Verschorena, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 194–210, doi:10.1007 / BFb0092235, ISBN 978-3-540-11216-7, PAN 0657430, Zbl 0536.14006
- „Odrůda Brauer – Severi“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), „Severi – Brauer odrůdy“, Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie, Cambridge studia pokročilé matematiky, 101, Cambridge University Press, str. 114–134, ISBN 0-521-86103-9, PAN 2266528, Zbl 1137.12001
- Jacobson, Nathan (1996), Konečně-dimenzionální dělení algeber na pole, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-57029-2, Zbl 0874.16002
- Saltman, David J. (1999), Přednášky o divizních algebrách, Regionální konferenční seriál z matematiky, 94, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-0979-2, Zbl 0934.16013
- Severi, Francesco (1932), „Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica“, Memorie della Reale Accademia d'Italia (v italštině), 3 (5), Přetištěno ve svazku 3 svých sebraných děl
Další čtení
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), Kniha involucí, Publikace kolokvia, 44„S předmluvou J. Titsa, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-0904-0, PAN 1632779, Zbl 0955.16001