Příčná míra - Transverse measure

v matematika, a opatření na nemovitý vektorový prostor se říká, že je příčný k dané sadě, pokud ji přiřadí změřit nulu každému přeložit této množiny při přiřazování konečných a pozitivní (tj. nenulová) míra pro některé kompaktní sada.

Definice

Nechat PROTI být skutečným vektorovým prostorem společně s a metrický prostor struktura, ve vztahu ke které se jedná o kompletní prostor. A Borelův rozměr μ se říká, že je příčný do podmnožiny měřitelné Borelem S z PROTI -li

• existuje kompaktní podmnožina K. z PROTI s 0 <μ(K.) <+ ∞; a
• μ(proti + S) = 0 pro všechny proti ∈ PROTI, kde

${ displaystyle v + S = {v + s ve V | s v S }}$

je překlad z S podle proti.

První požadavek zajišťuje, že například triviální opatření se nepovažuje za příčné měřítko.

Příklad

Jako příklad si vezměte PROTI být Euklidovské letadlo R² s obvyklou euklidovskou normou / metrickou strukturou. Definujte míru μ na R² nastavením μ(E) být jednorozměrný Lebesgueovo opatření křižovatky E s první souřadnou osou:

${ displaystyle mu (E) = lambda ^ {1} { big (} {x v mathbf {R} | (x, 0) v E subseteq mathbf {R} ^ {2} } { velký)}.}$

Příklad kompaktní sady K. s kladným a konečným μ- opatření je K. = B₁(0), uzavřená jednotka koule o původu, který má μ(K.) = 2. Nyní vezměte sadu S být druhou souřadnou osou. Libovolný překlad (proti₁, proti₂) + S z S setká se s první souřadnicovou osou přesně v jednom bodě, (proti₁, 0). Protože jediný bod má Lebesgueovu míru nula, μ((proti₁, proti₂) + S) = 0 atd μ je příčný k S.

Viz také

• Převládající a plaché sady

Reference

• Hunt, Brian R. a Sauer, Tim a Yorke, James A. (1992). „Prevalence: translation-invariant" almost every "on the infinite-dimensional spaces". Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 27 (2): 217–238. arXiv:matematika / 9210220. doi:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)