Pi-systém - Pi-system

v matematika, a π-Systém (nebo pi-systém) na soubor Ω je a sbírka P jisté podmnožiny Ω, takové, že

• P není prázdný.
• Li A a B jsou v P pak A ∩ B ∈ P.

To znamená, P je neprázdný rodina podmnožin Ω, tj Zavřeno pod konečnou křižovatky.Důležitost π-systémy vycházejí ze skutečnosti, že pokud se dvě pravděpodobnostní míry shodnou na a π-systém, pak se dohodnou na σ-algebra tím generované π-Systém. Navíc, pokud platí další vlastnosti, například rovnost integrálů π-systém, pak se drží pro vygenerovaný σ-algebra také. To je případ, kdykoli je kolekce podmnožin, pro které vlastnost drží, a λ-Systém. π-systémy jsou také užitečné pro kontrolu nezávislosti náhodných proměnných.

To je žádoucí, protože v praxi π- se systémy se často pracuje jednodušší než σ-algebry. Může být například trapné s ním pracovat σ-algebry generované nekonečně mnoha sadami ${displaystyle sigma (E_ {1}, E_ {2}, ldots)}$. Místo toho tedy můžeme zkoumat jednotu všech σ-algebry generované konečně mnoha sadami ${extstyle igcup _ {n} sigma (E_ {1}, ldots, E_ {n})}$. Toto tvoří a π-systém, který generuje požadované σ-algebra. Dalším příkladem je shromažďování všech intervalových podmnožin reálné čáry spolu s prázdnou množinou, což je a π-systém, který generuje velmi důležité Borel σ-algebra podmnožin skutečné linie.

Definice

A π-Systém je neprázdná kolekce sad P který je uzavřen pod konečnými křižovatkami, což je ekvivalentní s P obsahující průsečík jakýchkoli dvou jejích prvků. Pokud je v tom nastavena každá π-systém je podmnožinou Ω pak se tomu říká a π-systém zapnutý Ω.

Pro všechny neprázdné rodina Σ podskupin Ω, existuje a π-Systém ${displaystyle {mathcal {I}} _ {Sigma}}$, nazvaný π-systém generovaný generováním Σ, to je jedinečný nejmenší π-systém Ω obsahovat každý prvek z Σ. Rovná se průsečíku všech π-systémy obsahující Σ a lze jej explicitně popsat jako množinu všech možných konečných průsečíků (jednoho nebo více) prvků Σ:

{ E₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ E_n  :  n ≥ 1 a E₁, ..., E_n ∈ Σ}.

Neprázdná rodina sad má vlastnost konečné křižovatky jen a jen pokud π-systém, který generuje, neobsahuje prázdnou sadu jako prvek.

Příklady

• A, b ∈ ℝ, intervaly ${displaystyle (-infty, a]}$ formulář a π-systém a intervaly ${displaystyle (a, b]}$ formulář a π-systém, pokud je také zahrnuta prázdná sada.
• The topologie (kolekce otevřených podmnožin) jakéhokoli topologického prostoru je a π-Systém.
• Každý filtr je π-Systém. Každý π-systém, který neobsahuje prázdnou sadu, je a předfiltr (také známý jako základna filtru).
• Pro jakoukoli měřitelnou funkci ${displaystyle fcolon Omega ightarrow mathbb {R}}$, sada ${displaystyle {mathcal {I}} _ {f} = left {f ^ {- 1} left (left (-infty, xight] ight) colon xin mathbb {R} ight}}$ definuje a π-systém a nazývá se π-Systém generováno podle F. (Alternativně, ${displaystyle left {f ^ {- 1} left (left (a, bight] ight) colon a, bin mathbb {R}, a$ definuje a π-systém generovaný ${displaystyle f}$.)
• Li P₁ a P₂ jsou π-systémy pro Ω₁ a Ω₂pak ${displaystyle {A_ {1} imes A_ {2}: A_ {1} v P_ {1}, A_ {2} v P_ {2}}}$ je π-systém pro produktový prostor Ω₁× Ω₂.
• Každý σ-algebra je a π-Systém.

Vztah k λ-systémy

A λ-Systém na Ω je sada D podskupin Ω, uspokojující

• ${displaystyle Omega in D}$,
• -li ${displaystyle Ain D}$ pak ${displaystyle A ^ {c} v D}$,
• -li ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, tečky}$ je posloupnost disjunktní podmnožiny v ${displaystyle D}$ pak ${displaystyle cup _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} in D}$.

I když je pravda, že jakýkoli σ-algebra splňuje vlastnosti bytí obou π-systém a λ-systém, není pravda, že nějaký π-systém je a λ-systém, a navíc není pravda, že nějaký π-systém je a σ-algebra. Užitečnou klasifikací však je, že jakýkoli systém množin, který je a λ-systém a π-systém je a σ-algebra. Toto se používá jako krok k prokázání π-λ teorém.

The π-λ teorém

Nechat D být λ-systém, a nechte ${displaystyle {mathcal {I}} subseteq D}$ být π-systém obsažený v D. The π-λ Teorém^[1] uvádí, že σ-algebra ${displaystyle sigma ({mathcal {I}})}$ generováno uživatelem ${displaystyle {mathcal {I}}}$ je obsažen v D : ${displaystyle sigma ({mathcal {I}}) podmnožina D}$.

The π-λ věta může být použita k prokázání mnoha teoretických výsledků elementárních opatření. Například se používá k prokázání nároku na jedinečnost Věta o rozšíření Carathéodory pro σ- konečná opatření.^[2]

The π-λ věta úzce souvisí s monotónní věta třídy, který poskytuje podobný vztah mezi monotónními třídami a algebrami a lze jej použít k odvození mnoha stejných výsledků. Od té doby π-systémy jsou jednodušší třídy než algebry, může být snazší identifikovat množiny, které jsou v nich, zatímco na druhé straně se kontroluje, zda uvažovaná vlastnost určuje λ-systém je často relativně snadný. Přes rozdíl mezi těmito dvěma větami, π-λ věta je někdy označována jako monotónní věta třídy.^[1]

Příklad

Nechat μ₁ , μ₂ : F → R být dvě opatření na internetu σ-algebra Fa předpokládejme to F = σ(Já) je generován a π-Systém Já. Li

1. μ₁(A) = μ₂(A), pro všechny A ∈ Já, a
2. μ₁(Ω) = μ₂(Ω) <∞,

pak μ₁ = μ₂Toto je prohlášení o jedinečnosti Carathéodoryovy ​​větné věty pro konečná opatření. Pokud se tento výsledek nezdá příliš pozoruhodný, zvažte skutečnost, že je obvykle velmi obtížné nebo dokonce nemožné úplně popsat každou množinu v σ-algebra, a tak by problém srovnávacích opatření byl bez takového nástroje zcela beznadějný.

Myšlenka důkazu^[2]Definujte kolekci sad

${displaystyle D = left {Ain sigma (I) tračník mu _ {1} (A) = mu _ {2} (A) ight}.}$

Podle prvního předpokladu μ₁ a μ₂ shodnout se na Já a tudíž Já ⊆ D. Podle druhého předpokladu Ω ∈ Da lze dále ukázat, že D je λ-Systém. Vyplývá to z π-λ věta, že σ(Já) ⊆ D ⊆ σ(Já)a tak D = σ(Já). To znamená, že opatření se shodují σ(Já).

π-Systémy s pravděpodobností

π-systémy se běžněji používají při studiu teorie pravděpodobnosti než v obecné oblasti teorie míry. Důvodem je především pravděpodobnostní pojmy, jako je nezávislost, i když to může být také důsledkem skutečnosti, že π-λ věta byla prokázána pravděpodobným Eugene Dynkin. Texty teorie standardních opatření obvykle dokazují stejné výsledky spíše prostřednictvím monotónních tříd než π-systémy.

Rovnost v distribuci

The π-λ věta motivuje společnou definici rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná ${displaystyle Xcolon (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P}) ightarrow mathbb {R}}$ pokud jde o jeho kumulativní distribuční funkce. Připomeňme, že kumulativní rozdělení náhodné proměnné je definováno jako

${displaystyle F_ {X} (a) = operatorname {P} vlevo [Xleq aight], qquad ain mathbb {R},}$

zatímco zdánlivě obecnější zákon proměnné je míra pravděpodobnosti

${displaystyle {mathcal {L}} _ {X} (B) = operatorname {P} left [X ^ {- 1} (B) ight], qquad Bin {mathcal {B}} (mathbb {R}),}$

kde ${displaystyle {mathcal {B}} (mathbb {R})}$ je Borel σ-algebra. Říkáme, že náhodné proměnné ${displaystyle Xcolon (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$, a ${displaystyle Ycolon ({ilde {Omega}}, {ilde {mathcal {F}}}, {ilde {operatorname {P}}}) ightarrow mathbb {R}}$ (na dvou možných odlišných prostorech pravděpodobnosti) jsou si rovni v distribuci (nebo zákon), ${displaystyle X, {stackrel {mathcal {D}} {=}}, Y}$, pokud mají stejné kumulativní distribuční funkce, F_X = F_Y. Motivace pro definici vychází z pozorování, že pokud F_X = F_Y, pak to přesně znamená ${displaystyle {mathcal {L}} _ {X}}$ a ${displaystyle {mathcal {L}} _ {Y}}$ dohodnout se na π-Systém ${displaystyle left {(- infty, a] colon ain mathbb {R} ight}}$ který generuje ${displaystyle {mathcal {B}} (mathbb {R})}$, a tak podle příklad výše: ${displaystyle {mathcal {L}} _ {X} = {mathcal {L}} _ {Y}}$.

Podobný výsledek platí pro společné rozdělení náhodného vektoru. Předpokládejme například X a Y jsou dvě náhodné proměnné definované ve stejném prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$, s příslušně vygenerovanými π-systémy ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}}$ a ${displaystyle {mathcal {I}} _ {Y}}$. Společná kumulativní distribuční funkce (X,Y) je

${displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = operatorname {P} vlevo [Xleq a, Yleq bight] = operatorname {P} vlevo [X ^ {- 1} ((- infty, a)) čepice Y ^ {-1} ((- infty, b]) ight], qquad a, bin mathbb {R}.}$

Nicméně, ${displaystyle A = X ^ {- 1} ((- infty, a]) in {mathcal {I}} _ {X}}$ a ${displaystyle B = Y ^ {- 1} ((- infty, b]) in {mathcal {I}} _ {Y}}$. Od té doby

${displaystyle {mathcal {I}} _ {X, Y} = {Acap B: Ain {mathcal {I}} _ {X} ,, Bin {mathcal {I}} _ {Y}}}$

je π-systém generovaný náhodným párem (X,Y), π-λ věta se používá k prokázání, že funkce společného kumulativního rozdělení postačuje k určení společného práva (X,Y). Jinými slovy, (X,Y) a (Ž, Z) mají stejnou distribuci právě tehdy, pokud mají stejnou společnou kumulativní distribuční funkci.

V teorii stochastických procesů dva procesy ${displaystyle (X_ {t}) _ {tin T}, (Y_ {t}) _ {tin T}}$ je známo, že jsou si rovni v distribuci právě tehdy, když souhlasí se všemi konečnými dimenzionálními distribucemi. tj. pro všechny ${displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n} v T ,, nin mathbb {N}}$.

${displaystyle (X_ {t_ {1}}, ldots, X_ {t_ {n}}), {stackrel {mathcal {D}} {=}}, (Y_ {t_ {1}}, ldots, Y_ {t_ { n}}).}$

Důkazem toho je další aplikace π-λ teorém.^[3]

Nezávislé náhodné proměnné

Teorie π-systém hraje důležitou roli v pravděpodobnostní představě nezávislost. Li X a Y jsou dvě náhodné proměnné definované ve stejném prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$ pak náhodné proměnné jsou nezávislé právě tehdy, jsou-li jejich π-systémy ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}, {mathcal {I}} _ {Y}}$ uspokojit

${displaystyle operatorname {P} left [Acap Bight] = operatorname {P} left [Aight] operatorname {P} left [Bight], qquad forall Ain {mathcal {I}} _ {X} ,, Bin {mathcal {I} } _ {Y},}$

což znamená ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}, {mathcal {I}} _ {Y}}$ jsou nezávislé. Toto je ve skutečnosti zvláštní případ použití π-systémy pro určování distribuce (X,Y).

Příklad

Nechat ${displaystyle Z = (Z_ {1}, Z_ {2})}$, kde ${displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} sim {mathcal {N}} (0,1)}$ jsou iid standardní normální náhodné proměnné. Definujte proměnné poloměr a argument (arctan)

${displaystyle R = {sqrt {Z_ {1} ^ {2} + Z_ {2} ^ {2}}}, qquad Theta = an ^ {- 1} (Z_ {2} / Z_ {1})}$.

Pak ${displaystyle R}$ a ${displaystyle Theta}$ jsou nezávislé náhodné proměnné.

K prokázání toho stačí prokázat, že π-systémy ${displaystyle {mathcal {I}} _ {R}, {mathcal {I}} _ {Theta}}$ jsou nezávislé: tj.

${displaystyle operatorname {P} [Rleq ho, Theta leq heta] = operatorname {P} [Rleq ho] operatorname {P} [Theta leq heta] quad forall ho in [0, infty) ,, heta in [0,2pi] .}$

Potvrzení, že tomu tak je, je cvičení při změně proměnných. Opravit ${displaystyle ho in [0, infty) ,, heta in [0,2pi]}$, pak lze pravděpodobnost vyjádřit jako integrál funkce hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle Z}$.

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {P} [Rleq ho, Theta leq heta] & = int _ {Rleq ho ,, Theta leq heta} {frac {1} {2pi}} exp left ({- {frac {1 } {2}} (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2})} ight) dz_ {1}, dz_ {2} [5pt] & = int _ {0} ^ {heta } int _ {0} ^ {ho} {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {r ^ {2}} {2}}} r, dr, d {ilde {heta}} [ 5pt] & = left (int _ {0} ^ {heta} {frac {1} {2pi}}, d {ilde {heta}} ight) left (int _ {0} ^ {ho} e ^ {- { frac {r ^ {2}} {2}}} r, dright) [5pt] & = operatorname {P} [Theta leq heta] operatorname {P} [Rleq ho] .end {aligned}}}$

Viz také

• Algebra množin - Totožnosti a vztahy mezi množinami zahrnujícími doplňky, inkluze ⊆ a konečné odbory ∪ a křižovatky ∩.
• 8-kroužek
• Rodina sad
• Pole množin - Algebraický koncept v teorii míry
• Ideální (teorie množin) - Neprázdná rodina množin, která je uzavřena pod konečnými odbory a podmnožinami.
• Nezávislost
• λ-systém (Dynkinův systém)
• Monotónní věta třídy
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Prsten sad
• σ-algebra
• σ-kroužek

Poznámky

Reference

• Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz. New York: Springer. doi:10.1007 / b138932. ISBN  0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Pravděpodobnost u Martingales. Cambridge University Press. ISBN  0-521-40605-6.